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Stabilità di sistemi retroazionati

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto UtenteStefano79 » 28 mag 2008, 21:33

Nell'analisi di stabilità di un sistema in retroazione occorre conoscere il guadagno ad anello aperto del sistema, possibilmente il guadagno del ramo diretto e quello del sistema in retroazione.

Studiando infatti i poli di tale funzione si può stabilire se un sistema sia stabile o meno.

Io non riesco però a passare da un circuito alla descrizione di una funzione complessa che rappresenti il guadagno di anello aperto del sistema o meglio il guadagno del ramo diretto e quello del ramo di retroazione.

Mi potreste chiarire la situazione (magari con un esempio di un op-amp configurato a integratore o qualcosa di simile, semplice ma chiarificatorio insomma)?

Inoltre ho trovato un po' di confusione di terminologia; cosa si intende per guadagno di anello, e cosa per guadagno di anello aperto?
C'è chi confonde i due termini, c'è invece chi col prima indica il guadagno ad anello chiuso del sistema, c'è addirittura chi indica col primo il guadagno del solo ramo diretto.
Grazie per l'aiuto!
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[2] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 28 mag 2008, 23:16

L'analisi di stabilita' si fa sempre ad "anello aperto" ed e' proprio finalizzata
a prevedere cosa puo' succedere quando si chiude l'anello.
La "risposta" di un blocco (cioe' come cambia il segnale d'uscita rispetto a quello
applicato all'ingresso) permette infatti di verificare se l'anello una volta chiuso
sara' stabile o meno.
In estrema sintesi, se si vede ad esempio che ad una certa frequenza corrisponde
un guadagno >1 e che lo sfasamento e' >180° possiamo concludere che la "reazione"
si trasformera' da negativa a positiva, rendendo sicuramente instabile l'anello.

Ora, nella gran parte delle attuali regolazioni, si considera il blocco diretto (che
normalmente e' il prodotto delle funzioni di trasferimento rispettivamente del
regolatore e del sistema controllato, e che viene indicato con G), mentre quello
di retroazione (H) viene assunto unitario.
Direi di cominciare da qui.
Sei in grado di analizzare un anello con una doppia costante di tempo (T1 e T2)
ed un guadagno K variabile? (ti posso poi venire incontro con la simulazione).
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[3] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto UtenteStefano79 » 29 mag 2008, 9:24

Se mi vieni incontro con un esempio (o una simulazioen spice) può aiutare.

Il moi problema è capire con precisione come procedere per individuare, dato uno schema elettrico, la funzione di trasferimento del blocco diretto e del blocco di retroazione, in modo da poter poi sulla carta applicare i vari criteri di Nyquist, Routh, Bode, luoghi delle radici (e chi più ne ha più ne metta) o disegnare il diagramma di Bode ad anello aperto, per valutare la stabilità del sistema.

Non riesco a capire dove devo interrompere l'anello per calcolare il guadagno d'anello aperto, come individuare il blocco di catena diretta (chiamiamolo Hd) e quello di retroazione (chiamiamolo Hr) come devo trattare i generatori di corrente e tensione, e come tenere conto di eventuali impedenze di ingresso e uscita derivanti dall'aver interrotto l'anello.

Grazie per l'aiuto!
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[4] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 29 mag 2008, 14:46

Bene, allora incominciamo da un sistema con 2 costanti di tempo T1 e T2, che per semplicita'
porremo entrambe uguali a 100ms.
Una simulazione in MicroCap puo' essere questa, dove T1=R1*C1 e T2=R2*C2 (l'opamp X2
e' solo per disaccoppiamento delle 2) ed X1 rappresenta il regolatore proporzionale con cui
prefissare il guadagno (costante K, inizialmente posta =1):
Immagine
Uno Switch nella retroazione permette di aprire l'anello (per l'analisi di stabilita' ) o di
chiuderlo (per ottenere la risposta nel tempo al gradino di 1V imposto da V3).

Microcap permette di ottenere direttamente i diagrammi di Bode (modulo e fase), con
AC Analysis (l'asse orizzontale e' in Hz e la frequenza di taglio corrispondente e' ca. 1.6Hz):
Immagine

A questo punto ci chiedamo: cose succede se si chiude l'anello?
Ecco la risposta nel tempo:
Immagine
L'uscita (traccia rossa) mostra che l'equilibrio viene raggiunto alla meta' del valore
del gradino (traccia blu): infatti il "guadagno statico" dell'anello chiuso e' G/(1+G),
che con K=1 vale 1/2.

E' evidente che per migliorare la precisione occorre aumentare il guadagno K,
ma ecco cosa succede so lo aumentiamo di 100volte:
Immagine
Si raggiunge una maggior precisione "statica", ma con oscillazioni che arrivano
quasi al 50% del segnale.

L'abilita' del progettista di regolazione sta tutta nel trovare una configurazione del
regolatore che mantenga la precisione e la rapidita' di intervento, evitando le oscillazioni.
(per adesso mi fermo qui, in attesa di commenti)
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[5] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto Utenteaduri » 29 mag 2008, 22:22

Molto chiaro.
Mi sara' molto utile per quando affrontero' l'esame di elettronica dove sicuramente rivedro' le retroazioni applicate ai circuiti elettronici.
Una cosa ... non so' se dico una stupidata ma... ,didatticamente, non sarebbe meglio provare a dare del guadagno superiore ad 1 per poter evidenziare meglio nei grafici con Bode la frequenza critica (o di taglio) ed il margine di fase (per la stabilita')?

Antonio
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[6] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto UtenteUncas » 29 mag 2008, 22:51

Stefano79 ha scritto:Il moi problema è capire con precisione come procedere per individuare, dato uno schema elettrico, la funzione di trasferimento del blocco diretto e del blocco di retroazione, in modo da poter poi sulla carta applicare i vari criteri di Nyquist, Routh, Bode, luoghi delle radici (e chi più ne ha più ne metta) o disegnare il diagramma di Bode ad anello aperto, per valutare la stabilità del sistema.


L'identificazione dei blocchi di andata e di ritorno di un circuito retroazionato è un'operazione che si può effettuare rigorosamente solo in poche e "banali" configurazioni circuitali.
Nella stragrande maggioranza dei casi è impossibile individuare i 2 blocchi, anche perché spesso non sono tra loro distinti. Addirittura la stessa parte di circuito può far parte di entrambi i blocchi.
L'elemento che ti serve per poter applicare i criteri che menzioni è il guadagno d'anello chiuso, spesso indicato con Gloop.
Che è proprio il prodotto delle funzioni di trasferimento dei 2 fatidici blocchi (di andata e ritorno) di cui ho parlato sopra.
In sostanza non puoi scindere i 2 blocchi e calcolarne le funzioni di trasferimento, ma puoi facilmente ricavare il loro prodotto che è una grandezza ben più importante.
Per calcolare il Gloop devi applicare un segnale di sonda in un punto dell'anello e valutare la sua ampiezza quando, dopo aver percorso l'anello, torna nello stesso punto.
Nella pratica devi svolgere i seguenti passi:
-aprire i generatori di corrente e cortocircuitare quelli di tensione:
-tagliare l'anello in un punto;
-ripristinare, a monte del taglio, l'impedenza che si vede a valle dello stesso;
-applicare, a valle del punto in cui hai operato il taglio, un segnale di sonda, e valutare il segnale che si ripresenta nello stesso punto dopo aver percorso l'anello.
Ho cercato di esser sintetico ma su queste cose esistono interi capitoli di libri di elettronica. Se magari hai qualche circuito su cui stai provando ad esercitarti potresti postarlo.
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[7] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto UtenteStefano79 » 30 mag 2008, 12:41

Intanto ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando.
Ci ho riflettuto un po' su.

Ci sono alcune cose che non mi tornano completamete, cerco di spiegarmi:

Nello schema elettrico io riconosco (correggimi se sbaglio) un sommatore invertente, che quindi somma i due ingressi in fase (cioè fa -(a+b) e non a-b) da cui immagino chi il verso del generatore di segnale sia stato invertito per compensare questo effetto.

Questo sommatore è seguito da due filtri di primo ordine RC con costante di tempo 100ms.
L'Op-amp X2 chiaramente serve solo per disaccoppiare i due filtri (semplificando diciamo non farli interagire che cambierebbe la disposizione dei poli, invece che due uguali da 100ms sarebbero due poli differenti a causa della resistenza di carico).
Non ho capito bene la funzione di R6 ma non mi pare che alteri in modo significativo il circuito.
Dopo di chè c'è l'anello di retroazione.
Questo viene tagliato con uno switch.
Ora i mie dubbi riguardano questo:
1) A quanto ho capito il guadagno d'anello si calcola tagliando fisicamente l'anello, imponendo il segnale di "test" sull'ingresso invertente della somma (intendo dove il segnale di retroazione si somma col segno meno al segnale di ingresso del sistema, non l'ingresso meno dell'op-amp che in questo caso coincide), mettendo a massa il ramo di ingresso appena tagliato
2) In questo caso Hr(blocco di retroazione) è assunto unitario e di conseguenza Hd(blocco diretto) coincide col guadagno d'anellod'anello

domande:
a)Così facendo non si tiene conto delle resistenze di ingresso che si vedono dove si è tagliato il circuito. Questo non causa problemi nella determinazione del guadagno? (Questo è un caso dove si va su una impedenza relativamente alta ma ci possono esser casi ben più critici ad esempio usando dei BJT come amplificatori al posto degli operazionali)

b) Operando u taglio netto nel circuito si modifica la polarizzazione del circuito (non in questo caso ma possono esserci molti casi in cui ciò succede). Questo non è un problema?

c)Fa differenza usare il segnale sul ramo che esegue la somma "col segno più" o col segno "meno" (sempre riferito a un sommatore ideale non agli ingressi dell'op-amp)?

d) Possono esistere più interpretazioni dei blocchi Hd e Hr (ad esempio ritenere come blocco di retroazione X2 R2 C2) che portano allo stesso risultato o il risultato cambia? (e se cambia come capire qual è l'interpretazione giusta?)


Ciao
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[8] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto Utentedona79 » 31 mag 2008, 14:36

perdonami Giovanni,
ma hai tagliato l'anello proprio nel punto meno opportuno...o almeno meno furbo!

infatti è necessario sempre ripristinare l'impedenza vista, quindi è furbo tagliare o prima di un punto ad alta impedenza oppure dopo un punto a bassa impedenza
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[9] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 31 mag 2008, 15:58

Il mio discorso si riferisce essenzialmente ai regolatori industriali dove sono chiari
e definiti i singoli blocchi. Capisco che puo' essere diverso se applicato a circuiti
puramente elettronici, nel qual caso valgono le considerazioni di Uncas.

Nel mio esempio non ho fatto altro che seguire le procedure per ricavare prima
il diagramma di Bode, aprendo l'anello e valutando il rapporto fra "uscita"
(dopo la seconda CdT) e segnale d' "ingresso" (il riferimento, negativo per tener
conto dell'inversione dell'opamp).
MicroCap consente di ricavare questo diagramma direttamente (con AC Analysis)
semplicemete stabilendo il campo di frequenze da considerare.

La successiva chiusura dell'anello e l'applicazione di un riferimento ad onda quadra
permette invece (con Transient Analysis) di ricavare direttamente la risposta nel
tempo, cioe' l'andamento dell'uscita.

In particolare l'esempio doveva mostrare le limitazioni di un semplice regolatore
proporzionale, non solo per l'ineniminabile errore statico, ma per l'impossibilita' di
evitare oscillazioni gia' con solo 2 CdT.
Giusta l'osservazione di aduri ma, anche se non riportato, e' chiaro che il
secondo caso (con amplificazione 100) non fa che spostare in alto di 40dB lo stesso
diagramma, con conseguane aumento della banda passante e di un margine di fase
estremamente ridotto.
Sarebbe interessante a questo proposito ottenere anche il diagramma di Bode ad
anello chiuso (funzione di trasferimento del blocco totale equivalente) che risponderebbe
forse ai dubbi espressi da Stefano79.

Circa le impedenze, mi sembra che l'impiego di opamp elimini alla radice questi problemi
effettuando un disaccoppiamento fra i blocchi.

Mi aspettavo quindi proposte di regolatori piu' adatti, cioe' una discussione sui criteri di
ottimizzazione della risposta, mentre vedo che "si parla d'altro" (non ne nego l'importanza,
dico solo che sono altre problematiche)

Alle specifiche domande di Stefano79 rispondo:
a) e b) vedi sopra
c) no
d) no, deve essere chiara la distinzione fra segnale d'uscita (variabile controllata)
e segnale di retroazione (nel mio caso coincidono ma, anche se oggi industrialmente
parlando non si agisce piu' sul blocco di retroazione, potrebbero essere diversi).
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[10] Re: Stabilità di sistemi retroazionati

Messaggioda Foto Utentedona79 » 31 mag 2008, 16:05

g.schgor ha scritto:
Circa le impedenze, mi sembra che l'impiego di opamp elimini alla radice questi problemi
effettuando un disaccoppiamento fra i blocchi.

.


mi stupisco di questa tua affermazione...
inoltre i regolatori industriali e l'elettronica non sono due mondi separati, basta in ogni caso applicare i concetti e tutto si spiega.
rimane il fatto che l'anello è stato tagliato nel punto sbaglato e quindi il conto fatto, senza il ripristino di R7, è sbagliato
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