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1 Parte seconda

Parte seconda

In questa seconda parte dell'articolo, a completamento della prima sui metodi "classici" di analisi del problema in oggetto, si intraprende il metodo risolutivo mediante le equazioni di stato.

Nota propedeutica

Prima di discutere il metodo risolutivo in questione, è utile dare una breve introduzione teorica riguardo alla modellizzazione matematica di un sistema lineare, differenziale improprio e tempo-invariante (LTI), come il caso della rete elettrica che stiamo analizzando. Per una trattazione approfondita e rigorosa da un punto di vista analitico, si rimanda ai fondamenti di Teoria dei sistemi.
Un sistema LTI è rappresentabile mediante il seguente modello matematico, definito rappresentazione implicita impropria:

$\left\{ \begin{align}& \mathbf{\dot x}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t) \\ & \mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{u}(t) \end{align} \right.$

dove:

$\mathbf{u}$ , $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ sono vettori colonna definiti rispettivamente vettore forzante, vettore di stato e vettore d'uscita . Gli elementi $\,u_m(t)$ del vettore forzante saranno le sollecitazioni del sistema, ovvero, nel caso dei circuiti elettrici, le forme d'onda impresse dalle sorgenti presenti nella rete (generatori indipendenti di tensione o corrente); gli elementi $\,x_n(t)$ del vettore di stato rappresentano propriamente le variabili di stato (tensioni sui condensatori o correnti sugli induttori per le reti elettriche). Per finire, gli elementi $\,y_p(t)$ che compongono il vettore d'uscita, rappresentano le risposte del sistema dovute allo stato iniziale ed agli ingressi applicati. Abbiamo usato i termini al plurale considerando il caso generale di sistemi MIMO (Multiple Input Multiple Output); non si lede la generalità se restringiamo lo studio ai sistemi unidimensionali SISO (Single Input Single Output), come il caso della rete elettrica che ci accingiamo a studiare.
$\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ e $\mathbf{D}$ sono matrici reali, costanti e indipendenti dalla variabile temporale; in particolare, $\mathbf{A}$ prende il nome di matrice dinamica o matrice di stato, $\mathbf{B}$ è definita matrice forzante del sistema, $\mathbf{C}$ è la matrice di transizione stato-uscita ed infine $\mathbf{D}$ è definita matrice di transizione ingresso-uscita, poiché esplica il legame diretto tra la risposta nell'uscita e la sollecitazione applicata al sistema. Nel caso particolare in cui $\mathbf{D}$ sia identicamente nulla, la rappresentazione si definisce implicita strettamente propria o puramente dinamica. L'indipendenza dal tempo si ha solo per sistemi LTI, per cui gli elementi sono delle costanti; nella fattispecie dei circuiti elettrici, gli elementi della matrice dinamica dipendono dai valori dei componenti costitutivi del sistema (resistori, condensatori, induttori), gli elementi della matrice forzante dipendono dai coefficienti delle sollecitazioni e dai componenti dinamici del sistema (condensatori e induttori), gli elementi della matrice di transizione stato-uscita e ingresso-uscita sono i coefficienti associati alle variabili di stato e alla sollecitazione, rispettivamente. Vedremo inoltre, nel seguito dello svolgimento, che il segno assunto dagli elementi della matrice $\mathbf{A}$ è cruciale per la stabilità o meno della risposta.

Risoluzione mediante equazioni di stato

L'approccio analitico dei circuiti dinamici di ordine superiore al primo basato sul metodo delle equazioni di stato, ci consente di determinare un'equazione differenziale del secondo ordine (lineare, a coefficienti costanti e non omogenea) a partire da due equazioni differenziali del primo ordine accoppiate (nel caso di sistemi del secondo ordine come il nostro), aventi la seguente forma analitica:

$\mathbf{\dot x}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t)$

Tale espressione prende il nome di equazione di stato in forma normale nell'incognita $\,\mathbf{x(t)}$ .
I vantaggi principali di questo metodo sono, inoltre, la possibilità di implementare ed ottenere una soluzione numerica con il calcolatore utilizzando opportuni algoritmi (metodo diretto e inverso di Eulero) e l'applicabilità allo studio dei circuiti non-lineari.
Detto questo, vediamo come impostare la risoluzione mediante tale approccio per il nostro quesito: per comodità, riportiamo lo schema originario e i dati forniti dal problema:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dati:
$R_1=R_2=R_o=1\,\Omega$ ;
$C_1=0.5\,\text{F},\,\,C_2=1\,\text{F}$ ;
$g=2\,\text{S}$ ;
$\,v_s(t)=u(t)$
$v_{C_1}(0^-)=v_{C_2}(0^-)=1\,\text{V}$ .

In forza del principio di sostituzione è possibile inserire al posto dei condensatori, dei generatori indipendenti di tensione con valore $\,v_{C_i}(t)$ , a patto che tale sostituzione non comporti in alcun modo la modificazione delle correnti e delle tensioni di lato del circuito di partenza (ossia non venga violata l'unicità della soluzione per ogni grandezza di lato della rete). Così facendo, ricaviamo le equazioni di stato analizzando solo un circuito resistivo con i metodi risolutivi di base più consoni al caso. Lo schema di partenza è quindi equivalente a questo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dove sono state evidenziate le correnti di maglia ed è stata effettuata una trasformazione equivalente di Thevenin a destra; e' importante precisare che la polarità dei generatori di tensione deve essere la stessa di quella posseduta dalla d.d.p. ai capi dei condensatori (discorso duale vale per il verso della corrente nel caso di induttori). Scriviamo le equazioni alle maglie ed il vincolo in tensione imposto dal VCCS:

$\left\{ \begin{align}& -1+v_{C_1}+v_{C_2}+J_1-J_2=0 \\ & -v_{C_2}+2v+3J_2-J_1=0 \\ & v=-v_{C_2}+J_2 \end{align} \right.$

Sostituendo la terza equazione nella seconda e ordinando secondo le correnti, si ha:

$\left\{ \begin{align}& J_1-J_2=-v_{C_1}-v_{C_2}+1 \\ & -J_1+5J_2=-3v_{C_2} \end{align} \right.$

Sommando la seconda equazione alla prima, ricaviamo $\,J_2$ :

$J_2=-\frac{1}{4}v_{C_1}+\frac{1}{2}v_{C_2}+\frac{1}{4}$

Per il calcolo di $\,J_1$ , sommiamo alla seconda equazione la prima moltiplicata per un fattore "5":

$J_1=-\frac{5}{4}v_{C_1}-\frac{1}{2}v_{C_2}+\frac{5}{4}$

Essendo:

$\left\{ \begin{align}& i_{C_1}=J_1 \\ & i_{C_2}=J_1-J_2 \end{align} \right.$

sostituendo le relazioni ricavate per le correnti di maglia e semplificando, si ha:

$\left\{ \begin{align}& i_{C_1}=-\frac{5}{4}v_{C_1}-\frac{1}{2}v_{C_2}+\frac{5}{4} \\ & i_{C_2}=-v_{C_1}-v_{C_2}+1 \end{align} \right.$

Ricordando la relazione caratteristica del condensatore e sostituendo i valori numerici delle due capacità, perveniamo finalmente alle equazioni di stato in forma normale per il nostro circuito:

$\left\{ \begin{align}& \frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t}=-\frac{10}{4}v_{C_1}-v_{C_2}+\frac{10}{4} \\ & \frac{\text{d}v_{C_2}}{\text{d}t}=-v_{C_1}-v_{C_2}+1 \end{align} \right.$

Espresse in forma matriciale:

$\begin{bmatrix} \frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t} \\ \frac{\text{d}v_{C_2}}{\text{d}t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{10}{4} & -1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{C_1} \\ v_{C_2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{10}{4} \\ 1\end{bmatrix}$

dove risultano definite rispettivamente la matrice di stato e la matrice forzante:

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} -\frac{10}{4} & -1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}$

$\mathbf{B}=\begin{bmatrix} \frac{10}{4} \\ 1\end{bmatrix}$

Come anticipato, dalle equazioni di stato è possibile ricavare un'equazione differenziale del secondo ordine in forma standard in una delle due incognite. Vediamo come:

deriviamo la prima equazione di stato:

$\frac{\text{d}^2v_{C_1}}{\text{d}t^2}=-\frac{10}{4}\cdot\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t}-\frac{\text{d}v_{C_2}}{\text{d}t}\,\,\,\,\,\,(1)$

sostituiamo alla (1) la seconda equazione di stato:

$\frac{\text{d}^2v_{C_1}}{\text{d}t^2}=-\frac{10}{4}\cdot\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t}+v_{C_1}+v_{C_2}-1\,\,\,\,\,\,(2)$

ricaviamo $\,v_{C_2}$ dalla prima equazione di stato:

$v_{C_2}=-\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t}-\frac{10}{4}v_{C_1}+\frac{10}{4}\,\,\,\,\,\,(3)$

sostituiamo la (3) nella (2) e svolgiamo le opportune semplificazioni; si ottiene:

$\frac{\text{d}^2v_{C_1}}{\text{d}t^2}+\frac{7}{2}\cdot\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t}+\frac{3}{2}v_{C_1}=\frac{3}{2}$

che è proprio l'equazione differenziale del secondo ordine in forma standard nell'incognita $\,v_{C_1}$ che ci eravamo prefissati di determinare. Calcoliamo le condizioni al contorno:

$\,v_{C_1}(0^+)=v_{C_1}(0^-)=1\,\text{V}$

${\left.\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t} \right|}_{t=0^+}=-\frac{10}{4}v_{C_1}(0^+)-v_{C_2}(0^+)+\frac{10}{4}=-1\,\frac{\text{V}}{\text{s}}$

Si perviene quindi al seguente problema di Cauchy:

$\left\{ \begin{align}& \frac{\text{d}^2v_{C_1}}{\text{d}t^2}+\frac{7}{2}\cdot\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t}+\frac{3}{2}v_{C_1}=\frac{3}{2} \\ & v_{C_1}(0^+)=1\,\text{V} \\ & {\left.\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t} \right|}_{t=0^+}=-1\,\frac{\text{V}}{\text{s}} \end{align} \right.$

che ha come soluzione unica (si omettono i passaggi per il calcolo delle costanti e dell'integrale particolare, poichè il procedimento è del tutto analogo a quello già esemplificato nella prima parte dell'articolo, alla quale, eventualmente, si rimanda il lettore):

$v_{C_1}(t)=-\frac{2}{5}e^{-\frac{1}{2}t}+\frac{2}{5}e^{-3t}+1\,\text{V}\,,\forall t>0\,\,\,\,\,\,(4)$

Procedendo in modo analogo a quanto fatto fino ad ora per $\,v_{C_1}$ , è possibile ricavare un'equazione differenziale in funzione di $\,v_{C_2}$ , ergo risolvere il seguente problema di Cauchy:

$\left\{ \begin{align}& \frac{\text{d}^2v_{C_2}}{\text{d}t^2}+\frac{7}{2}\cdot\frac{\text{d}v_{C_2}}{\text{d}t}+\frac{3}{2}v_{C_2}=0 \\ & v_{C_2}(0^+)=1\,\text{V} \\ & {\left.\frac{\text{d}v_{C_1}}{\text{d}t} \right|}_{t=0^+}=-1\,\frac{\text{V}}{\text{s}} \end{align} \right.$

avente come unica soluzione:

$v_{C_2}(t)=\frac{4}{5}e^{-\frac{1}{2}t}+\frac{1}{5}e^{-3t}\,\text{V}\,,\forall t>0\,\,\,\,\,\,(5)$

Adesso possiamo ricavare $\,v_o(t)$ :

$\,v_o=2v+J_2\,\,\,\,\,\,(6)$

Ricordando le relazioni ricavate per $\,v$ e $\,J_2$ (che riscriviamo per comodità):

$v=-v_{C_2}+J_2$

$J_2=-\frac{1}{4}v_{C_1}+\frac{1}{2}v_{C_2}+\frac{1}{4}$

e sostituendole in (6) si ha:

$\,v_o=-2v_{C_2}+3J_2$

ed ancora:

$v_o=-\frac{3}{4}v_{C_1}-\frac{1}{2}v_{C_2}+\frac{3}{4}\,\,\,\,\,\,(7)$

Come vediamo, la (7) è nella forma:

$\mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{u}(t)$

per cui risultano definite rispettivamente la matrice di transizione stato-uscita e la matrice di transizione ingresso-uscita:

$\mathbf{C}=\begin{bmatrix} -\frac{3}{4} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

$\mathbf{D}=\begin{bmatrix} \frac{3}{4}\end{bmatrix}$

Essendo $\mathbf{D}\ne \mathbf{0}$ (matrice nulla), il nostro sistema è improprio.
Sostituendo infine le forme d'onda (4) e (5) nella (7), otteniamo la forma d'onda della tensione richiesta dal quesito:

$v_o(t)=-\frac{1}{10}e^{-\frac{1}{2}t}-\frac{2}{5}e^{-3t}\,\text{V}\,,\forall t>0$

che, come possiamo notare, è lo stesso risultato ottenuto con i metodi discussi nella prima parte dell'articolo.
Un'ultima osservazione di carattere generale è la seguente: prima di imbattersi nei calcoli necessari all'ottenimento di un'equazione differenziale del secondo ordine in funzione di una variabile di stato (tensione su un condensatore o corrente su un induttore), possiamo dire con certezza se la risposta del circuito è stabile o meno, "studiando" gli elementi della matrice di stato, come anticipato nella nota introduttiva.
Si definisce traccia T della matrice di stato, la somma degli elementi della diagonale principale, quindi, nel caso da noi discusso, $T_{\text{A}}=-\frac{10}{4}-1=-\frac{7}{2}$ . Il determinante vale invece $\Delta_{\text{A}}=\frac{10}{4}-1$ ; traccia e determinante non sono altro che i coefficienti che compaiono nelle equazioni differenziali del secondo ordine sopra determinate:

$\frac{\text{d}^2v_{C_i}}{\text{d}t^2}-T_{\text{A}}\frac{\text{d}v_{C_i}}{\text{d}t}+\Delta_{\text{A}}v_{C_i}=y_i$

Facendo un raffronto con la forma canonica di una equazione differenziale del secondo ordine:

$\frac{\text{d}^2v_{C_i}}{\text{d}t^2}+2\alpha\frac{\text{d}v_{C_i}}{\text{d}t}+{\omega_0}^2v_{C_i}=y_i$

si ricava:

$\alpha=-\frac{T_{\text{A}}}{2}$

${\omega_0}^2=\Delta_{\text{A}}$

Nel nostro caso $\alpha=\frac{7}{4}$ e ${\omega_0}^2=\frac{3}{4}$ , per cui essendo $\,\alpha>{\omega_0}$ , la risposta in termini di $\,v_o$ è asintoticamente stabile (nella fattispecie del problema è sovrasmorzata) come abbiamo già avuto modo di constatare nella prima parte di questo articolo. Dunque concludiamo che, nell'ambito della risoluzione di una rete del secondo ordine con l'approccio mediante equazioni di stato, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia stabile è che:

$T_{\text{A}}<0,\,\,\,\,\,\,\Delta_{\text{A}}>0$

quindi è sufficiente impostare le equazioni di stato e discutere il segno di traccia e determinante della matrice di stato per studiare la stabilità del sistema in questione.

Bibliografia

R. Perfetti: "Circuiti elettrici" - Zanichelli, 2003.
P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni: "Fondamenti di controlli automatici" - McGraw-Hill, 2008.

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