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da **EttoreMajorana83** » 7 nov 2020, 18:11

Salve a tutti,
È da poco che mi sto appassionando alla fisica e studiando le rotazioni mi sono imbattuto sul momento di inerzia. Sul libro c'è una tabella con i momenti di inerzia di alcuni solidi ma non i procedimenti. Nello specifico non riesco a calcolare il momento di inerzia di un cilindro pieno, di massa M, raggio R, altezza h che ruota attorno ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare all'asse di simmetria. Sto provando a calcolare l'integrale sul volume di r^2 dm ma non riesco a capire come arrivare al risultato.

Qualcuno potrebbe spiegarmi come si calcola?

da **lemure64** » 7 nov 2020, 18:29

Da totale ignorante mi verrebbe da provare a usare il teorema di Huygens scomponendo il cilindro in tante fette perpendicolari all'asse. Il momento di inerzia di un cerchio è trattabile (anzi, sicuramente sarà tabellato) dopodiché basterà moltiplicarlo per il d-qualcosa (inteso come spessore) e hai il momento di inerzia del cilindro elementare. Moltiplicandolo per per il quadrato della distanza dal centro di massa/simmetria (quindi supponiamo il cilindro omogeneo) hai il momento di inerzia del cilindro elementare riferito al centro di massa. Ti riduci a un integrale semplice esteso tra -h/2 e h/2, ovvero due volte l'integrale tra 0 e h/2 per simmetria.

Oh, è solo un'idea, non ho mai fatto nulla di simile e non so se può funzionare.

https://www.youmath.it/lezioni/fisica/dinamica/3013-teorema-di-steiner.html

PS - Mi sono perso per strada la densità ma tanto è solo un fattore moltiplicativo, e vedo di essermi spiegato in modo un po' pasticcioso, però spero di aver spiegato che tipo di approccio tenterei io.

da **MarcoD** » 7 nov 2020, 19:01

~~Se aiuta, forse, potresti approssimare il cilindro a un parallepipedo a base quadrata, con la base avente la stessa superficie della base del cilindro,~~ Probabilmente è troppo approssimato.

da **lemure64** » 7 nov 2020, 19:25

MarcoD ha scritto:~~Se aiuta, forse, potresti approssimare il cilindro a un parallepipedo a base quadrata, con la base avente la stessa superficie della base del cilindro,~~ Probabilmente è troppo approssimato.

Secondo me è analiticamente esatto, anzi nel caso del problema la forma della sezione dovrebbe essere ininfluente purché resti costante l'area.

da **EcoTan** » 7 nov 2020, 19:28

finché il cilindro è snello va bene, ma se è tozzo si allontana troppo.

da **lemure64** » 7 nov 2020, 19:32

Sicuri che sia solo un'approssimazione? Se sto applicando bene il teorema di Huygens come ho suggerito, la fetta può avere qualsiasi forma a parità di area (e quindi anche la sezione), perché entrerà nella relazione solo con l'area moltiplicato il d-fetta

e la densità.

da **EttoreMajorana83** » 7 nov 2020, 19:37

lemure64 ha scritto:Sicuri che sia solo un'approssimazione? Se sto applicando bene il teorema di Huygens come ho suggerito, la fetta può avere qualsiasi forma a parità di area (e quindi anche la sezione), perché entrerà nella relazione solo con l'area moltiplicato il d-fetta e la densità.

Nella tabella il momento di inerzia del cilindro si massa M, raggio R e altezza H è

1/4*M*R^2 + 1/12*M*H^2

Quello che mi sta facendo impazzire è come calcolare il primo termine

da **MarcoD** » 7 nov 2020, 19:41

Sicuri che sia solo un'approssimazione?

Quando la D-fetta è a distanza zero, secondo l'approssimazione avrebbe momento zero.
Nella realtà ha ancora un momento di inerzia dovuto ai punti sulla superficie della fetta distanti dall'asse di rotazione. Forse è proprio il termine 1/4*M*R^2 che crea problemi a EMaiorana

da **lemure64** » 7 nov 2020, 20:29

Boh, provo a espandere la mia idea...

Posizionato il cilindro con l'asse coincidente con l'asse x e centro in origine degli assi valutiamo il momento di inerzia rispetto all'asse z. Inoltre per non confondere la variabile indipendente x con quella di integrazione, chiamo quest'ultima "csi".

Detto r il raggio del cilindro, "ro" la densità, come detto lo scompongo in fette elementari. Il momento di inerzia di un disco di raggio r, densità ro e spessore dcsi è:

$dI=\rho\frac{\pi}{4}r^{4}d\xi$

Ma questo è valido per un asse appartenente al disco, mentre sono distante csi, quindi applico il teorema di Huygens. Ci dice che per avere il momento di inerzia rispetto all'asse z devo aggiungere quello dell'intera massa del disco moltiplicato il quadrato della distanza csi. Quindi per il momento elementare del disco ho:

$dI_{\xi}=\rho\frac{\pi}{4}r^{4}d\xi+\rho(\pi r^{2}d\xi)\xi^{2}$

Adesso dobbiamo sommare tutti i contributi elementari e sfruttiamo la simmetria. Ovviamente ho lasciato le cose in modo che si veda la corrispondenza di ciascun termine con quello che significa.

$I=2\int_{0}^{H/2}\left\{ \rho\frac{\pi}{4}r^{4}d\xi+\rho(\pi r^{2}d\xi)\xi^{2}\right\}$

Dopodiché il mio editor latex si rifiuta di darmi una linea di frazione decente dopo il 2, mentre le altre stranamente vanno bene, quindi mi fermo. Il calcolo è ovviamente elementare (magari il mio ragionamento sbagliato, questo è probabile), l'ho fatto ma non coincide con la formula data. Non so se è un mio errore, o riarrangiando un altro po' la formula torna... Non ho mai amato latex, scusate se non termino la risposta

da **EttoreMajorana83** » 8 nov 2020, 13:55

lemure64 ha scritto:Boh, provo a espandere la mia idea...

Con un bel po' di concentrazione e pazienza credo di esserci riuscito.
Allora, abbiamo un cilindro di massa M, lunghezza H, raggio R densità $\rho$ , asse di rotazione z.

Il momento di inerzia del cilindro è la somma dei momenti di inerzia rispetto agli assi x e y, quindi:

I=Ix+Iy

.

Per calcolare Ix divido il cilindro in tante fette e considero una generica fetta distante dall'asse di rotazione x, quindi la fetta avrà spessore dx. Il suo volume sarà quindi $dV=R^2\pi\cdot dx$ . Il momento di inerzia della fetta è:

$dIx=x^2\cdot dM$

dalla formula della densità ottengo il valore di dM.

$\rho=\frac{dM}{dV}=\frac{dM}{R^2\pi\cdot dx}$ quindi $dM=\rho R^2 \pi\cdot dx$

trasformando, così, il momento di inerzia sul volume in un momento di inerzia sulla lunghezza del cilindro:

$dIx=x^2 \rho R^2\pi \cdot dx$

Dunque il momento di inerzia complessivo è dato da

$Ix=\int_{V}\left\{r^2\cdot dM\right\}=\int_{-L/2}^{L/2}\left\{r^2 R^2\pi\rho\cdot dx\right\}$

Poiché la distanza dall'asse è x posso scrivere r^2

come

quindi

$Ix=\int_{-L/2}^{L/2}\left\{x^2R^2\pi\rho\cdot dx\right\}=R^2\pi\rho\int_{-L/2}^{L/2}\left\{x^2\cdot dx\right\}=R^2\pi\rho(\frac{L^3}{8\cdot 3}-\frac{-L^3}{8\cdot 3})$ $=\frac{1}{24}R^2\rho\pi \cdot 2\cdot L^3$ $=\frac{1}{12}R^2\pi L\rho L^2$

poiché $R^2\pi L \rho$ è il prodotto tra il volume e la densità, questo non è altro che la massa M e il risultato precedente diventa

$\frac{1}{12}M L^2$

Passiamo adesso a calcolare Iy (capocciate contro il muro).
Il secondo termine Iy lo calcolo considerando la parte circolare del cilindro (diciamo, appunto, rispetto all'asse y). Divido il cilindro in tante corone distanti dall'asse di simmetria y di spessore dy, che formano un angolo $d\theta$ che dividono il cilindro in tanti rettangoli di altezza H e base $y\cdot d\theta$ . poiché questi rettangoli hanno altezza H, hanno una distanza (variabile) dall'asse di rotazione r, la distanza minima dall'asse è $r \cos(d\theta)$ . Il volume dV della masserella è quindi $dV=(y \cdot d\theta)H\cdot dy$ e la distanza dall'asse di rotazione al quadrato sarà $r^2\cos(d\theta)^2$ dalla formula della densità ottengo la massa dM che è $dM=\rho y d\theta H\cdot dy$ e il momento di inerzia della masserella sarà quindi

$dIy=r^2 \cos(d\theta)^2 \rho y \cdot d\theta H \cdot dy=(\rho H) \cdot (y^2\cdot y \cdot dy)\cdot (\cos(d\theta)^2\cdot d\theta)$

Il momento di inerzia totale sarà quindi

$Iy=\rho H \int_{0}^{R}\left\{y^3 \cdot dy\right\} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\cos(\theta)^2d\theta\right\}=\rho H (\frac{R^4}{4}) \pi=\frac{1}{4} R^2 \rho (R^2 \pi H)$

la quantità $\rho R^2 \pi H$ non è altro che $\rho V$ e quindi M, di conseguenza il risultato dell'integrale è:

$\frac{1}{4} R^2 \rho (R^2 \pi H)=\frac{1}{4} R^2 M$

spero sia giusto!!!

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Momento di inerzia cilindro

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