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Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[11] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 24 dic 2015, 21:31

Scrivi l'equazione differenziale della maglia,
cioè l'espressione di i(t).
Le condizioni iniziali sono la i(0) e la i'(0).
che ricavi appunto dalle condizioni
all'istante dell'apertura del contatto.
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[12] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utentetidusquall17 » 25 dic 2015, 13:06

Ok, grazie. Sono riuscito a finire i transitori, ora passo a laplace
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[13] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 25 dic 2015, 13:51

Puoi dire che risultati hai trovato?
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[14] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utentetidusquall17 » 25 dic 2015, 22:15

Ciao, i calcoli finali non li ho svolti perché non mi andava, metto comunque il procedimento con alcuni risultati per vedere anche se tutto va bene come logica, visto che mi interessa quello.
Visto che i calcoli sono molti posso aver commesso anche qualche errore:

Vado a determinare per t<0 le condizioni iniziali, dove gli induttori sono cc e i condensatori sono ca. Di questo circuito applico il potenziale nodale e trovo che:
Vc=66.6 ohm 
Il= -0.66 A

Per t>0 svolgo il circuito con il pulsante aperto. Il ramo centrale va via visto che non passa corrente, resta quindi un circuito rlc in serie, che applicando l equazione so unica maglia e sostituendo le caratteristiche e facendo qualche calcolo viene:
i(t)" + (R1+R3)/L + 1/(CL)i(t)'+ i(t)=0
Calcolo le radici, il cui Delta è minore di zero e quindi la soluzione sarà nei numeri complessi.
Per la continuità delle variabili di stato, posso applicare le condizioni iniziali avendo i(0-)=i(0+) per calcolare le due costanti che compaiono nel equazione generale. Applico la condizione iniziale di Il e ottengo che A2=-0.66
Applico la condizione iniziale ad Il' e costituendo ottengo A1= 2.9
Bisogna andare a fare solo gli ultimi conti per ottenere la potenza assorbita.
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[15] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 25 dic 2015, 23:31

Mi sembra che non ci siamo...
Prima di tutto deve essere chiara la situazione
che si crea per t=0, prima e dopo l'apertura del contatto.

Come si vede.la corrente che percorreva L
prima dell'apertura è forzata, dopo l'apertura,
a scorrere nel ramo R3-C, cambiando completamente
le tensioni nei singoli punti del circuito.
Si nota in particolare che su L compare una tensione
di segno opposto a quella di C (vL(0)=-vC(0))
e che si oppone al verso della corrente.
Le condizioni iniziali da considerare sono proprio la corrente
i(0) e la tensione su L (da cui ricavare i'(0)).

E ora veniamo all'equazione differenziale del circuito.
dopo l'apertura del contatto.
Come fai a ricavare quell'espressione?
Ti avevo indicato un link (post[7]) che spiega esattamente
ciò che si dovrebbe fare. Perché non l'hai seguito?

Aspetto domani prima di darti la soluzione.
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[16] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utentetidusquall17 » 26 dic 2015, 12:28

Scusa ma cosa c'è che non va?
Quando il tasto è ancora chiuso la corrente passa nel ramo centrale ed è forzato, visto che c'è il generatore.. Io ho risolto il circuito in questo modo è facendo le sostituzioni con cc e ca, con convenzione utilizzatore su tutti i bipoli.
Se lo svolgo con i potenziali nodali mi viene ua = 66.67 V
E Vc=ua visto che la tensione punta sul nodo A.
iL me la calcolo attraverso la tensione del resistore che è -uA, visto che punta in verso opposto..
Per l equazione differenziale io ho seguito la pagina Wikipedia sui circuiti rlc in serie e mi trovo con quella equazione differenziale che ho scritto, visto che aprendo il pulsante non scorre più corrente nel ramo centrale.

L equazione differenziale è nel incognita i(t). Mi trovo le radici, scrivo l integrale generale e basta trovare solo le costanti con le condizioni iniziali.
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[17] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 26 dic 2015, 17:05

Allora hai sbagliato a scrivere l'equazione nel post precedente,
nonché i calcoli dei coefficienti. e non hai ricavato l'equazione i(t).

Ecco cosa intendo per soluzione:
Applicando LKV (legge di Kirchhoff delle maglie) al circuito
dopo l'apertura del contatto (vedi seconda figura del post[15])
in termini di Laplace, si ottiene:
i \cdot R1+ i \cdot s \cdot L+i \cdot R3+ \frac{i}{s \cdot C}=0
Cioè la i(s) è data da:
s^2 +\frac{R1+R3}{L} \cdot s+\frac{1}{L \cdot C}=0

Com'è noto, per risolvere un'equazione differenziale
si deve ricorrere ad una struttura di cui è nota la soluzione.
Nel nostro caso la struttura è:

s^2+2 \cdot \omega \cdot s+ \alpha ^2=0,

ponendo:

\alpha =\frac{R1+R3}{2 \cdot L} \qquad  e  \qquad \omega = \frac {1}{\sqrt{L \cdot C}}

Poiché nel nostro caso risulta \quad  \alpha<\omega,
(caso di "smorzamento debole", come detto al post[7]),
la soluzione è del tipo:
i(t)= A \cdot \cos(\beta \cdot t) \cdot e^{- \alpha \cdot t}

dove \quad \beta=\sqrt{\omega ^2 - \alpha ^2}
e A è ricavato dalla condizioni iniziali.
Precisamente : A= \sqrt{A1^2 +A2^2}
con
A1=i(0)
e
-\alpha \cdot A1+ \beta \cdot A2= i'(0)

i'(0) è ricavabile dalla tensione vL(0), infatti è i\cdot s \cdot L=vL,
quindi i'(0)=\frac{vL(0)}{L} (e sappiamo che vL(0)= -vC(0))
A conti fatti A2 risulta trascurabile, quindi si può assumere:
i(t)=\frac {2}{3} \cdot \cos(400 \cdot t) \cdot e^{-200 \cdot t}
il cui andamento nei primi 20ms dopo l'apertura del contatto
è il seguente
Forum261215.gif

La corrente da un valore iniziale di 0.667A
scende (per effetto della controtensione vL)
fino ad invertirsi (dai 4 agli 11ms) per poi
praticamente azzerasi oltre i 20ms.

Lascio a te il calcolo della "potenza" in L al tempo t=1ms
e resto in attesa del risultato (per confronto).
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[18] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utentetidusquall17 » 26 dic 2015, 21:44

Io non l'ho svolto con Laplace ecco perché è diversa l 'equazione. Non mi trovo con la corrente iniziale che è -0.667 A.
E mi trovo anche con il fatto che una costante venga come la i(o)
Per la Potenza assorbita basta derivare iL così si trova Vl e fare il prodotto iL *vL
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[19] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 26 dic 2015, 23:23

Derivare o mettere s non deve fare nessuna differenza nell'equazione.
Non ho comunque visto i tuoi risultati finali, sia per l'andamento di i(t),
sia per la potenza (reattiva) in L al tempo t=1ms.
Rimango in attesa...
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[20] Re: Condizione iniziale transitorio secondo ordine

Messaggioda Foto Utentetidusquall17 » 27 dic 2015, 11:23

Ciao, allora ho controllato e avevo sbagliato a scrivere qui sul forum l equazione differenziale.
Per il risultato mettilo pure tu, tanto sono solo conti finali. A me interessava capire come procedere.
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