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Intervalli di osservazione
Tale periodo coincide con quello dell'armonica fondamentale, dunque il suo inverso rappresenta la frequenza di base (fondamentale) della serie di Fourier e di conseguenza tutte le altre armoniche sono multipli interi di questa.
Il fatto, più volte sottolineato, che per l'analisi di Fourier il segnale debba essere rigorosamente periodico, estende però di fatto tale analisi a tutto il possibile campo temporale.
Ciò si esprime matematicamente dicendo che il tempo t varia da -¥ a +¥, suddiviso in un numero infinito di periodi P, in cui il segnale si ripete identicamente e la cui conversione in frequenza dà luogo ad uno spettro discreto di N/2 armoniche.
Si è poi visto che se DT tende a zero, N tende all'infinito e quindi lo spettro tende a diventare continuo, ma si è visto anche che se al contrario la frequenza di campionamento fc diventa troppo bassa rispetto a quella del segnale, le repliche dello spettro, distanziate fra loro di fc , possono introdurre nello spettro stesso delle frequenze estranee, cioè aliasing.
La conoscenza del periodo del segnale ed il sincronismo dei campionamenti con tale periodo assunti finora, sono condizioni molto restrittive per l'effettiva applicazione alla conversione di un segnale qualsiasi, generalmente sconosciuto a priori .
Ci si deve quindi porre il problema della osservazione di un segnale in un intervallo di tempo T non necessariamente coincidente sia come durata che come posizione con il periodo P del segnale stesso.
La Fig. 10.1 mostra un segnale sinusoidale x(t) di ampiezza unitaria e di frequenza 1.8 Hz esaminato in un intervallo di 2 sec, con una frequenza di scansione così elevata da poter considerare gli spettri risultanti praticamente continui.
L'intervallo di tempo di osservazione può essere visto come un impulso rettangolare di ampiezza unitaria g(t) , di cui è già nota la forma dello spettro (vedi il capitolo 5), che modula' in ampiezza il segnale x(t), generando il segnale y(t). In termini matematici :
y(t) = x(t) · g(t).
I contenuti armonici, cioè gli equivalenti in frequenza, sono X(f) ( praticamente una sola armonica a 1.8 Hz ) e G(f), rappresentata dalla funzione sen(p·f·T)/p·f·T , con zeri corrispondenti a multipli di 1/T.
Si noti che per necessità grafiche l'asse dei tempi è stato
limitato a 4 sec (da -2 a +2), ma deve intendersi esteso fra -¥
e +¥, e l'asse delle frequenze è stato limitato fra 0 a 4
Hz, ma dovrebbe essere completato con
la regione simmetrica da 0 a -4 Hz , e dovrebbe essere esteso almeno
fra -fc e +fc.
Fig. 10.1 - Intervallo di osservazione di un segnale. La Fig.10.1 mostra chiaramente
che un prodotto di funzioni nel tempo corrisponde ad un prodotto di
convoluzione nelle frequenze. Si osserva infatti che lo spettro
del segnale y(t) risultante dalla
combinazione di x(t) con g(t),
è Y(f) = X(f) * G(f) e
poichè X(f) si può considerare
costituito da una sola frequenza (1.8
Hz), Y(f) risulta praticamente
una duplicazione di G(f) spostata di 1.8 Hz. Si osserva ancora che la
larghezza della cuspide centrale dello spettro corrisponde a 2/T, ciò significa che più largo è l'intervallo
di osservazione T più stretta è la banda che definisce la
frequenza del segnale. Viceversa più stretto è T , più incerta è la stima della
frequenza.
[1] La Fig. 10.2 illustra più dettagliatamente questa dipendenza,
mostrando come varia lo spettro di una frequenza di 4 Hz al variare del tempo
di osservazione da 2 a
1 e a 0.5 sec.
I casi esaminati nelle Fig. 10.1
e 10.2 hanno in comune
un'elevata frequenza di campionamento (DT @ 1 msec, quindi fc @ 1 kHz) che rende praticamente continuo l'andamento nel tempo dei segnali
considerati. Considerando poi per il calcolo
degli spettri di frequenza un'estensione del
tempo di osservazione da -4 a +4
sec (il doppio rispetto a ciò che è rappresentato nei grafici, ma che dovrebbe
essere teoricamente fra -¥ e +¥,),
si ottengono andamenti praticamente
continui anche degli spettri di frequenza. Vi è infine da sottolineare che
un rapporto dell'ordine delle centinaia fra la frequenza fc di campionamento
e la frequenza f
dei segnali elimina in pratica qualsiasi effetto di aliasing. Si ritiene però opportuno
esaminare il caso più realistico di piccoli rapporti, quindi di spettri
decisamente discreti. La Fig. 10.3 mostra il caso
di una frequenza f = 1.5 Hz campionata in N = 20 punti per un tempo T =
2.5 sec.
La frequenza di campionamento
risulta fc = N/T = 8 Hz ( DT=125
msec ), quindi la frequenza di Nyquist è fc/2 = 4 Hz e questa è la banda che si ripete
specularmente a destra e a sinistra per tutta la gamma che si prende in
considerazione. Ciascuna frequenza è distanziata
di Df =
1/T = 0.4 Hz ( la banda è composta da
N/2 = 10 frequenze). Per il campionamento a frequenze
relativamente basse, si possono in definitiva trarre le seguenti conclusioni:
[1] Questo fatto è alla base del principio di indeterminazione di Heisenberg, che nella fisica delle particelle considera la natura ondulatoria della materia. Se si cerca di determinare più accuratamente la posizione di una particella, l'informazione sulla sua velocità diminuisce.
Osservazione dei segnali mediante ‘finestre’
La Fig. 10.3 può essere scelta come punto di partenza per un’indagine più approfondita sulla distorsione, in funzione di T, del segnale ricostruito.
In tale figura è rappresentato lo spettro di un segnale sinusoidale f = 1.5 Hz, convertito per un intervallo T = 2.5 sec. Poichè il numero di campionamenti scelto è N = 20, si ha fc = N/T = 8 Hz, quindi la banda base dello spettro è compresa fra 0 e 4 Hz, con N/2 = 10 frequenze discrete, distanziate fra loro di 0.4 Hz.
Il segnale ricostruibile con tale spettro è quindi la somma di 10 armoniche, di cui quella più significativa è di 1.6 Hz.
Se il tempo T fosse stato esattamente uguale a 1/f (o a un suo multiplo), lo spettro base sarebbe costituito dalla sola frequenza f . Questo è infatti il caso particolare per cui l’intervallo di osservazione T uguaglia il periodo P del segnale (indipendentemente dal fatto che i due coincidano o siano ‘sfasati’).
In tutti gli altri casi dobbiamo considerare che il segnale ricostruito tenderà a riprodurre solo la parte del segnale originario campionata nell’intervallo T.
Se per esempio si assume T = 1 sec, come in Fig. 11.1, si osserva solo un periodo e mezzo del segnale sinusoidale di 1.5 Hz.
La ricostruzione mostra ovviamente notevoli discontinuità agli estremi.
Assumendo T = 3 sec (vedi ancora la Fig. 11.1) si ha ancora discontinuità, ma questa è attenuata per l’effetto di un’osservazione più prolungata.
Si noti che per mantenere costante il campionamento fc si è opportunamente adeguato in ciascun caso il numero N di campionamenti ( rispettivamente 8 per 1 sec e 24 per 3 sec).
Il fatto che lo spettro di un segnale sinusoidale campionato in un tempo discreto e non uguale al periodo del segnale, risulti composto da più armoniche deriva, come visto nel capitolo precedente, dal prodotto di convoluzione delle frequenza del segnale per lo spettro dell’impulso rettangolare di ampiezza unitaria corrispondente all’intervallo di osservazione.
Questa dispersione spettrale (nota nella letteratura tecnica come spectral leakage) è quindi causata dalla ‘finestra’ (window) con cui si osserva il segnale.
Fig. 11.1 - Esempi di distorsione nelle ricostruzione del segnale in funzione del tempo di osservazione.
Per ridurre la discontinuità del segnale agli estremi dell’intervallo di osservazione è pensabile di ricorrere ad altre forme di finestre, diverse da quella rettangolare.
La Fig. 11.2 mostra l’ultimo caso trattato, con la semplice sostituzione della forma della finestra da rettangolare a triangolare.
Fig. 11.2 - Utilizzo di una finestra triangolare anzichè rettangolare.
La forma d’onda ricostruita nel tempo è una sinusoide a 1.5 Hz (come l’originale), ma modulata in ampiezza con un periodo che è funzione della differenza fra le due componenti
[1]
L’esempio di ricostruzione in Fig. 11.3 , con la compensazione della finestra utilizzata, è puramente indicativo per mostrare le possibilità di calcolo, ma l’utilizzazione di finestre non ha certamente lo scopo di migliorare il segnale ricostruito, quanto quello di permettere una più significativa interpretazione dello spettro. La tecnica delle finestre di osservazione (windowing), consente infatti di far risaltare le frequenze significative del segnale, attenuando invece quelle derivanti dalla limitazione del tempo di campionamento. Numerosi autori hanno proposto forme diverse di finestre d’osservazione, per cui la letteratura tecnica è ricca di alternative. La Fig. 11.4 mostra le forme che risultano generalmente le più adottate in pratica. Eccetto la triangolare, tutte le altre finestre hanno una forma a campana con un effetto più o meno accentuato sulla riduzione delle armoniche laterali. La finestra di Kaiser, basata sul rapporto fra funzioni di Bessel e quindi di più difficile calcolo, ha un coefficiente (qui indicato con a) che permette di allargare o restringere la forma a campana. Ciò permette una maggior flessibilità d’utilizzazione, quindi una possibilità di ottimizzare la forma dello spettro risultante
A titolo d’esempio applicativo si riporta in Fig. 11.5 il caso di un segnale composto da due frequenze, rispettivamente 12 e 18 Hz, in cui le ampiezze sono di 1 e 0.05. Data la grande diversità di ampiezza è opportuno ricorrere ad una scala logaritmica, quindi esprimere le ampiezze in decibel (dB), come già visto a pag. 34. Gli spettri della figura sono riferiti ad un livello di -40 dB, cioè ad 1/100. In tale scala l’ampiezza dell’armonica a 18 Hz risulta di 20·log(0.05)= -26 dB, mentre ovviamente quella a 12 Hz è 20·log(1)= 0 dB.
Fig. 11.5 - Esempio di utilizzazione della finestra di Kaiser . Con una finestra rettangolare di 1 sec (cioè considerando direttamente i valori rilevati dal campionamento della durata di 1 sec ), si ha uno spettro esatto. Infatti T=1 sec corrisponde ad una scale di frequenze multiple di 1 Hz, quindi le due frequenze originali sono perfettamente identificate. Ciò è evidentemente un caso, ma in generale sarà più probabile avere uno spettro con dispersione (leakage). Se per esempio la frequenza f1 fosse 12.5 Hz, anzichè esattamente 12, si avrebbe il secondo spettro di Fig. 11.5. Per evitare la dispersione sarebbe in questo caso necessaria una finestra rettangolare di T=2 sec oppure, almeno per ridurla, ricorrere ad una finestra sempre di 1 sec ma di tipo a campana. Utilizzando una finestra di tipo Kaiser, cioè moltiplicando ciascuno dei 128 valori del segnale rilevati in 1 sec di osservazione per il corrispondente valore wn di detta finestra, si ottiene il terzo spettro della Fig.11.5 in cui, malgrado le notevoli attenuazioni introdotte, si possono individuare chiaramente le frequenze originali. 
[1] Se f1 e f2 sono due frequenze di ampiezza unitaria, la loro somma produce una frequenza di valore uguale alla loro media, modulata in ampiezza con una frequenza che è la metà della loro differenza. Infatti con a=2·p·f1·t e b= 2·p·f2·t , vale l’identità trigonometrica:
sen (a) + sen (b) = 2 · sen[(a+b)/2] · cos[(a-b)/2]
Nel caso considerato la frequenza di modulazione è (1.666-1.333)/2=0.166 Hz , quindi il periodo è 6 sec (anche se in realtà la forma d’onda si ripete identicamente ogni 3 sec)