ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Indice

1 Introduzione
2 Premessa
3 Kirchhoff
4 Laplaciano
5 Metodo dei Potenziali
6 Olandese
7 Conclusioni
8 Bibliografia

Introduzione

Dopo essere rimasto nel cassetto per più di un anno, in attesa di una stesura più completa, rendendomi conto che gli impegni "idraulici" e "surfistici" oramai non mi lasciano più speranza di completarlo, ho deciso di pubblicarlo anche se ancora in versione omega-3 :)

L'articolo nasce ancora una volta intorno ad una discussione nata sul Forum, relativamente al problema del calcolo della resistenza di un grafo, caratterizzato da una resistenza di spigolo $\,r_{ij}=R$ costante, fra due suoi vertici e con particolare riferimento ai poliedri regolari.

In questo articolo cercherò di esaminare del tutto superficialmente e senza nessuna pretesa di stendere una trattazione rigorosa, alcune diverse metodologie risolutive.

Premessa

Come già visto nel precedente articolo [1] nel caso particolare di simmetria assiale, ovvero quando possono essere individuati N+1 piani equipotenziali, il calcolo della resistenza equivalente "vista" fra due vertici opposti, può essere ricondotto alla seguente relazione generale

$R_{eq}=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{R}{n_{i}}}$

dove ni rappresenta il numero di resistori (spigoli del grafo) che collegano il piano i-esimo all' (i-1)-esimo, con piani degeneri per i=0 ed i=N corrispondenti ai terminali di misura.

Per esempio, per un icosaedro avremo quattro piani di simmetria e quindi

$R_{AB}=\sum\limits_{n=1}^{3}{\frac{R}{n_{i}}}=\frac{R}{5}+\frac{R}{10}+\frac{R}{5}=\frac{R}{2}\ \Omega$

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In questo secondo articolo, abbandonando la restrizione dell'appartenenza dei vertici "di misura" all'asse di simmetria, si cerca soluzione alla determinazione della "misura resistiva" fra due vertici qualsiasi del grafo; come "cavie" per la nostra ricerca utilizzeremo esclusivamente i "solidi platonici".

Escludiamo già in partenza il metodo semplificativo attraverso trasformazioni serie, parallelo e stella-triangolo che rendono possibile la soluzione solo per alcuni casi particolari, ed implicano sempre numerose e non immediate considerazioni circuitali.

Kirchhoff

Un metodo tradizionale, ovvero la scrittura di un sistema di equazioni attraverso le leggi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie sfruttando le simmetrie per ottimizzarne il numero.

Si noti come il metodo permetta una soluzione generale del problema anche con resistenze non uguali. Cerchiamo la soluzione con una resistenza di ramo R costante iniettando una corrente unitaria nel primo nodo A; scollegando per semplicità la coppia di lati inferiori e notando come nei lati evidenziati in rosso la corrente sia nulla.

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la riduzione del numero di correnti, grazie a considerazioni di simmetria, porterà ad un sistema a 14 equazione in 14 incognite

$\left\{ \begin{align} & i_{1}+i_{2}=1 \\ & i_{2}=i_{3}+i_{4} \\ & i_{4}=i_{5}+i_{8} \\ & i_{6}=i_{5}+i_{13} \\ & i_{1}=i_{7}+i_{13} \\ & i_{8}=i_{9}+i_{10} \\ & i_{3}=i_{11}+i_{12} \\ & i_{10}+i_{11}=i_{14} \\ & 2i_{11}+i_{14}=2i_{12} \\ & 2i_{10}+i_{14}=2i_{9} \\ & i_{5}+i_{6}=i_{8}+i_{9} \\ & 2i_{13}+2i_{6}=i_{7} \\ & i_{1}+i_{13}=i_{2}+i_{4}+i_{5} \\ & i_{4}+i_{8}+i_{10}=i_{3}+i_{11} \\ \end{align} \right.$

che con l'aiuto di Maxima

porta alla soluzione

$R_{AB}=\left( \frac{1}{2i_{1}+i_{7}}+\frac{1}{2} \right)^{-1}=\left( \frac{1}{2\times \frac{19}{33}+\frac{16}{33}}+\frac{1}{2} \right)^{-1}=\frac{9}{10}\ \Omega$

chiaramente un metodo algebricamente dispendioso, adatto solo per una soluzione numerica e inapplicabile per ottenete un risultato simbolico a "bassa entropia" ; in poche parole, inadatto per il nostro scopo.

Laplaciano

Un secondo metodo, operativamente più semplice, via matrice laplaciana.

Tralasciando la trattazione della non semplice ma importante teoria della misura e della "distanza resistiva" per i grafi, ci limitiamo qui a considerare una delle tante propietà della matrice laplaciana, evidenziate per es. dallo studio di Bapat Gutman e Xiao [2]

$\,L=D-A$

dove D è la matrice dei gradi o di valenza,

$\,D=diag(k_{1},...,k_{n})$

dove il generico ki rappresenta il grado del vertice vi, ovvero il numero di vertici ad esso adiacenti ed A è la matrice di adiacenza per la quale l'elemento A(i,j) = 1 solo se i e j adiacenti e 0 se non lo sono.

Per non appesantire la formulazione esemplifichiamo il suo utilizzo per il cubo; dove, numerati casualmente i nodi, potranno essere ricavati, da una semplice ispezione visiva del grafo, sia gli elementi di adiacenza sia quelli di grado

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$L=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 3 \\\end{matrix} \right]$

Si può dimostrare [2] che per un grafo connesso con numero di vertici $n\ge 3$ , la matrice laplaciana permette di trovare la resistenza fra qualsiasi coppia di vertici come semplice rapporto fra due determinanti

$R_{ij}=\frac{\det L(i,j)}{\det L(i)}$

dove con $\,L(i,j)$ e $\,L(i)$ , si intendono le matrici ottenute eliminando le righe e le colonne i e j per la prima, e la riga e la colonna i, per la seconda.

con Maxima possiamo eseguire il calcolo e verificare il risultato per i due vertici adiacenti 1 e 8

Il metodo è ovviamente applicabile a qualsiasi poliedro con $r i j = R = c o s t$ .

Metodo dei Potenziali

Un terzo metodo, senza dubbio più complesso da dimostrare, ma numericamente più semplice da applicare, è quello che si basa sulla ricerca di una soluzione per i potenziali dei vertici del grafo, attraverso un processo ricorsivo, che parte dalla determinazione dell' Intersection Array ovvero, ancora una volta, da una descrizione matriciale del grafo.

Lasciando al lettore l'approfondimento analitico dell'argomento [3], descrivo semplicememte il metodo dal punto di vista "idraulico" :)

Preso ad esempio il dodecaedro, con numero di vertici H=20, lati E=30, grado k=3 (numero di vertici adiacenti ad un generico vertice) e diametro d=5 (massima distanza fra i vertici) e preso un punto base di riferimento 0, individuiamo una serie di "livelli" i=0,1,2,3,...,d in base alle distanze dei rimanenti H-1 vertici da 0,

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da una semplice ispezione visiva, andremo a descrivere il grafo con una matrice a tre righe e d+1=6 colonne, dove ci,ai,bi rappresentano rispettivamente il numero di vertici ai quali ogni nodo di un certo livello i è connesso sul livello:
interno (i-1), stesso (i), esterno (i+1).

$\begin{align} & \begin{matrix} i\to \, & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{matrix} \\ & \ \,\,\begin{matrix} c_{i} \\ a_{i} \\ b_{i} \\ \end{matrix}\left( \begin{matrix} * & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & * \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

dove c0 e b5 sono indeterminati in quanto non esistono vertici a livello inferiore al livello 0 e superiori al livello 5.
La seconda riga, per grafi con vertici di pari grado, è ridondante e può essere ricavata dalle altre due in quanto
$\,a_{i}+b_{i}+c_{i}=k$ , nel nostro caso pari a 3; i coefficienti $\,a_{i}$ non entreranno quindi nella soluzione che, supponendo di iniettare una corrente I=E nel nodo iniziale, verrà cercata ricorsivamente a partire dalle due seguenti relazioni

$\left\{ \begin{align} & \phi _{0}=H-1 \\ & \phi _{i}=\frac{c_{i}\phi _{i-1}-k}{b_{i}} \\ \end{align} \right.$

che, detti

$n_{0}=1,\quad n_{1}=3,\quad n_{2}=6,\quad n_{3}=6,\quad n_{4}=3,\quad n_{5}=1$

il numero di vertici relativi ai diversi livelli, portano ad una soluzione sintetizzabile come

$\phi _{i}=\,\frac{k(n_{i+1}+...+n_{d})}{n_{i}b_{i}}$

ottenendo per il dodecaedro (H=20, k=3, d=5)

$\phi _{0}=19,\quad \phi _{1}=8,\quad \phi _{2}=5,\quad \phi _{3}=2,\quad \phi _{4}=1$

valori che permettono infine di calcolare la resistenza fra due vertici qualsiasi con Ohm

$I=E=30,\quad R_{0j}=\frac{V}{I}=\frac{1}{I}\sum\limits_{i=0}^{j-1}{\phi _{i}}$

e ricavare in sequenza tutte le resistenze cercate

$R_{01}=\frac{1}{30}\times 19=\frac{19}{30},\quad R_{02}=\frac{1}{30}\times (19+8)=\frac{9}{10},\quad R_{03}=\frac{1}{30}\times (19+8+5)=\frac{16}{15},$

$R_{04}=\frac{1}{30}\times (19+8+5+2)=\frac{17}{15},\quad R_{05}=\frac{1}{30}\times (19+8+5+2+1)=\frac{7}{6}$

Olandese

Risolviamo infine con l'eleganza geniale di F. J. Van Steenwijk, che con una semplice sovrapposizione degli effetti, scompone il problema asimmetrico nei due sottoproblemi a simmetria assiale.

Applicandolo per esempio al dodecaedro, avremo la configurazione (di principio) rappresentata in figura

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con numero di vertici H=20 e numero di lati E=30.

La resistenza viene determinata nelle due reti componenti, supponendo di iniettare o di estrarre una corrente I attraverso i due vertici e, rispettivamente, di estrarre o iniettare uguali frazioni dI=I/(H-1) della stessa attraverso i rimanenti H-1 vertici.

In questo modo ci si ricondurrà al caso con vertici opposti, ovvero ci si riporta ad una situazione di simmetria e potranno di conseguenza essere usati i cinque piani equipotenziali (dei quali due degeneri), che suddividono gli E=30 lati in cinque sottogruppi di cardinalità 3,6,6,6,3.

Esemplificando con un grafo equivalente avremo

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Dove con i è stato indicato il numero d'ordine del piano, con ni il numero di nodi che sottraggono/iniettano le "frazioni" di corrente elementare nel grafo, con ri il numero di rami (lati) che connettono due piani adiacenti.

A questo punto un esempio numerico ci chiarirà le idee e ci permetterà successivamente di trovare una relazione che generalizza la soluzione; supponendo per semplicità di cercare la resistenza equivalente vista fra a e b

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avremo che i piani coinvolti saranno solo quelli relativi a i=0,1,2 e quindi, suddiviso il problema nei due sottoproblemi simmetrici, iniettata una corrente I in a, e notato che i contributi delle due sottoreti sono uguali, potremo scrivere la d.d.p. fra a e b come

$V_{ab}=V_{ab}^{\prime}+V_{ab}^{\prime\prime}=2V_{j}=2\left[ \frac{R}{3}I+\frac{R}{6}\left( I-\frac{3}{19}I \right) \right]$

in quanto il primo gruppo di tre resistori in parallelo è attraversato dall'intera corrente I mentre nel successivo gruppo di sei, scorre una corrente ridotta di tre frazioni elementari I/(H-1).

Per completare il calcolo possiamo usare Ohm, per ricavare

$R_{ab}=R_{eq}(2)=\frac{V{ab}}{I+\frac{I}{H-1}}=2R\left[ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left( 1-\frac{3}{19} \right) \right]\cdot \frac{19}{20}=\frac{9}{10}R$

Generalizzando la relazione particolare sopra scritta avremo che, indicati come già detto con ri il numero di rami di connessione fra i piani e con ni il numero di nodi di estrazione/iniezione nel piano

$R_{eq}(j)=\frac{2V_{j}}{I\left( 1+\frac{1}{H-1} \right)}=\frac{2\sum\limits_{i=1}^{j}{\frac{R}{r_{i}}}I_{i}}{I\left( \frac{H}{H-1} \right)}=2R\sum\limits_{i=1}^{j}{\frac{1}{r_{i}}}\left( 1-\frac{1}{H-1}\sum\limits_{k=0}^{i-1}{n_{k}} \right)\cdot \left( \frac{H-1}{H} \right)$

ed infine la Relazione Finale

$R_{eq}(j)=2\frac{R}{H}\sum\limits_{i=1}^{j}{\frac{1}{r_{i}}}\left( H-1-\sum\limits_{k=0}^{i-1}{n_{k}} \right)$

Come corollario a questo risultato notiamo come, nel caso particolare di j=1, ovvero nella ricerca della resistenza equivalente fra due vertici adiacenti, la formula si semplifichi nella nota relazione notevole valida per tutti i poliedri regolari.

$R_{eq}(1)=2\frac{R}{H}\frac{\left( H-1 \right)}{r_{1}}=\frac{\left( H-1 \right)}{E}R$

Conclusioni

Le diverse soluzioni sono avviamente collegate fra loro e sarebbe interessante analizzare questi legami (Kirchhoff ne è sostanzialmente la base comune;) ma ad ogni modo, non c'è ombra di dubbio, a Steenwijk va il Primo premio per il Miglior Metodo Risolutivo al problema posto; la sua soluzione, che considero semplicemente geniale e che in passato ho invano "idraulicamente" cercato, mi fa dire ... "Chapeau!".

La Simmetria che nella soluzione generale di questo problema sembrava giocare un ruolo marginale, grazie a Lui, ha ripreso il controllo e ancora una volta è risultata "Vincente".

Bibliografia

[1] Renzo D. F., Resistenze e Simmetria 1, Electroyou 2008
[2] Ravindra Bapat, Ivan Gutmana and Wenjun Xiao, A Simple Method for Computing Resistance Distance, 2003
[3] Greg Markowsky, Jacobus Koolen, A conjecture of Biggs concerning the resistance of a distance-regular graph, 2010
[4] F. J. van Steenwijk, Equivalent resistors of polyhedral resistive structures, 1998
[5] Douglas Klein, Milan Randic Resistance Distance, 1993
[6] Peter G. Doyle. J. Laurie Snell Random walks and electric networks, 2006.

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