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La quinta e la settima

Premessa

Nel fornire una risposta ad un quesito sugli effetti di un'alimentazione contenente armoniche su di un motore ad induzione, mi è arrivata un'ulteriore domanda: perché i campi armonici di quinta e di settima ruotano il primo in senso inverso alla fondamentale, il secondo nello stesso senso? Inizialmente ho risposto nel modo che si trova sui testi di macchine, accorgendomi però subito che non era la stessa situazione.

Ho pensato a questa breve analisi per una risposta più completa alla domanda.

 

Tipi di armoniche

Distinguiamo le armoniche "interne" da quelle "esterne" .

Le prime sono originate dalla disposizione degli avvolgimenti dentro le cave, che dà luogo ad una forma a gradini della forza magnetomotrice. Il campo rotante risulta allora scomponibile in campi armonici che hanno numero di poli multiplo del numero di poli secondo cui è stato costruito l'avvolgimento, che coincide con il numero di semionde della fondamentale.

I campi rotanti generati dalle singole armoniche ruotano ad una velocità che, se n0 è la velocità di rotazione della fondamentale e k l'ordine di armonica, vale nk=n0/k, quindi più lentamente della fondamentale.

Quelle "esterne" sono presenti nell'alimentazione e danno luogo a campi rotanti che hanno lo stesso numero di poli  della fondamentale ma ruotano ad una velocità data da nk=n0*k, quindi più velocemente della fondamentale.

Ricordiamo che il campo magnetico rotante è un'onda che si muove lungo il traferro. L'onda ha una certa configurazione spaziale che riassumiamo con il numero di poli, ed una certa velocità di spostamento. E' dunque una funziona dello spazio e del tempo. Le armoniche interne potremmo dunque definirle come armoniche spaziali; quelle esterne come temporali.

Il senso di rotazione è determinato dal senso ciclico in cui si succedono le correnti negli avvolgimenti. Come vedremo esso cambia con l'ordine di armonica.

Armoniche interne.

Gli avvolgimenti sono di un motore ad induzione trifase sono tre: chiamiamoli A,B,C.

Gli avvolgimenti A,B,C danno luogo ad una terna diretto se l'angolo elettrico di sfasamento della corrente in B è di 120 gradi elettrici di ritardo rispetto ad A, mentre C ritarda di 120 gradi elettrici rispetto a B, cioè di 240 riapetto ad A o, ciò che è lo stesso, la corrente in B ritarda di un terzo di periodo e quella in C di due terzi.

I gradi elettrici sono dati dal prodotto dell'angolo di sfasamento meccanico tra gli assi degli avvolgimenti per il numero di coppie polari.

Quindi

ae=p*am

L'angolo meccanico tra gli assi degli avvolgimenti è sempre lo stesso ed è dato da

am =360/3*p=120/p

Poiché la funzione seno ha un periodo di 360 gradi, l'angolo di sfasamento calcolato è un valore compreso tra 0 e 360 gradi che può essere aumentato di un arbitrario multiplo di 360. Cioè

a=f+k*360

con k intero qualsiasi. Lo sfasamento da considerare è f.

Supponiamo che alla fondamentale l'alimentazione corrisponda ad una terna diretta.

Alla fondamentale dunque l'alimentazione di B ritarda di ae = p*120/p = 120 gradi rispetto ad A, mentre la fase C ritarda di ae = p*240/p = 240 gradi rispetto ad A.

Per la terza armonica la fase B ritarda rispetto alla A, che assumiamo sempre come prima della terna, di ae = 3p*120/p = 360 gradi, quindi sono in fase (f =0). Per C e = 3p*240/p = 2*360 gradi, ancora in fase. La terza armonica non dà perciò luogo ad alcun campo rotante. La terna di alimentazione, si dice, è omopolare.

Per la quinta armonica il ritardo di B è ae = 5p*120/p = 240+360 gradi cioè, f =240 mentre per C si ha ae = 5p*240/p = 120+3*360 cioè f =120. Dunque per la quinta armonica è ora C la fase due mentre B è la fase 3. Il senso ciclico è inverso a quello della fondamentale ed il corrispondente campo rotante gira in senso inverso.

Per la settima invece il ritardo di B è ae = 7p*120/p=120+2*360 , quindi f =120 e per C è ae = 7p*240/p=240+4*360, cioè f =240, come per la fondamentale, quindi il corrispondente campo gira

Armoniche esterne

Per la fondamentale B ritarda di T/3 e C di 2/3T se T è il periodo della fondamentale. Il senso ciclico è allora A,B,C.

Per l'armonica di ordine k, il cui periodo è Tk = T/k, il senso ciclico è A,B, C se B ritarda di Tk/3 e C di 2Tk/3 rispetto ad A.

La corrente in B è in ritardo di T/3 che è pari k volte il terzo di periodo dell'armonica di ordine k Dunque T/3=k*Tk/3.

Se k= 3 il ritardo in periodi di armonica è un multiplo intero del perido dell'armonica stessa. Quindi le terze armoniche, se ci fossero, sarebbero in fase. In un sistema a tre fili però, le terze armoiniche ed i suooi multipli non possono circolare perché, essendo in fase e dovendo essere la loro somma nulla istante per istante, devono essere necessariamente di valore nullo.

Se k=5 il ritardo di B in periodi 5*T5/3 =T5 + 2*T5/3 che corrisponde, all'interno del periodo a 2*T5/3. Per C troveremo invece T5/3. E' dunque la fase C a ritardare di un terzo di periodo, quindi è C la seconda fase per la quinta armonica. Il senso ciclico è dunque inverso: A,C,B ed il campo di quinta ruota perciò in senso opposto alla fondamentale e ad una velocità cinque volte superiore.

Se k=7 il ritardo di B in periodi 7*T7/3 = 2*T7 + T7/3 che corrisponde, all'interno del periodo a T7/3. Per C troveremo invece 2*T7/3. E' dunque ora la fase B a ritardare di un terzo di periodo, quindi è B la seconda fase per la settima armonica. Il senso ciclico è dunque diretto: A,B,C ed il campo di settima ruota perciò nello stesso senso della fondamentale e ad una velocità sette volte superiore.

Le figure illustrano quando detto per gli avvolgimenti A e B (F1 ed F2)

In esse sono rapprentate le fondamentali (verde A; magenta B con B in ritardo di un terzo di periodo) e le armoniche, rosse per B e  blu per A, in cui sono state scomposte le correnti non sinusoidali che percorrono gli avvolgimenti.

Come si può notare dalla figura per la quinta armonica la sinusoide rossa anticipa di un terzo di periodo la blu mentre per la settima la rossa ritarda di un terzo di periodo.

Quinta armonica

Settima Armonica

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Commenti e note

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di ,

Ciao, ho aperto una discussione nel forum. Ecco il link: https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=18&t=74920

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di ,

Salve, ho una domanda, spero possiate rispondermi anche se l'articolo non è recente. Da quello che ho capito, le armoniche "interne" sono dovute al fatto che il campo magnetico al traferro è lineare a tratti (come sovrapposizione di onde rettangolari) e quindi composta da una armonica fondamentale con n=n0, una terza armonica che nel caso di m=3 fasi statoriche si annulla, una quinta armonica inversa con n=n/5 e così via.... questo campo magnetico al traferro però è idealmente generato da una corrente perfettamente sinusoidale nel tempo ( senza quindi contributo di armoniche). Nella realtà però non esiste un'onda perfettamente sinusoidale a f=50Hz, esistono sempre delle armoniche di ordine 3 con f=150Hz (che nel caso di m=3 fasi e collegamento stella senza neutro o triangolo si annulla), di ordine 5 con f=250Hz e così via... Sbaglio in quello detto fino a ora? Che legame intercorre fra queste armoniche "esterne" e quelle "interne" quando lo statore viene alimentato da un'onda non perfettamente sinusoidale? E come varia il campo magnetico e le sue armoniche considerando che le armoniche di corrente viaggiano a frequenza multipla della fondamentale mentre le armoniche di campo ruotano a velocità sottomultipla della fondamentale? Nella speranza che qualcuno posso aiutarmi a capire questo grattacapo, grazie in anticipo.

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di luigi massimo diploma per.elettrot. 60/60,

esaustivo per quanto riguarda la descrizione degli effetti sul campo risultante della composizione vettoriale della terna di correnti armoniche ma mi avrebbe anche interessato una trattazione sulle intensità che assumono le varie armoniche rispetto alla sinusoide fondamentale e le variabili elettriche e magnetiche(permeabilità,saturazione etc.)che le determinano

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