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Funzione d'onda nei solidi

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[1] Funzione d'onda nei solidi

Messaggioda Foto UtenteIanero » 8 feb 2017, 23:25

Scrivo in cerca di aiuto nel cercare di capire anche vagamente il senso di alcuni appunti che mi sono stati passati.
Magari comincio a dire cosa ho capito io, poi faccio le domande.

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per la funziona d'onda che descrive un elettrone in un solido ci è stato detto essere:

- \frac{\hbar }{2m} \nabla ^2 \psi (\underline{r}) + U(\underline{r}) \psi (\underline{r})=E\psi (\underline{r})

dove U è un potenziale che tiene conto dell'interazione con tutti gli altri elettroni e con tutti gli atomi del cristallo.
Inoltre U è periodica:

U(\underline{r})=U(\underline{r}+\underline{R})

dove \underline{R} è un vettore qualsiasi del reticolo diretto del cristallo, ovvero:

\underline{R}=m\underline{a_1}+k\underline{a_2}+l\underline{a_3}

con m,l,k interi e \underline{a_i} vettori fondamentali del reticolo diretto.

poiché il potenziale è periodico utilizzo il Teorema di Bloch:

\psi (\underline{r})=e^{i\underline{K} \cdot \underline{r}} \; u(\underline{r})

u periodica nel reticolo.
dove a questo punto direi (non sono sicuro questo sia giusto, ma ne sono abbastanza convinto) che:

\underline{K}=\begin{pmatrix}
K_1\\K_2 
\\ K_3

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \pi \frac{n_1}{N_1 a_1}\\ 2 \pi \frac{n_2}{N_2 a_2}
\\2 \pi \frac{n_2}{N_2 a_2} 

\end{pmatrix}

dove N_i è il numero di punti reticolari che costituiscono il cristallo nella direzione di \underline{a_i}, n_i = 0,1,...,N_i - 1 e a_i=|\underline{a_i} |.

A questo punto quindi vale che (sempre per Bloch):

\psi (\underline{r}+\underline{R})=e^{i\underline{K} \cdot (\underline{r} + \underline{R})} \; u(\underline{r})=\psi (\underline{r}) e^{i\underline{K} \cdot \underline{R}}

in particolare:

\underline{K} \cdot \underline{R} = 2 \pi \frac{n_1}{N_1 a_1}ma_1+2 \pi \frac{n_2}{N_2 a_2}ka_2+2 \pi \frac{n_3}{N_3 a_3}la_3

\underline{K} \cdot \underline{R} = 2 \pi \left (\frac{n_1}{N_1}m+\frac{n_2}{N_2}k+ \frac{n_3}{N_3 }l  \right )

che non è sempre del tipo 2 \pi (\text{intero}).

A questo punto leggo dagli appunti che cerca di associare \underline{K} al reticolo reciproco.
Non ho capito se il prof dice che tutti i \underline{K} sono vettori del reticolo reciproco (ma direi di no per la considerazione appena fatta sopra:
non è sempre del tipo 2 \pi (\text{intero})
, oppure se cerca di trovare tra tutti questi \underline{K} solo quelli che fanno parte del reticolo reciproco.

Avete idee in merito?
\underline{K} (ottenuto dalla condizione di Bloch) ha a qualcosa a che fare in qualche modo col reticolo reciproco del cristallo?
:shock:
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[2] Re: Funzione d'onda nei solidi

Messaggioda Foto UtenteKalessete » 10 feb 2017, 4:06

Ciao Ianero :ok: . Come ben sai, un cristallo di semiconduttore è una struttura ordinata e periodica di atomi in cui ogni atomo occupa una posizione chiamata "sito reticolare". Ogni posizione è raggiungibile attraverso un vettore traslazionale del reticolo diretto. Questo vettore è una combinazione lineare di altri 3 vettori, chiamati vettori traslazionali primitivi. Essi, essendo i vettori più "piccoli", definiscono il più piccolo volume attraverso cui, per traslazioni, si può ricostruire tutto il cristallo ( cella primitiva).
Dunque un vettore traslazionale nello spazio diretto è:
\underline T = n \underline a + m \underline b+l \underline c
con {n,m,l} numeri interi e { \underline a, \underline b, \underline c} vettori traslazionali primitivi dello spazio diretto.
\underline K non è altro che una trasformata di \underline T (quasi-trasformata di Fourier) e quindi,
in analogia, si può dare una reppresentazione vettoriale anche di \underline K:
\underline K = \nu\tilde{a}+ \mu\tilde{b}+ \lambda\tilde{c}
con { \nu, \mu, \lambda} numeri interi e {\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}} vettori traslazionali primitivi dello spazio reciproco che definiscono la prima zona di Brillouin .
Si può dimostrare che:

\tilde{a} = \frac{2 \pi }{\Omega} \underline b \wedge \underline c
\tilde{b} = \frac{2 \pi }{\Omega} \underline c \wedge \underline a
\tilde{c} = \frac{2 \pi }{\Omega} \underline a \wedge \underline b

dove \wedge indica il prodotto vettoriale. \Omega è il volume della cella primitiva, ovvero \underline a \cdot \underline b \wedge c
\rightarrow ricorda che deve sempre essere rispettata la condizione: \exp[\underline K \cdot \underline T] =1, svolgendo il prodotto scalare troverai che:
\underline K \cdot \underline T = (multiplo intero)2 \pi. SEMPRE!! :cool:
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[3] Re: Funzione d'onda nei solidi

Messaggioda Foto Utentemarco76 » 10 feb 2017, 10:53

dai miei vaghi ricordi (di più di 10 anni fa) la considerazione
che non è sempre del tipo

è sbagliata proprio per come viene calcolato il reticolo reciproco, prova a richiedere.
mi viene solo in mente che magari il prof considerasse celle non primitive.
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[4] Re: Funzione d'onda nei solidi

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 feb 2017, 11:40

Foto UtenteKalessete, questo lo so, sono I risultati che derivano dalle condizioni di diffrazione di Laue.
In ogni caso grazie della risposta.

La mia domanda era un'altra:

\underline{K}=\begin{pmatrix}
K_1\\K_2 
\\ K_3

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \pi \frac{n_1}{N_1 a_1}\\ 2 \pi \frac{n_2}{N_2 a_2}
\\2 \pi \frac{n_2}{N_2 a_2} 

\end{pmatrix}

io l'ho ottenuto "matematicamente" dal teorema di Bloch (estendendolo da 1 a 3 dimensioni), senza chiedermi a priori cosa abbia a che fare con il reticolo reciproco.
Dopo averlo trovato, mi sono accorto che

\underline{K} \cdot \underline{R} = 2 \pi \left (\frac{n_1}{N_1}m+\frac{n_2}{N_2}k+ \frac{n_3}{N_3 }l  \right )

non è sempre del tipo 2 \pi (\text{intero}).

Fin qui non dovrebbero esserci problemi.
A questo punto la domanda è: E' giusto dire che "non tutti questi \underline{K} che ho trovato io (risolvendo il problema tramite Bloch) sono vettori del reticolo reciproco?"
Se la risposta è sì, allora c'è un modo sistematico di discernere quali ne fanno parte? (perché viene una equazione un po' strana se tento di imporre la condizione di appartenenza al reticolo reciproco)
Se la risposta è no, allora dove è l'errore nei miei calcoli in [1]?

Grazie.
:shock:
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[5] Re: Funzione d'onda nei solidi

Messaggioda Foto UtenteKalessete » 10 feb 2017, 14:52

La risposta alla tua domanda è negativa, i vettori dello spazio reciproco non si trovano in quel modo.
Il vettore \underline K corrisponde al vettor d’onda dell’onda materiale (di de Broglie) associata all’elettrone. Esso`e definito nello spazio reciproco (nel quale le distanze si misurano in m−1
), che per un solido cristallino `e spazzato dai vettori traslazionali reciproci
\underline K = \nu \tilde{a}+ \mu \tilde{b}+ \lambda  \tilde{c} definiti in termine dei vettori primitivi reciproci.

La cella primitiva di spazio reciproco definita dai \nu \tilde{a}, \mu \tilde{b}, \lambda  \tilde{c} si chiama prima zona di Brillouin. Considerate le definizioni date è facile dimostrare la proprietà che lega i vettori traslazionali diretti e reciproci
\exp[\underline K \cdot \underline T] =1
Questa equazione ha una importante conseguenza, bene illustrata considerando la forma generale imposta dal teorema di Bloch per la funzione d’onda cristallina di singolo elettrone:
\psi (\underline r + \underline T) = \exp[  i\underline K \cdot \underline T ]\psi (\underline r) = \exp[i( \underline K + \underline G) \cdot \underline T] \psi (\underline r)
Ad uno stesso stato quantistico di singolo elettrone cristallino corrisponde
una infinità di vettori d’onda, legati reciprocamente da traslazioni di reticolo reciproco. Lo
stesso concetto può essere espresso in una forma equivalente:
vettori d’onda equivalenti per traslazioni di reticolo reciproco descrivono lo stesso stato quantistico di singolo elettrone. La conseguenza pratica `e immediata: per convenzione, si individua un determinato stato elettronico quantistico utilizzando solo il più piccolo tra i tanti vettori d’onda equivalenti per traslazioni di reticolo reciproco, cio`e utilizzando solo quell’opportuno \underline K che cade dentro la prima zona di Brillouin. Essa, dunque, gode della proprietà di contenere tutti e soli i vettori d’onda elettronici non equivalenti per traslazioni di reticolo reciproco. Basterà calcolare la funzione d’onda e l’energia di tutti e soli gli stati quantistici elettronici descritti da vettori d’onda contenuti nella prima zona di Brillouin per avere una conoscenza completa della struttura elettronica del solido cristallino.
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