Filtri attivi del secondo ordine

Supponiamo di voler realizzare un filtro attivo del secondo ordine di qualsiasi tipo. Sceglieremo un amplificatore operazionale come elemento attivo, dato che, presentando guadagno pressochè infinito, la funzione di trasferimento del circuito dipende praticamente solo dalla reazione, e ci orienteremo su un circuito del tipo di quello riportato in figura, considerando che è il circuito più semplice che ci possa venire in mente.

É banale calcolare la funzione di trasferimento del circuito, ricordando che con Y vengono indicate le ammettenze (inverso delle impedenze). Essa sarà semplicemente:

in cui Y₁ ed Y₂ sono le ammettenze di generici doppi bipoli RC comunque costituiti.

Procedendo alla sintesi del filtro, ci accorgeremmo che non solo saremmo chiamati a risolvere calcoli talvolta piuttosto complessi, ma giungeremmo alla realizzazione di reti comprendenti un numero spesso ridondante di componenti.

Si preferisce, così, ricorrere a strutture a reazioni multiple, come quella di seguito indicata:

Calcoliamo la funzione di trasferimento di questo circuito.

Nel seguito denomineremo I_i la corrente che circola nella generica ammettenza Y_i. Ricordando che l'amplificatore operazionale è, in questo primo caso, considerato ideale e che, pertanto, ai suoi morsetti di ingresso non vi è caduta di tensione, considerando quindi il morsetto invertente come massa virtuale, potremo dire che ; questa corrente, non potendo entrare nell'operazionale, genera una caduta di tensione su Y₃ pari a

.

Questa tensione è uguale ed opposta a quella che cade su Y₄. La corrente uscente dal nodo nel quale confluiscono Y₁, Y₂, Y₃ ed Y₄ e circolante in Y₄ sarà quindi

, avendo definito con V₁ la tensione fra quel nodo e massa. La corrente I₁ sarà pari a

 ed

.

Dobbiamo a questo punto risolvere l'equazione al nodo . Pertanto:

ovvero

Se l'amplificatore operazionale, anzichè presentare guadagno infinito (essere, cioè, ideale) presentasse guadagno µ, il potenziale del morsetto invertente non sarebbe più a potenziale di massa, ma si troverebbe ad una tensione pari a

 pertanto le equazioni diventerebbero:

mettendo a sistema le equazioni I, III, IV, V, VI e svolgendo i calcoli si giunge alla funzione di trsferimento:

A questo punto, conoscendo i vari tipi di funzione del secondo ordine e la funzione di trasferimento generale della rete a reazioni multiple, è possibile, sostituendo alle ammettenze Y_i o resistenze o capacità, ottenere qualsiasi di filtro, in questo caso, invertente. Vediamo i vari casi (segue nella prossima pagina):