Cos'è ElectroYou | Login Iscriviti

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

calcolo matrice esponenziale

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtentePietroBaima, Foto UtenteIanero

0
voti

[1] calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteElettroNewbie » 20 mar 2021, 17:09

Salve a tutti!!!
Ho la seguente matrice:
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
e dovrei calcolare la matrice esponenziale e^{At}
Io fatto in questo modo:il polinomio caratteristico associato alla matrice A risulta
P_A(\lambda)=\lambda^3
gli zeri di questo polinomio sono gli autovalori della matriceed in questo caso la matrice A possiede un unico autovalore \lambda_1=0 avente molteplicità algebrica pari a tre e molteplicità geometrica pari ad
m_g=dim(ker(\lambda_1I-A))=n-rk[\lambda_1-A]=3-1=2 (dove I è la matrice identità)
Siccome m_g(\lambda_1)=2<m_a(\lambda_1)=3 non viene ad essere soddisfatto il teorema sulla diagonalizzabilità e quindi la matrice A non è diagonalizzabile per similitudine.
Tuttavia si può procedere alla sua Jordanizzazione!
A questo punto leggendo sul libro e con gli appunti del prof e leggendo un po in rete sono riuscito a raffazzonare un procedimento (che poi sarebbe l'algoritmo per trovare gli autovettori generalizzati).
Avatar utente
Foto UtenteElettroNewbie
15 3
New entry
New entry
 
Messaggi: 75
Iscritto il: 11 gen 2018, 14:30

0
voti

[2] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteElettroNewbie » 20 mar 2021, 17:26

Ragazzi non riesco poiù a scrivere le formule
Avatar utente
Foto UtenteElettroNewbie
15 3
New entry
New entry
 
Messaggi: 75
Iscritto il: 11 gen 2018, 14:30

0
voti

[3] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 20 mar 2021, 17:27

Non sai scrivere lambda e non apri e chiudi correttamente le parentesi...

Stavo correggendo e hai cancellato tutto.
Il Conte di Montecristo

Se non studio un giorno, me ne accorgo io. Se non studio due giorni, se ne accorge il pubblico.

Io devo studiare sodo e preparare me stesso perché prima o poi verrà il mio momento.
Abraham Lincoln
Avatar utente
Foto UtenteEdmondDantes
11,1k 8 11 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 3365
Iscritto il: 25 lug 2009, 22:18
Località: Marsiglia

0
voti

[4] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteElettroNewbie » 21 mar 2021, 17:54

Salve!
Ciao EdmondDantes chiedo scusa per l'incomprensione..
Una domanda:ma per poter scrivere formule qui nel forum si usa latex giusto?Ma bisogno racchiudere il codice tra i tag ma la sintassi rimane quella di latex?
Avatar utente
Foto UtenteElettroNewbie
15 3
New entry
New entry
 
Messaggi: 75
Iscritto il: 11 gen 2018, 14:30

0
voti

[5] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 21 mar 2021, 18:24

La sintassi e' la stessa, ma nel sito non sono implementate tutte le istruzioni possibili.

Uso di LaTeX sul forum
Il Conte di Montecristo

Se non studio un giorno, me ne accorgo io. Se non studio due giorni, se ne accorge il pubblico.

Io devo studiare sodo e preparare me stesso perché prima o poi verrà il mio momento.
Abraham Lincoln
Avatar utente
Foto UtenteEdmondDantes
11,1k 8 11 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 3365
Iscritto il: 25 lug 2009, 22:18
Località: Marsiglia

0
voti

[6] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteElettroNewbie » 21 mar 2021, 19:04

Ciao EdmondDantes :-)
Avrei la necessità di riportare una tabella,posso usare qualche comando di latex?
Nella pagina da te suggeritami non vi è nulla a riguardo.
Scusa se sto andanod un attimo offtopic prometto che ora proseguo con la giusta richiesta.
Avatar utente
Foto UtenteElettroNewbie
15 3
New entry
New entry
 
Messaggi: 75
Iscritto il: 11 gen 2018, 14:30

0
voti

[7] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 21 mar 2021, 19:27

Codice: Seleziona tutto
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
R1 & 10 & Prova \\
\hline
R2 & 112 & Prova\\
\hline
\end{tabular}

All'interno della tabella i pedici non funzionano.
Fine OT, speriamo.
Il Conte di Montecristo

Se non studio un giorno, me ne accorgo io. Se non studio due giorni, se ne accorge il pubblico.

Io devo studiare sodo e preparare me stesso perché prima o poi verrà il mio momento.
Abraham Lincoln
Avatar utente
Foto UtenteEdmondDantes
11,1k 8 11 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 3365
Iscritto il: 25 lug 2009, 22:18
Località: Marsiglia

0
voti

[8] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteElettroNewbie » 21 mar 2021, 20:53

Ciao EdmondDantes e grazie per l'aiuto.
Allora riprendo da dove avevo lasciato.Una volta trovato quegli alfa e in partricolare mi fermo quando ottengo un \alpha_i=m_a(\lambda_1) mi costruisco la tabella seguente
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
i & 1 & 2 \\
\hline
$\alpha$ & 2 & 3 \\
\hline
$\beta$  & 2 & 1 \\
\hline
$\gamma$ & 1 & 1 \\
\hline
\end{tabular}

Poiché \gamma_1=1 avrò un vettore generalizzato di ordine 1 che darà luogo a una catena di lunghezza 1 ed \gamma_2=1 avrò un vettore generalizzato di ordine 1 che darà luogo aad una catena di lunghezza 2.
Avrò quindi una catena di jordan di lunghezza 1 ed una catena di lunghezza 2.
Premetto che io già così saprei scrivere la forma di jordan della matrice A e ricavare così la matrice esponenziale!!
Infatti essendo m_g(\lambda_1)=2 allora il numero di blocchi di jordan sarà pari a due ed la somma degli ordini di questi due blocchi deve essere pari alla m_a(\lambda1)=3.E quindi si dovrà avere necessariamente un blocco di ordine 2 e l'altro di ordine1 sicchè 2+1=3 ottenendo la forma di jordan della matrice A
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 \\
0 & 0 & \lambda_1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
Tuttavia il prof. vuole che ci ricaviamo prima la matrice jordanizzante(la chiamiamo marice modale) ossia la matrice che mi porta la matrice A nella forma di jordan.A tal fine costruisco la tabella di su...
Chiamo con {v_1} la catena di lunghezza 1 ed con {v_2,v_3} la catena di lunghezza 2.
Poi mi calcolo una base per ciascun autospazio generalizzato.
Per quanto riguarda la catena di jordan di lunghezza 1 ho un unico autospazio generalizzato e che coincide con l'autospazio ordinario:
V_{\lambda1}^{1}=V \in \mathbb{R}^{3}|(\lambda_1\cdot I-A)\cdot v=0
e trovo appunto una baser per questo autospazio generalizato di ordine1 ;trovare una base per questo autospazio equivale a risolvere il sistema seguente
(\lambda_1 \cdot I-A)\cdot v=0
il sistema lineare omogeneo che si ottiene ammette\o o^{n-rk{A'}}=\o o^{2} dove A' è la matrice dei coefficienti del sistema e per trovarle assegno ad n-rk{A'}=1 incognite il ruolo di parametro libero.L'unico grado di libertà ce l'ho sull'incognita y e quindi le \o o^{1} soluzioni sono
(x,y,z)=(0,\alpha,0)=\alpha \cdot(0,1,0) con \alpha \in \mathbb{R}
Dunque la base cercata è
V_{\lambda_1}^{1}=span(0,1,0)
Per quanto riguarda la catena di jordan di lunghezza 2 ho 2 autosspazi generalizzati, uno di oridne 1 e l'altro di ordine 2.
Trovo una base per ciascuno di questi autospazi.
Prima di procedere,scusatemi se insisto,come faccio a scrivere un prodotto tra matrici con latex?EdmondDantes potresti darmi un altro link dove potermi informare su come scrivere la matematica con latex qui sul forum(nell'altro link alcune cose,come la mia richiesta ,non sono riportate)?
Ultima modifica di Foto Utentewall87 il 21 mar 2021, 23:50, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Corrette formule LaTeX
Avatar utente
Foto UtenteElettroNewbie
15 3
New entry
New entry
 
Messaggi: 75
Iscritto il: 11 gen 2018, 14:30

0
voti

[9] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto Utentewall87 » 21 mar 2021, 23:58

Foto UtenteElettroNewbie Ho sistemato le formule che avevi scritto, non essendo sicuro di aver interpretato bene quello che volevi scrivere prova a darci un occhio e vedere se sono corrette.

Se vuoi un aiuto a scrivere le formule prova ad usare questo sito qui

Se vuoi fare il prodotto tra matrici basta che fai due matrici una dopo l'altra:
\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 
3& 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 & 6\\ 
7 & 8
\end{pmatrix}

e il codice che ho usato è questo:

Codice: Seleziona tutto
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3& 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 & 6\\
7 & 8
\end{pmatrix}


O_/
Il futuro appartiene a coloro che credono nella bellezza dei propri sogni.

Formule LaTeX

Uso di LaTeX sul forum

ƎlectroYou
Avatar utente
Foto Utentewall87
5.852 4 10 13
Master
Master
 
Messaggi: 1430
Iscritto il: 27 nov 2014, 15:28
Località: Padova

0
voti

[10] Re: calcolo matrice esponenziale

Messaggioda Foto UtenteElettroNewbie » 22 mar 2021, 12:18

Salve!!
Ciao wall87 e grazie per l'aiuto.Si era proprio quello che avrei voluto scrivere,forse qulache punto occorre modificare, ad esempio dove avrei voluto comparisse il simbolo di infinito e in qualche altro punto mancano parentesi...Ma se volessi modificare quel post?non riesco a trovare la voce modifica :oops:
Ritorno sull'argomento:stavo trattando la catena di ordine 2 per la quale risultano du autospazi generalizzati, uno di ordine 1 e l'altro di ordine 2.
Trovo una base per questi due autospazi.
Per quanto riguarda l'autospazio generalizzato di ordine 1 è già stata determinata e cioè
V_{\lambda_1}^{1}=span((0,1,0))
Per quanto riguarda l'autospazio generalizzato di ordine 2:
(\lambda{_1} \cdot I-A)^{2} \cdot v=0
e cioè
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
il sistema lineare omogeneo che ne scaturisce ammette \infty ^{3} soluzioni e per trovarle assegno a tre incognite il ruolo di parametreo libero ottenendo
(x,y,z)= \alpha (1,0,0)+ \beta (0,1,0)+ \gamma (0,0,1)
una base per l'autospazio generalizzato di ordine 2 risulta allora
V_{\lambda_1}^{2}=span((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
Scelgo v_3 tale che
v_3 \in V_{\lambda 1}^{2},V_{\lambda 1}^{1}
quindi
v{_3}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
e poi
v{_2}=(\lambda{_1} \cdot I - A) \cdot v{_3}=\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
Le catene di jordan risultano allora essere:la catena di lunghezza 1
v{_1}=\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
la catena di lunghezza 2 ,invece
v{_2}=\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} ed
v{_3}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
La matrice modale generalizzata(cioè la matrice jordanizzante ossia la matrice che mi porta la matrice A nella sua forma di jordan) risulta essere:
V=\begin{pmatrix}
v_1 | v_2 | v_3
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
Trovo anche l'inversa di questa matrice
V^{-1}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
La forma di jordan,J{_A}=V^{-1} \cdot A \cdot V,della matrice A risulta:
J{_A}=V^{-1} \cdot A \cdot V=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
Ora, stante che il procedimento sia corretto,ottengo un -1 sulla sovradiagonale del blocco avente ordine 2 invece che un ' +1 '.
Potete darmi dei chiarimenti sia sul procedimento sia sul risultato?
Ultima modifica di Foto Utentewall87 il 22 mar 2021, 22:04, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemata formula
Avatar utente
Foto UtenteElettroNewbie
15 3
New entry
New entry
 
Messaggi: 75
Iscritto il: 11 gen 2018, 14:30

Prossimo

Torna a Matematica generale

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 5 ospiti