Nello studio della trasmissione del calore, nelle tre forme possibili conduzione, convezione, irraggiamento si perviene sempre, a regime, per quanto riguarda il flusso di potenza termica attraverso i corpi, ad una espressione del tipo
R*Q=DT (1)
in cui Q rappresenta la potenza termica trasmessa, DT la differenza di temperatura tra gli estremi della la sezione di controllo del flusso.
Essa è formalmente identica alla legge di Ohm
R*I=DV
per cui la R della (1) viene per questo chiamata resistenza termica.
Data la facilità con cui si possono combinare le resistenze elettriche tra loro, secondo i concetti di serie e parallelo, è naturale pensare di sfruttare tali metodi nella trasmissione del calore.
Le grandezze che si corrispondono nell'analogia sono riassunte nella seguente tabella
Elettricità |
Calore |
||||
DV |
V=J/C |
differenza di potenziale |
DT |
K |
differenza
di temperatura
|
I |
A=C/s |
intensità di corrente |
Q=J/s |
W |
potenza termica |
R |
ohm=V/A |
resistenza elettrica |
R |
K/W |
resistenza
termica
|
(1/g)*l/S=r*l/S |
(1/l)*l/A |
conduzione
|
|||
1/(h*A) | convezione | ||||
1/(hi*A) | irraggiamento |
L'analogia può essere così espressa:
In un corpo materiale l'intensità di corrente fluisce dal punto a potenziale più alto al punto a potenziale più basso, è proporzionale alla differenza di potenziale e dipende dalla natura del corpo materiale. La costante di proporzionalità corrispondente al rapporto tra la differenza di potenziale e l'intensità di corrente è chiamata resistenza elettrica.
sostituendo le parole intensità di corrente con potenza termica e potenziale con temperatura, elettrico con termico si ha:
In un corpo materiale la potenza termica fluisce dal punto a temperatura più alta al punto a temperatura più bassa, è proporzionale alla differenza di temperatura e dipende dalla natura fisica del corpo. La costante di proporzionalità corrispondente al rapporto tra la differenza di temperatura e la potenza termica è chiamata resistenza termica.
Se ci si riferisce al fenomeno della conduzione termica l'analogia si estende anche al modo in cui la resistenza elettrica e quella termica dipendono dalle proprietà fisico-geometriche del corpo materiale. Entrambe sono direttamente proporzionali alla lunghezza del corpo materiale misurata nel senso del flusso, ed inversamente proporzionale alla sezione trasversale. La costante di proporzionalità è chiamata resistività.
Le figure illustrano l'analogia.
Conduzione termica attraverso una parete piana |
Conduzione Elettrica in un conduttore prismatico |
|
|
T1 e T2 sono le temperature della sezione di ingresso
e della sezione d'uscita della potenza termica Q.
L è lo spessore della parete, A l'area della sua superficie, l la conducibilità termica. |
V1 e V2 sono i potenziali della sezione di ingresso
e della sezione d'uscita dell'intensità di corrente I.
L è la lunghezza del prisma, A l'area della sua sezione trasversale, g la conducibilità elettrica. |
Nel caso della convezione la differenza di temperatura da considerare è quella tra la temperatura della superficie e quella del fluido che la la lambisce a sufficiente distanza dalla parete, quindi DT= TS-Tfluido. La resistenza termica diventa allora
R=(1/h)*(1/A)
in cui h (W/m2K) è il coefficiente di scambio termico convettivo ed A l'area della superficie.
Anche nel caso dell'irraggiamento si perviene al concetto di resistenza termica. La differenza di temperatura da considerare è quella tra la temperatura della superficie del corpo considerato e quella dei corpi circostanti a temperatura ambiente. quindi DT= TS-Tamb
La resistenza termica si calcola con l'espressione
R=(1/hirr)*(1/A)
dove
hirr=es(TS2+Tamb2)(TS+Tamb) (W/m2K)
è il coefficiente di scambio termico per irraggiamento.
e: è l'emissività della superficie. L'emissività di una superficie è il rapporto tra la radiazione emessa dalla superficie e la radiazione emessa dal corpo nero alla stessa temperatura. ( legge di Stefan-Boltzmann En=s*T4 W/m2)
s: 5.67*10-8 W/(m2K4) costante di Stefan-Boltzmann.
E' opportuno in questo caso osservare che la resistenza termica dipende dalle temperature della superficie e dell'ambiente.
ESEMPIO
La figura che segue mostra il flusso di una potenza termica da un ambiente con un fluido a temperatura T1 verso un ambiente con un fluido a temperatura T2, attraverso una parete, l'area della cui superficie è A, composta da 6 diversi materiali. Si fa l'ipotesi che il flusso sia monodimensionale (cioè avvenga unicamente lungo l'asse x, orizzontale: ogni superficie orizzontale è adiabatica). I rettangoli blu sono superfici perfettamente isolanti dal punto di vista termico.
La struttura termica può essere schematizzata con la rete elettrica resistiva rappresentata.
Si ha:
Req=Rc1+R1+(R2+R4)*R3/(R3+R2+R4)+R5+R6+Rc2.
Q=(T1-T2)/Req
con
Rc1=1/(h1*A); Rc2=1/(h2/A) resistenze convettive
R1=(1/l1)*(a/A); R2=(1/l2)*((b+c)/A2); R3=(1/l3)*((b+c)/A3); R4=(1/l4)*(c/A2); R5=(1/l5)*(d/A); R6=(1/l6)*(e/A); resistenze conduttive
Le superfici verticali sono isoterme (-> equipotenziali) ed il valore della loro temperatura si trova applicando la legge di Ohm:
TA=T1-Rc1*Q
TB=TA-R1*Q
TC=TB-R2*Q1
TD=TC-R4*Q1
Q1=Q*R3/(R3+R2+R4)
TE=TD-R5*Q
TF=TE-R6*Q