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Programmi Mathcad per simulazione motori in continua (2)

Proseguendo quanto detto nell' articolo precedente sull'uso di Mathcad Express nella simulazione del comportamento di un motore in continua, vediamo ora il calcolo del parametri che definiscono il comportamento dinamico del motore.


Indice

CdT elettrica

Un primo transitorio è l'andamento della corrente d'armatura, supposto di applicare istantaneamente la tensione V (andamento "a gradino"). Poiché l'avvolgimento rotorico ha una resistenza (Ra) ed un induttanza (La), possiamo schematizzare il circuito così:

Si suppone inoltre che il rotore sia bloccato, in modo da non generare alcuna fcem.
Possiamo allora scrivere l'equazione del circuito:
V=Ra\cdot Ia+La\cdot\frac{dIa}{dt}
e ponendo : Te=\frac{La}{Ra}
si può scrivere:
 \frac{V}{Ra}= Ia+Te\cdot\frac{dIa}{dt}

E' quindi un'equazione differenziale in Ia, che ha per soluzione:
Ia=\frac{V}{Ra}\cdot(1-e^{-\frac{t}{Te}})

Con Mathcad Express, possiamo allora rracciare l'andamento di IA:

I valori di Te possono variare, a secondo della taglia del motore fra 10 e 100ms.

Si evidenzia che una prova del genere (a rotore bloccato) può essere solo simulata, poiché la corrente raggiungerebbe un valore in questo caso 5 volte la corrente nominale del motore. Ove si dovesse fare, per es. per ricavare sperimentalmente il valore di La, occorrerebbe ridurre in proporzione la tensione applicata.

CdT meccanica

La costante di tempo meccanica Tm è un parametro che riguarda la rapidità di variazione di velocità del motore.
Per la sua determinazione si suppone che la coppia motrice sviluppata sia tutta destinata all'accelerazione del rotore (quindi senza carico e senza perdite per attrito).
Si osserva inoltre che è opportuno misurare la velocità di rotazione in rad/s anziché in g/min (indicandole rispettivamenre ωr ed ω) ed in questo caso il parametro kΦ coincide con il parametro KΦ, per cui possiamo chiamarli entrambi K.
:
Le equazioni del motore, viste nella prima parte, possono allora essere così riscritte:
V=Ra\cdot Ia+ \omega r \cdot K
C=Ia\cdot K=J\cdot\frac{d\omega r}{dt}
da cui, ponendo :\qquad Tm=\frac{Ra\cdot J}{K^2}, si ricava l'equazione differenziale:
\frac{V}{K}=Tm\cdot\frac{d\omega r}{dt}+\omega r
Come si vede , la struttura di questa è simile alla precedente, quindi la soluzione è un andamento esponenziale dello stesso tipo:
\omega r=\frac{V}{K}\cdot(1-e^{-\frac{t}{Tm})}
Ed ecco il programma in Mathcad Express:

J è il momento d'inerzia del rotore (espresso in :  kg_m\cdot m^{2}), ed è il prodotto della massa per il raggio giratore (o di inerzia, vedi pag.14).
Tm dipende anche dalla resistenza di armatura Ra e dal coefficiente K, che esprime l'influenza della corrente di eccitazione. Si noti che essendo K elevato al quadrato, una diminuzione della corrente di eccitazione ha come effetto un notevole aumento di Tm (dimezzando Ie, Tm si quadruplica).

La costante Tm è normalmente nell'ordine dei decimi di secondo, quindi decisamente maggiore della costante elettrica Te, per cui l'effetto di quest'ultima diventa trascurabile (quando Tm>4Te). Se le costanti sono vicine possono influenzarsi a vicenda, generando oscillazioni smorzate.

Nella pratica industriale è più comune, al posto di Tm, usare un parametro fittizio chiamato tempo di avviamento, Tavv. Questo è definito come tempo impiegato a raggiungere da fermo la velocità nominale, sotto l'azione della coppia motrice nominale costante (quindi con variazione lineare della velocità).
L'espressione è :Tavv=Tm \cdot \frac{V}{Ra\cdot Ia}, e nel caso del motore precedente varrebbe 458ms.

Calcoli pratici diretti

Abbiamo finora visto degli andamenti, cioè come variano le varie grandezze in gioco in base ai parametri del motore. Ma dal punto di vista pratico è spesso richiesto di determinare valori singoli, in definite condizioni di funzionamento.
Penso quindi sia utile mostrare un programma di calcolo che, partendo dai dati di targa, dalla rilevazione di Ra e dalla valutazione della coppia richiesta dal carico Cr (coppia resistente), dia i valori di corrente, quindi di potenza realmente assorbita), di velocità e di rendimento. Ecco un esempio di foglio di calcolo:

Di particolare importanza fra i risultati sono la velocità di rotazione ωc corrispondente alla coppia resistente Cr stabilita, la corrente effettivamente prelevata Iac (ad es. per il dimensionamento di capacità della batteria), ed infine il rendimento in quel particolare punto di funzionamento (il rendimento cambia infatti in condizioni diverse e lascio al lettore volonteroso il tracciamento di η in funzione di Cr). Dovrebbe essere infine superfluo ricordare che, una volta impostato il foglio di calcolo, qualsiasi variazione dei dati comporta l'automatico ricalcolo di tutti i risultati.

Conclusioni

Gli argomenti trattati in questi articoli sono largamente noti e particolarmente semplici. Proprio per questo sono stati scelti come approccio all'uso di sistemi di calcolo, ormai indispensabili in ogni progetto.
Sebbene il Mathcad Express (in edizione gratuita) abbia capacità estremamente ridotte rispetto al Mathcad completo (manca ad es. la possibilità di calcolo simbolico), costituisce pur sempre un grande aiuto nello svolgimento di qualsiasi tipo di calcolo.
Spero vivamente che questi esempi servano da stimolo per chi non ha ancora familiarità con tali potenti mezzi, dichiarandomi disponibile per eventuali richieste di aiuto per la loro applicazione.

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Commenti e note

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di ,

Grazie Giovanni. Soo sicuro che gli esempi che proponi aiuteranno chi si avvicina all'uso di strumenti come Mathcad.

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