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Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestamento

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtentePietroBaima, Foto UtenteIanero

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[1] Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestamento

Messaggioda Foto UtenteRaeiu » 9 lug 2021, 10:42

Buongiorno a tutti, sono uno studente di ing. elettronica e ho un dubbio (quello del titolo) su questo esercizio. Io devo studiare questo sistema in allegato. Mi chiede di determinare i valori di K per cui la funzione di trasferimento sia BIBO stabile e presenti un tempo di assestamento pari a circa 30 secondi (mah) e mi da un consiglio: si approssimi il tempo di assestamento del sistema a 3\tau con \tau uguale alla costante di tempo del polo dominante.

Cominciamo:
Ho determinato la funzione di trasferimento G(s) studiando il segnale di uscita (che indicherò semplicemente con Y perché non so come si mette la tilde con latex) e dividendolo per l'ingresso:

Y(s)=Q(s)[U(s)W(s)-Y(s)K]

da cui ottengo: G(s)=\frac{Q(s)W(s)}{1+Q(s)K}

con Q(s)=\frac{1}{(s-5)} e W(s)=\frac{(1-s)}{(s+1)}

Sostituendo i valori di Q(s) e W(s) ottengo che la G(s) è pari a:

G(s)=\frac{(1-s)*(s-5)}{(s-5)*(s+1)*(s-5+k)}

Qui il primo dubbio: so che non posso creare un controllore che mi cancelli un polo/zero a parte reale negativa per una questione di realizzabilità in quanto non posso creare un controllore perfetto ma ci sarà sempre un errore. In questo caso però posso semplificare lo zero e il polo (s-5) dato che appartiene solo a W(s)? Non so se è chiaro il mio dubbio.

Da qui proseguo dando per buona quella semplificazione:

G(s)=\frac{1-s}{s^2+s(k-4)-5+k}

Affinchè il sistema sia BIBO stabile deve essere asintoticamente stabile e perciò il numeratore della G(s) deve avere tutti i poli a parte reale negativa. La cosa è vera per K>5 in quanto ottengo che tutti i coefficienti del polinomio di secondo grado sono positivi.

Ora devo determinare i valori di K affinchè il sistema abbia un tempo di assestamento pari a circa 30 secondi (che mi pare esagerato sinceramente). Per un sistema del secondo ordine il tempo di assestamento mi dipende dalla parte reale del polo complesso ( \delta\omega_n con \delta= coef. di smorzamento e \omega_n= pulsazione naturale ), più la parte reale è piccola più la risposta è lenta quindi ho un tempo di assestamento maggiore, giusto? In questo caso il sistema deve anche essere BIBO stabile e abbiamo detto che deve essere K>5; ma risolvendo la seguente disequazione:

\delta\omega_n\geq\frac{3}{t_A}

ottego un valore di k pari a 4,2 che però mi da un tempo di assestamento di 1,5 secondi e poi non va bene con l'ipotesi di BIBO stabilità.
Tutto questo mi fa pensare che la semplificazione polo/zero fatta precedentemente non è possibile farla oppure sto sbagliando io qualcosa con il tempo di assestamento.

Nel caso in cui la semplificazione non si potesse fare (direi anche quasi sicuramente) ottengo al denominatore un polinomio di terzo grado che non so gestire. In primis dal criterio di Routh ottengo due range di valori di K per cui il sistema è stabile asintoticamente e non so se sia possibile una ccosa del genere (anche perché i due range non sono compatibili); in secundis per quanto riguarda il tempo di assestamento non so come dovrei trattare un sistema del terzo ordine. Ho letto da qualche parte che i sistemi di ordine superiore al 2 hanno la stessa risposta di un sistema di ordine 2 se si usano i poli dominanti ma è una cosa che non abbiamo mai fatto.

Sicuramente devo utilizzare il suggerimento dato su come approssimare il tempo di assestamento ma non ho capito come
sistema.png
Sistema che devo studiare
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Attendo risposte.
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[2] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 10 lug 2021, 8:50

La semplificazione del fattore (s-5) va bene, non e` una cancellazione che arriva da due parti diverse e` un accidente algebrico!

Un'altra cosa da osservare e` che il fattore W(s) e` fuori dall'anello di retroazione e questo comporta che il polo di W(s) non viene spostato e il suo zero non attira altri poli, mentre la stabilita` e` data solo da Q(s) e da k.

Inoltre i poli sono sempre reali, e` inutile passare per un denominatore del secondo ordine, il denominatore e` gia` fattorizzato (s+1)(s-5+k) e sono poli reali.

Visto che chiede un tempo di assestamento molto piu` lungo di quello dato dal polo di W(s), devi lavorare solo su Q(s) e k, ci sara` un polo dominante che determinera` la risposta complessiva.
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[3] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 10 lug 2021, 9:22

Mi complimento con Foto UtenteRaeiu per il suo primo post: è ben argomentato, le formule sono scritte correttamente in Latex, le sue intuizioni sono corrette.
Benvenuto nel forum, spero di leggere altri suoi messaggi. O_/
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[4] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto Utenteclaudiocedrone » 10 lug 2021, 11:21

Raeiu ha scritto: ...che indicherò semplicemente con Y perché non so come si mette la tilde con latex...


Se intendi la tilde sopra lettera così \tilde{Y} o così \widetilde{Y} (non conosco la materia e non ho mai visto formule simili quindi non so quale ci vada) i comandi sono rispettivamente

Codice: Seleziona tutto
\tilde{Y}
e
Codice: Seleziona tutto
\widetilde{Y}

se invece intendevi altro chiedi pure; comunque in generale per i segni sopra o sotto le lettere il modo è sempre quello "slash->nome del segno->lettera tra parentesi graffe" es.

\overline{X}

\underline{Y}

\dot{Z}

etc.
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[5] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto UtenteRaeiu » 10 lug 2021, 16:41

IsidoroKZ ha scritto:Un'altra cosa da osservare e` che il fattore W(s) e` fuori dall'anello di retroazione e questo comporta che il polo di W(s) non viene spostato e il suo zero non attira altri poli, mentre la stabilita` e` data solo da Q(s) e da k.


Non ho capito cosa intendi con lo spostamento del polo e il fatto che lo zero attiri altri poli.

IsidoroKZ ha scritto:Visto che chiede un tempo di assestamento molto piu` lungo di quello dato dal polo di W(s), devi lavorare solo su Q(s) e k, ci sara` un polo dominante che determinera` la risposta complessiva.


Cioè dovrei studiare il sistema in retrazione togliendo W(s)? Scusa l'ignoranza ma è veramente la prima volta che facccio un esercizio del genere e mi trovo un po spaesato ( intendo con W(s) fuori dalla retrazione. Solitamente, anzi, sempre, il W(s) è dentro l'anello di retrazione.)

Foto UtenteMarcoD: Ho studiato prima di postare per evirtare un cazziatone perpetuo

Foto Utenteclaudiocedrone: grazie per la dritta me ne ricorderò in fututo. P.S: la materia sarebbe controlli automatici o fondamenti di automatica. La tilde sopra la Y era solo per dare un nome al segnale.
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[6] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 10 lug 2021, 17:03

IsidoroKZ ha scritto:Un'altra cosa da osservare e` che il fattore W(s) e` fuori dall'anello di retroazione e questo comporta che il polo di W(s) non viene spostato e il suo zero non attira altri poli, mentre la stabilita` e` data solo da Q(s) e da k.
Non ho capito cosa intendi con lo spostamento del polo e il fatto che lo zero attiri altri poli.

IsidoroKZ ha scritto:Visto che chiede un tempo di assestamento molto piu` lungo di quello dato dal polo di W(s), devi lavorare solo su Q(s) e k, ci sara` un polo dominante che determinera` la risposta complessiva.
Cioè dovrei studiare il sistema in retrazione togliendo W(s)? Scusa l'ignoranza ma è veramente la prima volta che facccio un esercizio del genere e mi trovo un po spaesato ( intendo con W(s) fuori dalla retrazione. Solitamente, anzi, sempre, il W(s) è dentro l'anello di retrazione.)


Provo a rispondere prima di IsidoroKz, anche se non ne ho la competenza:
Non ho capito cosa intendi con lo spostamento del polo e il fatto che lo zero attiri altri poli.
Nel metodo di studio della stabilità e risposta di un sistema con il "metodo delle radici" si calcola in modo grafico come si spostano i poli della fdt della catena chiusa al variare del guadagno K.
Ricordo poco, mi pare che certi poli spostandosi raggiungano la posizione degli zeri.

Se W(s) è al di fuori dell'anello di reazione, i suoi poli non si spostano e il tutto diventa più semplice.

Se è applicabile, ho sempre preferito perché più immediato calcolare la risposta usando il metodo di Bode (risposta in frequenza).
O_/
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[7] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto UtenteRaeiu » 10 lug 2021, 17:18

Ah ok avevo intuito che centrava il luogo delle radici ma volevo essere sicuro. In effetti ho fatto al volo i calcoli ed escludendo W(s) ottengo:

G_1(s)= \frac{G(s)}{1+K G(s)}\Rightarrow G_1(s)=\frac{1}{s-5+K}

Dopo di che studio il tempo di assestamento di un sistema del primo ordine e applicando l'approssimazione t_A=3\tau ottengo:

30=3*(-5+k)\Rightarrow k=15

Il quale mi da un tempo di assestamento di 30 secondi.
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[8] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto Utente6367 » 10 lug 2021, 21:01

MarcoD ha scritto: le formule sono scritte correttamente in Latex,


Sarà, ma a me l'asterisco proprio non va giù!

:mrgreen:
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[9] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 10 lug 2021, 21:28

Non sono convinto che la soluzione sia giusta. Nel termine (s-5+k) il valore -5+k ha le dimensioni di un reciproco di tempo, non di un tempo, quindi...
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[10] Re: Dubbio su cancellazione poli/zeri e tempo di assestament

Messaggioda Foto Utenteclaudiocedrone » 10 lug 2021, 23:12

6367 ha scritto:
MarcoD ha scritto: le formule sono scritte correttamente in Latex,


Sarà, ma a me l'asterisco proprio non va giù!

:mrgreen:

Infatti!
Foto UtenteRaeiu, l'asterisco si usa per indicare l'operazione di convoluzione, per indicare (quando necessario) la moltiplicazione usa \times o \cdot (posizionando il cursore sulle scritte LaTeX appare la relativa sintassi).
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