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Comunicazioni del presente e dell'immediato futuro: le fibre ottiche.

Dai segnali di fumo, ai lampi di luce trasmessi da una torretta di guardia, ai postini a cavallo ed ai postali, sono stati fatti tuttora dei prograssi incredibili per trasmettere e ricevere messaggi a distanza: dapprima si sono utilizzati i cavi (anche ora) per portare un messaggio magari da una parte all'altra del mondo, poi l'etere e di nuovo un tipo di collegamento per cavi ad una banda larghissima, con velocità di trasmissioni molto più alte, specialmente nei collegamenti che riguardano internet: le fibre ottiche. Questi sottili tubicini costituiti da composti di silicati permettono alla luce modulata da dispostivi opto-elettronici di transitare e raggiungere la destinazione, senza grosse distorsioni. Per permettere questo, si usano le proprietà di riflessione di un'onda elettromegnetica di fronte alla discontinuità tra due mezzi, che hanno die indici di rifrazioni differenti.


Indice

Generalità

La trasmissione di segnali elettrici in fibrea ottica è resa possibile applicando ad un terminale una sorgente di luce modulata dallo stesso segnale lettrico (diodi led) (per l'infrarosso 0.5 - 2.0 μ) e in fondo alla linea di trasmissione un rivelatore o fotodiodo, che ritrasformi la luce in segnale elettrico.

Caratteristiche fondamentali di una linea in fibra ottica

  • Mezzo di trasmissione: fibra in vetro-silice o fibra in plastica (nylon)
  • Diametro della fibra: 125 micron (standard)
  • Attenuazione 0.2 -5 dB/km (fibra mono-multimodo in vetro silice), indipendente dalle caratteristiche di modulazione ed elevata distanza tra gli amplificatori di linea, ad uso rigenerativo dei segnali, durante il percorso della luce (>100 km. per fibre vetro-silice monomodo).

a) Vantaggi.

  • Elevata capacità di trasmissione
  • Immunità intereferenze elettromegnetiche
  • Elevata sicurezza dei dati trasmessi (bassa probabilità d'intercettazione).

b) Svantaggi.

  • Gli amplificatori di linea dovrebbero essere alimentati tramite linea di alimentazione (ottica o elettrica), oppure con batteria).

Efficienza di una linea in fibra ottica

L'efficienza e' data dal prodotto tra la velocità massima di trasmissione su un dato canale, con un tecnica di modulazione e la massima distanza L, che è possibile coprire a tale velocità. Nella Figura 1 si puo' vedere come varia questa grandezza al variare dela tecnica trasmissiva.


 Fig. 1.Efficienza di una fibra ottica, confrontata con altri sistemi trasmissivi.

Fig. 1.Efficienza di una fibra ottica, confrontata con altri sistemi trasmissivi.

Banda di trasmissione di una fibra ottica

La banda a disposizione di una fibra ottica è di alcuni terahertz, ossia dieci volte superiore a quella delle comunicazioni radio. Ciò consente di trasmettere ad alta velocità ( si può trasmettere ad un rate pari ad alcuni Tb/sec.). Anche se la trasmissione su un canale hertziano subisce minori attenuazioni, rispetto alle trasmissioni su fibra ottica per lunghe distanze, la velocità su fibra è così elevata da far sì che l'efficienza sia considerevolmente più elevata.

Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra

Fig. 2. Schema sistema in fibra ottica.jpg

Fig. 2. Schema sistema in fibra ottica.jpg

Come si evince da Fig.2, la modulazione dati e' tipo On-Off-Keying (OOK), che consiste in una presenza/assegna di segnale in uscita del modulatore, a seconda che venga emeso un bit a "1" o a "0". La sorgente lumininosa in questo caso e' un diodo LASER, che viene accesso alla massima potenza, oppure viene spento. Il segane emesso ad una certa frequenza ottica λ0 viene immesso nella fibra ottica, che si comporta come una guida d'onda. Il segnale trasmesso viene alla fine del collegamento, raccolto da un device detto fotorivelatore, che non è altro che un diodo semiconduttore, che restituisce in uscita una corrente elettrica proporzionale all'intensità di segnale del segnale luminoso ricevuto. Il segnale, quindi, viene amplificato, integrato, per elimanare i disturbi dovuti al proceso di rivelazione ed infine viene rigenerato da un dispositivo di soglia, che restituisce il segnale trasmesso. Tale sistema è detto a rivelazione diretta e costituisce lo schema base, dei sistemi in fibra ottica.

Generazione di sistemi ottici di trasmissione

  • La prima generazione dei sistemi ottici (siamo alla fine degli anni '70 del secolo scorso) faceva uso di componento opto-elettronici in Arseniuro di Gallio (GaAs), che funzionavano alla lunghezza d'onda di 0.85 micron (prima finestra) e di fibre ottiche di tipo multimodo, che pernettevano di far propagare il segale secondo diverse modalità di propagazione.
  • La seconda generazione (anni '80) è caratterizzata da una lunghezza d'onda di 1.3 micron (seconda finestra) e da fibre con modo di propagaziane unico (multimodo).
  • La terza generazione (anni '90) utilizza una zona di funzionamento a minima attenuazione (terza finestra con lunghezza d'onda pari a 1.55 micron per una attenuazione di 0.25 dB/Km.).
  • La quarta generazione, attualmente in uso, tende ad aumentare la capacità, aumentando la sensibilità dei ricevitori, attraversi nuove tecniche di rivelazione dei segnali (sistemi coerenti o con amplificatore ottico).
  • I futuri sistemi di quinta genareazione (solitonici) si avvarranno di proprieta' di propagazione non lineare del segnale ottico, per eliminare la distorsione cromatica ed aumentare la banda di trasmissione.


Fig. 3.Finestre di funzionamento dei sistemi di trasmissione in fibra.

Fig. 3.Finestre di funzionamento dei sistemi di trasmissione in fibra.

La fisica delle fibre ottiche

Un segnale ottico può essere monocromatico o policromatico.

Nel primo caso la distribuzione spettrale è data da:

φ(λ)˜φ0δ(λ0)

e con potenza ottica pari a:

P=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(\lambda)\, \text{d}\lambda;

nel secondo, data una distrubuzione continua di φ(λ),

la potenza risulta essere:

P=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(\lambda)\, \text{d}\lambda.

Vedasi Fig. 4 sulle due distribuzioni spettrali.

distribuzione spettrale.jpg

distribuzione spettrale.jpg

Riflessione e rifrazione in una fibra ottica

La fibra ottica è costituita da materiale silico-vetroso, dove varia l'indice di rifrazione, che provoca riflessioni del segnale ottico, che determinano la propagazione.

Gli approcci teorici sono due e basati su:

  • Ottica geometrica
  • Equazioni di Maxwell.

Ottica geometrica

L'indice di rifrazione n e' dato dal rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità del raggio luminoso in un qualsiasi mazzo differente dal vuoto. Per esempio esso vale per:

  • aria=1
  • acqua=1.3
  • Vetro-silice=1
  • cristallo=1
  • diamante =1


Fig. 5. Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso.

Fig. 5. Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso.

Se un raggio luminoso attraversa una discontinuità tra due materiali a diverso indice di rifrazione, si puà avere, come si vede in Fig. 5, oltre alla presenza di un raggio incidente, anche quella di un raggio rifratto nell'altro mezzo e di uno riflesso nello stesso mezzo del raggio incidente. Nel caso della figura:

  • a= raggio incidente
  • a'= raggio riflesso nel mezzo del raggio incidente
  • b= raggio rifratto o trasmesso nell'altro mezzo
  • \varphi_1=angolo d'incidenza
  • \varphi_2=angolo di rifrazione

Ne deriva la legge di Snell per la rifrazione:

n_1 \sin(\varphi_1)=n_2 \sin(\varphi_2),

dove i pedici 1 e 2 contrassegnano i mezzi indicati in figura.

Se n2 è minore di n1, aumentando l'angolo d'incidenza si può arivare al caso che \varphi_2 diventi uguale a 90 gradi, per la qual cosa il raggio rifratto non si riproduce. L'angolo critico, oltre al quale si ha solo riflessione è quindi dato da:

\phi_c=\arcsin(\frac{n_2}{n_1})

Da quanto detto sinora, si può intuire grossolanamente il funzionamento della guida d'onda in fibra ottica: i raggi che incidono sulla fibra tramite l'interfaccia vetro aria (mezzo 1, vetro, mezzo 2, aria), con un angolo maggiore di φc sono riflessi totalamente o restano confinati all'interno della stessa fibra, come di vede in Fig. 6.

Fig. 6. Propagazione onda riflessa in fibra.jpg

Fig. 6. Propagazione onda riflessa in fibra.jpg

Ma in realta' uno dei mezzi coinvolti non può essere l'aria, ma in realtà la fibra a riflessione totale è costituita da un cilindro interno, detto nucleo o core, che corrisponde al materiale 1 del precedente esempio e da un guscio cilindrico esterno di materiale vetroso, detto mantello (cladding), che corrisponde al meteriale 2. Quindi, sia il mantello che il nucleo sono costituiti da materiali vetrosi a diverso indice di rifrazione e non mancano fibre di materiale plastico, a costi ridotti, ma che hanno caratteristiche di propagazione peggiori rispetto alle fibre in vetro.

In Fig. 7, e' riportata la struttura du una fibra ottica classica.


Fig. 7. Struttura di fibra ottica

Fig. 7. Struttura di fibra ottica

Tipi di Fibre ottiche

Essenzialmente sono di tre tipi:

  • step index
  • graduated index
  • monomodali a nucleo stretto.

Fibre step index

Le fibre step index sono caratterizzate da una discontinuità a gradino dell'indice di rifrazione tra nucleo e mantello. E' possibile studiare la propagazione della luce, mediante l'ottica geometrica, solo per step index a nucleo largo, con il raggio del nucleo molto maggiore della lunghezza d'onda del segnale luminoso. Esaminiamo la propagazione di un raggio "meridionale", ossia che giaccia su un piano passante per l'asse della fibra stessa. Se prendiamo un raggio incidente che incide l'interfaccia nucleo mantello con un raggio ineriore a φc, questo sarà ovviamente, in parte rifratto sia nel mantello e la porzione riflessa rifratta a sua volta, finché il raggio non si esaurisce dopo poche riflessioni interne. In questo caso il raggio non è accettato dalla fibra.


Per questo, si definisce cono di accettazione della fibra, quello che al suo interno contiene tutti i raggi, che entrando nella fibra, sono suscettibili di propagarsi indefinitamente. Il vertice del cono di accettazione (vedi Fig. 8) giace su un diametro della sezione del nucleo e l'angolo al vertice θa è detto angolo di accettazione della fibra.

Fig. 8. Angolo accettazione.jpg

Fig. 8. Angolo accettazione.jpg

Si può trovare una relazione tra l'angolo di accettazione e gl'indici di rifrazione n1 e n2 Consideriamo un raggio \varphi_1 > \varphi_c, che subisce una riflessione interna. L'angolo θ1, complementare a \varphi_1, che è l'angolo del raggio meridionale rifratto, entrato in fibra e che forma in ingresso un angolo θ, è tale che valga la seguente relazione:

n0sinθ = n1sinθ1

da cui segue:

\sin \theta =\frac{n_1}{n_0} \sin \theta_1

n0 è l'indice di di rifrazione dell'aria esterna alla fibra e vale all'incirca 1. Poichè θ1 è complementare di \varphi_1, si avrà:

\sin\theta = n_1 \cos\varphi_1

Dovendo essere per la riflessione totale, \varphi_1 < \varphi_c, di conseguenza, si ottiene:

sin \theta= n_1 cos\varphi_1 \le n_1 \sqrt{1-sin^2 \varphi_c}= \sqrt{n_1^2-n_2^2}

da cui si ottiene:

\theta \le \arcsin(\sqrt{n_1^2-n_2^2})\simeq \theta_a

Quindi i raggi che si presentano alla bocca della fibra con un angolo minore di θa, subiranno una riflessione totale nella fibra e si propagheranno, per gli altri non ci sarà questa possibilità.

Apertura numerica di una fibra ottica

Viene definita apertira numerica di una fibbra:

NA = \sin \theta_a =\sqrt{n_1^2-n_2^2}

Tanto e' più ampio Na, tanto è più grande il cono di accettazione dei raggi dall'esterno. Per valori tipici delle fibre con n1 = 1.50,n2 = 1.47, si ottiene NA\simeq 0.3,  \theta_a\simeq 17^\circ

Dispersione intermodale

Supponiamo di avere due raggi meridionali incidenti sulla bocca della fibra, uno con angolo d'incidenza nullo e l'altro avente il valore massimo θa. Se i due raggi viaggiano nel nucleo alla stessa velocità di propagazione v = c / n1, ma coprono una stessa distanza assiale L, attraverso due percorsi divesi, aventi lunghezza diversa. Il raggio 1 percorre una lunghezza d=L, mentre il raggio 2 d=\frac{L}{sin\varphi_c}

I due raggi arriveranno alla distanza L, in due tempi diversi:

t_1=\frac{L}{v}
t_2=\frac{L}{v sin\varphi_c}

La differenza di tempo tra i due istanti è pari a:

\Delta t=t_2-t_1 = \frac{Ln_1^2 \Delta}{cn_2},

dove \Delta \simeq 1-\frac{n_2}{n_1}, che s'dentifica con la variazione relativa tra i due indici di rifrazione della fibra. Questo fenomeno di ritardo tra due o più raggi prende il nome di "dispersione intermodale". Ogni cammino e' detto modo di propagazione dell'onda luminosa ed ognuno di questi è caratterizzato da una velocità di propagazione lingo l'asse della fibra pari a:

v_g=\frac{c \sin \varphi}{n_1}

Per questo le fibre a nucleo largo, dette anche "multimodo", sono caratterizzate da dispersione intermodale.

La dispersione multimodale e' dannosa quando il ritardo relativo massimo Δt diventa confrontabile con le costanti di tempo del segnale trasmesso. Infatti, prendiamo il caso di un impulso di durata T, che viene trasmesso con uno dei raggi più lenti,per esempio con angolo d'incidenza sulla fibra di θa: la durata dell'impulso alla distanza L è pari a T+Δt Se Δt diviene confrontabile con T l'impulso trasmesso si allarga e tende a socrapporsi a segnali partitti successivamente, creandosi così l'interferenza intersimbolo.

La Fig. 9, mostra il fenomeno.

Fig. 9. Interferenza intersimbolo.jpg

Fig. 9. Interferenza intersimbolo.jpg

Il problema si risolve, imponendo un limite superiore alla velocità di trasmissione e la condizione è evidente:

\Delta t=\frac{Ln_1^2 \Delta t}{cn_2} \le T=\frac{1}{R_b}. Considerando la banda di trasmissione all'incirca pari al BIT-Rate Rb,

si ottiene:

B=\frac{c n_2}{\Delta Ln_1^2}

Introducendo la capacità di canale \delta=B \cdot L, si ottiene infine

\delta \le \frac{cn_2}{\Delta n_1^2}

Con i soliti valori di n1,n2 pari a 1.50 e 1.47, si ottiene un valore di 10 Mb/s*Km., che è un valore molto basso.

Fibre "Graded index"

La differenza tra il tipo precedente è che il nucleo, pur mantenendosi largo posiede un indice di rifrazione ,che varia gradualmente ad un valore massimo n1 a partire dal valore del mantello che e' n2, come si evince in Fig. 10.

Fig.10. Fibre ottiche a graded index

Fig.10. Fibre ottiche a graded index

A differenza delle "Step index", i raggi non subiscino nette riflessioni, ma vengono incurvati dalla variazione dell'indice n1

Il profilo dell'indice di rifrazione si esplicita con una espressione matematica, in funzione del raggio ρ della fibra, che parte dal centro del cilindro fio verso l'esterno. Si ha:

  • n(\rho) = n_1 \sqrt{1 - 2\Delta(\frac{\rho}{a})^\alpha} per \rho \le a
  • n2 = per ρ > a

dove a è il raggio del nucleo ed α è un parametro definito in sede di lavorazione.

Le traiettorie dei raggi possono trovarsi, applicando il principio di Fermat, che minimizza i tempi di percorrennza dei raggi di luce. Il tempo dt necessario, infatti, per percorrere un tratto elementare ds, relativo al punto r, con indice di rifrazione n(r) e'

dt=\frac{ds}{v}=\frac{n(r)ds}{c}

Il principio di Fermat stabilisce, che la traiettoria del raggio luminoso è tale da minimizzare il seguente integrale curvilineo

\int_{P_1}^{P_2} n(r)\, ds,

che e' proporzionale al tempo di propagazione totale.

Il principio di Fermat può essere riformulato in maniera differenziale come:

\frac{d}{ds}[(n(r)\frac{dr}{ds}] = \nabla n(r)

Usando un sistema di riferimento, come in Fig. 11, la precedente equazione può essere semplificata, ottenendo un'equazione cartesiana del raggio y(z) del raggio luminoso (vedi Fig. 12):

\frac{d^2y}{dz^2}=\frac{1}{n}\frac{dn}{dy}

dove ρ = | y | , distnza radiale.


Fig. 12. Riferimento per equazione di Fermat.

Fig. 12. Riferimento per equazione di Fermat.

Sostituendo con α = 2, mediante un profilo parabolica di n, si trova dopo avari calcoli l'equazione di un oscillatore armonico.

y(z)=y_0 cos(\sqrt{2\Delta}\frac{z}{a})+ \frac{y_0'}{\sqrt{2\Delta}/a}sin(\sqrt{2\Delta} \frac{z}{a})

y0 ed y0' sono la posizione e la direzione iniziale del raggio: due raggi che partono dalla stessa posizione con direzioni differenti compiono traiettorie diverse, che seguono un andamento sinusoidale, con ampiezze diverse (vedi ancora Fig. 12). La dispersione con questo metodo, si vede, viene attenuata, perché i raggi che si allontanano maggiormente dall'asse, seguendo traiettorie più lunghe, si trovano a transitare in zone della fibra, caratterizzate da un indice di rifrazione più piccolo, rispetto a quello in vicinanza all'asse. L'allungamento della traiettoria è compensato da un aumento della velocità del raggio e quindi si ottiene un effetto equalizzato, che previene la dipersione entro certi limiti. Si può anche dimostrare, che le fibre a profilo α presentatno un ritardo differenziale minimo pari a:

\Delta t = \frac{n_1^2L}{8c}, quando si sceglie \alpha=2(1-\Delta)\simeq 2. Per questo si sceglie il profilo parabolico.

La capacità di trasmissione della fibra multimodo risulta elevarsi di molto:

\delta = \frac{8c}{n_1\Delta}

ed un valore tipico di questa è 4 GBit/s*Km

Fibre monomodali a nucleo stretto

Il rimedio più efficace per risovere il problema della dispersione è quello di inibire la propagazione dei modi multipli, lasciando propagare solo un modo fondamentale. La monomodalità può essere ottenuta, come si può intuire solo progettando un nucleo stretto e le dimensioni caratteristiche della fibra debbono confrontarsi con la lunghezza d'onda del segnale (0.8 - 1.6 μ). In questo caso non puo' più essere possibile applicare l'ottica geometrica, ma bisogna ricorrere alle equazione di Maxwell dei campi elettromagnetici. Se noi consideriamo un campo monocromatico ψ(r), che non è altro che un fasore, sappiamo che possiamo arrivare all'equazione delle onde o di Helmoltz che nel nostro caso diventa:

\nabla^2 \psi(r)+n_2k_0^2\psi(r)=0

dove ψ(r) rappresenta una delle componenti dei vettori compo elettrico E e magnetico H.

Trasformando l'equazione in coordinate cilindriche (ρ,φ,z), dove la direzione z coincide con la direzione di propagazione di una fibra rettilinea, dopo vari e laborioso calcoli l'equazione assume la seguente forma:

\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \rho}+ \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+ n^2k_0^2\psi=0,

ovviamente con

  • n=n1 se 0 < ρ < a (nucleo)
  • n=n2 se  \rho \ge a (mantello)

Si richiede ora che la soluzione abbia la seguente forma:

ψ(ρ,φ,z) = F(ρ)Φ(φ)exp) − jβz),
rappresentante un'onda progressiva lungo l'asse z, con coefficiente di propagazione β a determinarsi. Sostituendo e non riportando tutti i calcoli, che si ritroveranno nei riferimenti, si ottengono due equazioni differenziali, ottenute col metodo a variabili separabili, in funzione di ρeΦ La prima, periodica con periodo 2π > è:

\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}+m\Phi = 0,

dove m e' una costante arbitraria, che deve far rispettare la periodicita' della soluzione parziale.

La equazione in funzione di ρ è una Bessel di secondo ordine:

\frac{d^2F}{d\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{dF}{d\rho} + ( n_2k_0^2- \beta^2 - \frac{m^2}{\rho} )F = 0

Affinchè l'onda sia confinata all'interno del nucleo β deve soddisfare alle seguenti due condizioni:

  • β < n1k0 per 0\le\rho < a
  • β > n2k0 per ρ < a

E' utile definire due nuove costanti:

  • χ2 = (n1k0)2 − β2 > 0, per il nucleo
  • γ2 = 1beta2 − (n2k0)2 > 0, per il mantello

L'equazione in ρ > , assumerà due forme diverse, una per il nucleo e l'altra per il mantello.

Per il nucleo abbiamo:

\frac{d^2F}{d\rho^2} +\frac{1}{\rho}\frac{dF}{d\rho} + (\chi^2-\frac{m^2}{\rho^2}) F = 0

per il mantello,

\frac{d^2F}{d\rho^2} +\frac{1}{\rho}\frac{dF}{d\rho} + (\gamma^2+\frac{m^2}{\rho^2}) F = 0

Tra tutte queste funzioni di Bessel, si devono scartare quelle che non sono limitate in ρ=0 e la stessa cosa per ρ che tende all'infinito (il campo deve esaurirsi nel mantello).

Nelle Figg. 13, 14, 15 e 16 sono riportati i diagrammi dei tipi delle funzioni di Bessel.

Fig. 13. Funzioni di Bessel prima specie

Fig. 13. Funzioni di Bessel prima specie

Fig. 14. Funzioni di Bessel di seconda specie

Fig. 14. Funzioni di Bessel di seconda specie

Fig. 14. Funzioni di Bessel modificate di prima specie

Fig. 14. Funzioni di Bessel modificate di prima specie

Fig. 15. Funzioni di Bessel modificate seconda specie

Fig. 15. Funzioni di Bessel modificate seconda specie

Dalle ipotesi enunciate in precedenza e vedendo i grafici le uniche soluzioni possibili dell'equazione di Helmoltz sono le Bessel di prima specie (Jm e quelle modificate di seconda specie (Km. Quindi la soluzione può essere esplicitata nella seguente maniera.

ψ(ρ,φ,z) = AψJm(χρ)exp(jmφ)exp( − jβz) per ρ < a
ψ(ρ,φ,z) = BψKm(γρ)exp(jmφ)exp( − jβz) per ρ > a

Le costanti Aψ e Bm sono determinate in base alle condizioni al contorno. Essendo sei componenti di E ed H, sono da determinare 12 costanti. Esempi di andamenti delle soluzioni dell'equazione di Helmoltz sono graficati in Fig. 17

Fig. 17. Tipiche soluzioni grafiche dell

Fig. 17. Tipiche soluzioni grafiche dell'equazione di Helmoltz

Ma il numero di costanti può essere tuttavia ridotto, perché, attraverso le equazioni di Maxwell è possibile esprimere le componenti radiali e le componenti tangenziali dei campi magnetico ed elettrico in funzione delle sole componenti assiali e per questo le costanti da determinare rimangono solo quattro. Queste quattro costnti possono essere determinate imponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenziali ed assiali all'interfaccia in ρ=a (interfaccia nucleo-mantello). Questa condizione è detta equazione caratteristica, che ha la formulazione rappresentata in Fig. 18.

Fig. 18. Formulazione dell

Fig. 18. Formulazione dell'equazione caratteristica

Dato l'andamento oscillatorio delle funzioni di Bessel <mat>J_m</math>, fissato l'ordine m di armonica, in base alle ultime due serie di equazioni presentate, si hanno soluzioni multiple dell'equazione caratteristica, ognuna contraddistinta da un diverso valore della costante di propagazione β. Questi valori sono indicati con il simbolo di βmi, dove m è l'ordine di armonica (ovvero l'ordine della funzione di Bessel) ed i l'ordine della soluzione. Ognuno dei valori citati corrisponde ad un modo distinto di propagazione dell'onda in fibra, caratterizzato da una specifica costante di propagazione e da una particolare distribuzione radiale del campo. Perché l'onda sia confinata all'interno del nucleo deve valere

β < n1k0 per 0 < ρ < a β > n2k0 per ρ > a

A questo punto s'introduce una quantità, detta "indice di modo", definita come:

\tilde{n}=\beta/k_0

Ogni modo, si può affermare che si propaga all'interno della fobra con un indice di rifrazione \tilde{n}, che deve rispettare la condizione:

n_1 > \tilde{n} > n_2

Infatti un modo cessa di essere guidato quando \tilde{n} \le n_2

Se consideriamo la funzione di Bessel soluzione dell'equazione di Helmoltz nel mantello, per valori elevati dell'argomento, essa può essere approssimata come

K_m(\gamma \rho) \simeq exp(-\gamma\rho)/\sqrt{2\pi\gamma\rho}

Se si verifica che \tilde{n} \le n_2

si ha anche:

\tilde{n}= \beta/k_0 \le n_2

che porta a

\tilde{n} \le n_2 k_0

Di conseguenza \gamma^2 \le 0 e questo significa che il decadimento esponenziale del campo all'interno del mantello non si verifica più, perché l'esponenziale diviene complesso. Per questo il campo si propaga anche nel mantello. Se \gamma \le 0, ovvero \tilde{n} =n_2, si dice che il modo raggiunge la condizione di cutoff.

Comunque ricavare il numero dei modi di propagazione supportati da una fibra step-index a nucleo stretto non è immediato. Prima di tutto occorre definire un nuovo parametro V, detto frequenza normalizzata pari a:

V = \alpha\sqrt{\chi^2+\gamma^2} = \alpha k_0 \sqrt{n_1^2-n_2^2}= \alpha k_0 NA = 2\pi\alpha NA/\lambda_0

Poiché γ2 = β2 − (n2k0)2

ne deriva che

\beta= \sqrt{\gamma^2+(n_2 k_0)^2}

e combinando:

\beta=\sqrt{\gamma^2+(\frac{n_2V}{\alpha NA})^2}

Sostituendo la costante di propagazione dell'ultima formula nell'equazione caratteristica, si ottiene un'equazione in due incognite χaeγa che si può interpretare in maniera grafica come l'equazione implicita di una famiglia di curve sul piano aa), ognuna individuata da un'armonica di ordine m. Fissato m ogni punto della relativa curva rappresenta una possibile coppia di valori aa), relativi ad un modo della fibra. Il numero di modi e' dato dell'intersezione di una di queste curve di ordine m e l'equazione di circonferenza

V = \alpha\sqrt{\chi^2+\gamma^2}

(χα)2 + (γα)2 = V2

Si può dimostrare che se V<2.405 c'e' una intersezione unica e questo significa che nella fibra e' presente un modo fondamentale, metre le altre sono tutte cutoff. Si può anche dimostrare che il numero di modi supportati M è all'incirca pari a

M \simeq \frac{V^2}{2} per valori medio-piccoli di V

\simeq 2+\frac{4V^2}{\pi}
per valori grandi di V.

Riferimenti

1.Prof. Carlo Regazzoni, Corso di Sistemi di Telecomunicazioni, a.a. 2010, Università di Genova.
2.Franco Gori, presidente della Facoltà di Fisica a Roma 3- Elementi di Ottica, Accademica, Roma 1997.
3. Alessandro Ossicini. Complementi di matematica. La Sapienza. Roma
4. Schaum. Manuale di matematica.


(a modificare aggiungendo parti nuove)

1

Commenti e note

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di ,

Da quel che mi risulta l'OOK è morto dalle parti del 2001 in questo campo, per lasciare il posto al differential phase-shift keying. Con l'OOK le velocità ottenute oggi non sarebbero possibili.

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