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Impedenza caratteristica

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto UtenteAlice8 » 9 apr 2024, 12:22

Ciao a tutti, devo svolgere il seguente esercizio e sto trovando difficoltà a proseguire nei calcoli.

Una linea di trasmissione ha come coefficienti primari:
R = 23  \Omega/km,    L=125  \mu H/km,   C=48nF/km
Calcola l’impedenza caratteristica, Z0, della linea per una frequenza pari a 100 Hz

La formula da applicare è questa, con G che viene omessa perché pari a 0 (confermato dal prof)

Z0=\sqrt\frac{{R+jwL}}{{jwC}}

Ho convertito i vari parametri:

R=0,023 *\Omega/m
L=1.25 * 10  ^{-7}  H/m
C=4.8* 10  ^{-11}F/m

quindi:
\omega = 2*\pi*100 = 200 \pi rad/s

Z0=\sqrt\frac{{0,023+j(200 \pi * 1.25 * 10  ^{-7})}}{{j*200 \pi *4.8 * 10  ^{-11} }}

che posso anche scrivere come

Z0=\sqrt\frac{{0,023+j(2.5 \pi * 10  ^{-5})}}{{j*9.6 \pi * 10  ^{-9} }}

da qui ho provato a fare varie semplificazioni ma mi risulta sempre tutto molto ostico e considerando che questo esercizio è da ripetere con vari valori di frequenza mi sembra strano che il prof abbia dato calcoli così assurdi.
Chiedo a voi una mano (e anche un check su se le conversioni siano state fatte correttamente).
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[2] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 9 apr 2024, 13:41

Alice8 ha scritto:... da qui ho provato a fare varie semplificazioni ma mi risulta sempre tutto molto ostico ...

Premesso che la conversione non era necessaria, quali semplificazioni hai provato a fare?

La semplificazione che vedo più ovvia è la seguente

Z_0=\sqrt {-j\frac{  R} { wC}+\frac{L}{C}}
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[3] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto UtenteAlice8 » 9 apr 2024, 15:24

Dato che il primo dato è in Ohm, pensavo di portare il resto ad Henry e Farad in modo da "uniformare" il tutto. Poi sono passata anche da km a m ma lì non so se mi sono complicata la vita per nulla.
Quindi semmai potrei lasciare in km e quindi:
R=23 *\Omega/km
L=1.25 * 10  ^{-6}  H/km
C=4.8* 10  ^{-9} F/km

Per il resto, pensavo di liberarmi della j al denominatore moltiplicando con il complesso coniugato, ma i calcoli vanno a complicarsi.

Grazie per la dritta finale!
Ultima modifica di Foto UtenteFranco012 il 9 apr 2024, 16:44, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Eliminata inutile citazione integrale del messaggio immediatamente precedente.
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[4] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 9 apr 2024, 15:31

Per il resto, pensavo di liberarmi della j al denominatore moltiplicando con il complesso coniugato,


Z0=\sqrt\frac{{0,023+j(200 \pi * 1.25 * 10  ^{-7})}}{{j*200 \pi *4.8 * 10  ^{-11} }}
Non mi pare così complicato:
Z0=\sqrt\frac{{-j0,023+(200 \pi * 1.25 * 10  ^{-7})}}{{200 \pi *4.8 * 10  ^{-11} }}

Ho avuto un attimo di smarrimento: come si calcola la radice quadrata di un numero complesso espresso in coordinate cartesiane? es. Z= R + jX ?

Penso si possa passare da coordinate cartesiane a quelle polari ( modulo e fase) , poi si fa la radice quadrata del modulo e si divide la fase per due.
Conoscete un modo migliore?
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[5] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto Utenteharpefalcata » 9 apr 2024, 15:52

Io proverei invece a cambiare la formula dell'impedenzacaratteristica. Visto che devi considerare contributi capacitivi ed induttivi, hai provato a pensare di passare al dominio dei fasori e fare le somme vettoriali dei vari contributi?
Ora non ricordo bene quali fossero le conversioni, se non sbaglio l'impedenza capacitiva è 1/jwC, quella induttiva jwL e la resistenza rimane R perche non ha contributo attivo.
Magari usando i fasori, e quindi con la notazione esponenziale: e^(jwL + 1/jwC) potresti avere un impedenza equivalente.
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[6] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 9 apr 2024, 20:38

Non c'e' bisogno di passare da km a metri, basta che i parametri siano tutti con la stessa unita' di misura. Detto cio', basta usare la rappresentazione vettoriale (detta anche dei fasori), occorre solo un po' di dimestichezza con i numeri complessi:

Z_0 = \sqrt { {R+j\omega L}\over {G+j\omega C}}
= \sqrt { {23+j2\pi100\cdot125\cdot10^{-6}}\over {0+j2\pi100\cdot48\cdot10^{-9}}}
= \sqrt { {23+j78.54\cdot10^{-3}}\over {j30.16\cdot10^{-6}}}
= \sqrt { {23\angle0.2^{\circ}}\over {30.16\cdot10^{-6}\angle90^{\circ} }}
= \sqrt { {7.626\cdot10^{5}\angle-89.8^{\circ}}}
= 873.27\angle-44.9^{\circ} \approx 618 -j616\,\Omega

Come vedi e' molto semplice.
Pero' mi suona strano che non sappiate almeno le basi per la manipolazione dei numeri complessi! Che corso fai?

O_/
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[7] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 10 apr 2024, 8:22

Alice8 ha scritto: mi sembra strano che il prof abbia dato calcoli così assurdi.

Il cervello è un "muscolo" e come tale va allenato se vuoi ottenere qualcosa: difficile che stando a letto tutti i giorni ad un tratto ti alzi corri la maratona e vinci....
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[8] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto Utenteharpefalcata » 10 apr 2024, 10:50

Foto Utentebanjoman posso chiederti, cortesemente, quale relazione matematica hai usato, per fare questo passaggio? Come si lega la notazione immaginaria, a una notazione di modulo ed angolo?

banjoman ha scritto:= \sqrt { {23+j78.54\cdot10^{-3}}}
= \sqrt { {23\angle0.2^{\circ}} }


Grazie
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[9] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 10 apr 2024, 11:20

E' la rappresentazione polare (o vettoriale che dir si voglia) di un numero complesso:

dato z = a+jb
la sua rappresentazione polare (modulo e fase) è semplicemente:
modulo:
r=\sqrt{a^2+b^2}= \left | z \right |
fase: \theta = {arctan {b\over a}}

Ogni numero complesso ammette la rappresentazione
z = r(cos\theta +jsin\theta)
Poi basta ricordare la formula di Eulero:
re^{j\theta} = r(cos\theta + jsin\theta)
ed ecco che estrarre la radice quadrata diventa banale...

La notazione modulo e angolo è una rappresentazione abbreviata della formula di eulero, semplicemente, molto usata dagli elettronici.
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[10] Re: Impedenza caratteristica

Messaggioda Foto UtenteGianniSenzaTerra » 10 apr 2024, 13:51

Per il calcolo della fase non bisogna tenere conto anche del segno di x ed y?

Ad esempio, se ho:

1)

z=-x+jy

\theta = 180^{\circ} - arctan(y/x)

2)
z=-x-jy

\theta = 180^{\circ} + arctan(y/x)



3)

z=x-jy

\theta = 360^{\circ} - arctan(y/x)
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