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Risposta sistema BIBOs: dubbio calcolo

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Risposta sistema BIBOs: dubbio calcolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 4 feb 2018, 17:55

Ciao a tutti! Sto rispondendo a una domanda di controlli e il mio dubbio forse riguarda di più la matematica.
In sostanza la domanda chiede per un sistema lineare e tempo invariante descritto da una generica equazione differenziale di ordine n.
Considerando la risposta in frequenza W(j\omega) del sistema e ipotizzando che sia BIBO stabile devo dimostrare che \forall \omega \in \mathbb{R}: W(j\omega) è finita.

Sapendo che BIBOs vuol dire anche che nel tempo:
\int_0^{+\infty} |\omega(t)|dt < +\infty allora applicando la trasformata di Fourier:

W(j\omega)=\int_0^{+\infty}w(t)e^{-j\omega t}dt \leq \int_0^{+\infty}|w(t)||e^{-j\omega t}|dt < 2\int_0^{+\infty}|w(t)|dt <+\infty

ma non mi convince non so perché, cioè secondo voi e giusto e si potrebbe dire con questo che \forall \omega \in \mathbb{R}: W(j\omega) è finita ?
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[2] Re: Risposta sistema BIBOs: dubbio calcolo

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 4 feb 2018, 20:37

Dunque, se ho capito bene vuoi dimostrare il seguente

teorema - sia w(t) un segnale BIBO stabile, allora la trasformata di Fourier W(\text{j}\omega) del segnale w(t) è finita \forall \omega\in\mathbb{R}.

sperando ti sia utile, ti reinterpreto la dimostrazione a parole mie.

dimostrazione - la trasformata di Fourier del segnale w(t) è definita come l'integrale

W(\text{j}\omega)=\int_0^{+\infty}w(t)\exp(-\text{j}\omega t)\text{ d}t

tale definizione mostra che il segnale W(\text{j}\omega) è complesso, nel senso che fissata una pulsazione \omega_0, la quantità W(\text{j}\omega_0) è un numero complesso, esprimibile quindi in forma polare attraverso un certo modulo |W(\text{j}\omega_0)| ed una certa fase \angle W(\text{j}\omega_0).
Naturalmente il discorso vale qualsiasi sia la pulsazione \omega_0 scelta, quindi si può omettere il pedice dalla pulsazione e tornare a pensare ad \omega come una generica pulsazione.

Affinché W(\text{j}\omega) sia una quantità finita è sufficiente che sia finito il suo modulo, quindi si può studiare il termine

|W(\text{j}\omega)|=\left|\int_0^{+\infty}w(t)\exp(-\text{j}\omega t)\text{ d}t\right|

che, in virtù della disuguaglianza triangolare, è maggiorato da

|W(\text{j}\omega)|\le\int_0^{+\infty}\left|w(t)\exp(-\text{j}\omega t)\right|\text{ d}t=\int_0^{+\infty}|w(t)||\exp(-\text{j}\omega t)|\text{ d}t

osservando adesso che, indipendentemente dal valore di \omega, si ha |\exp(-\text{j}\omega t)|=1, si trova

|W(\text{j}\omega)|\le\int_0^{+\infty}|w(t)|\text{ d}t \qquad \forall \omega\in\mathbb{R}

quindi, essendo per ipotesi w(t) un segnale BIBO stabile, ovvero un segnale assolutamente integrabile, i.e.

\int_0^{+\infty} |w(t)|\text{ d}t < +\infty

si arriva finalmente a concludere che

|W(\text{j}\omega)|< \infty \qquad \forall \omega\in\mathbb{R}

il che dimostra la finitezza di W(\text{j}\omega) indipendentemente dal valore della pulsazione \omega.
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[3] Re: Risposta sistema BIBOs: dubbio calcolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 5 feb 2018, 8:21

Grazie mille :ok:
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