Quesito su circuito RLC.

[luigi_48]

Buon pomeriggio a tutti.
Consideriamo una maglia costituita da un condensatore carico alla tensione V=Vmax, una resistenza R, un'induttanza L e un interruttore T aperto.
Nell'istante in cui viene chiuso l'interruttore T il condensatore inizia a scaricarsi e nel circuito si generano delle oscillazioni libere smorzate.
Voglio esprimere analiticamente la tensione vc(t).
Per fare questo bisogna impostare un' equazione differenziale del secondo ordine.
Per poterla risolvere è necessario (secondo il criterio di Cauchy) conoscere le condizioni iniziali vc(0) e v'c(0).
vc(0) =Vmax ma v'c(0) quanto vale?
E se volessi scrivere anche l'espressione di i(t) come dovrei procedere sapendo che tra le due grandezze [vc(t) e i(t) ] c'è da considerare anche un certo sfasamento fi?
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi un aiuto.

[nembro]

Ciao.
Riporto lo schema del circuito in esame

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

con la seguente condizione iniziale
applicando le leggi di Kirchhoff e le equazioni caratteristiche dei componenti:

(ad interruttore chiuso)


di conseguenza si ha:

Se non sbaglio supponendo che l'interruttore ideale si chiuda nell'istante t = 0 allora e quindi .

Spero di non aver fatto errori.
ciao

[luigi_48]

Grazie per avermi risposto. Che v'c(0) fosse uguale a zero nell'istante iniziale t=0 è cosa che anch'io avevo supposto. Ma ho voluto, comunque, sentire un vostro parere perché proseguendo i miei calcoli ho trovato che vc(t)=Vmax * e^(-bt) * (cos(wt)+sen(wt)) quando a pag. 594 del 1° volume dell'Olivieri-Ravelli trovo scritto che vc(t)=(Vmax/sen fi) * e^(-bt) * sen(wt).
Darei non so cosa per poter capire come hanno fatto ad arrivare a una simile conclusione.

[nembro]

Se non hai risolto riusciresti a riportare qui sul forum il testo originale dell'esercizio/esempio?

[luigi_48]

Quando si chiude l'interruttore T, il condensatore è carico alla tensione di 2Volt. La sua capacità è di 0.08 F (solo Farad)
R=3 Ohm
L=0.5H
Soluzione generale: vc(t)= e^-3t * [K1*cos(4t) + K2*sen(4t)] . (E fin qui ci sono arrivato anch'io).
Ma a calcoli fatti trova che vc(t)= e^-3t * [2*cos(4t) + 3/2 * sen(4t)] .
Quello che non capisco è come faccia ad attribuite alle due costanti K1 e K2 rispettivamente il valore 2 e il valore 3/2. Dice che dipendono dalle condizioni iniziali in cui si trova il circuito quando si chiude l'interruttore T.
Un grazie a tutti.

[nembro]

Ciao
i coefficienti K1 e K2 si calcolano imponendo le condizioni iniziali:
dato l'integrale generale


si calcola la derivata (come nei precedenti post indico sinteticamente la derivata rispetto al tempo con ):


si ricavano le espressioni e e si impongono le condizioni iniziali



di conseguenza

[luigi_48]

Ciao nembro.
Ho fatto tesoro delle tue indicazioni e così sono riuscito, con grande soddisfazione, a trovare risposta ai quesiti che mi ero proposto e che in questo forum ho evidenziato. Ti ringrazio di cuore.
Sono riuscito, utilizzando in maniera corretta le equazioni differenziali del secondo ordine a trovare anche l'espressione della Vc(t) così com'è scritta a pag. 594 dell'Olivieri Ravelli Vol.1 Per arrivare a tanto ho dovuto, ad un certo punto, introdurre un artificio trigonometrico indipendente dall'uso delle equazioni differenziali stesse. Se qualcuno volesse vedere quale procedimento ho seguito, nessun problema per postarlo. Bisognerebbe però, e mi appello di nuovo a nembro, che mi insegnasse come fare per scrivere le formule per bene così come fa lui.

[claudiocedrone]

...Bisognerebbe però, e mi appello di nuovo a nembro, che mi insegnasse come fare per scrivere le formule per bene così come fa lui...

Intanto vedi qui, inoltre puoi avvalerti di questo strumento;
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