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[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtentePioz » 16 ott 2015, 11:21

Ciao!
Ti hanno gia' risposto in tanti da un punti di vista matematico. Provo a buttarti li' il punto di vista geometrico che magari fa chiarezza sul concetto di dipendenza.

Immagina di essere in \mathbb{R}^{2}, un piano in pratica. Preso ora un qualsiasi vettore v del piano hai che esso genera un sottospazio piu' piccolo, sempre di \mathbb{R}^{2}, che in questo caso e' una retta. Il sottospazio generato sono per definizione tutti i vettori che puoi ottenere dal vettore v moltiplicandolo per uno scalare.

Tipo immagina un piano cartesiano e prendi il vettore v= \binom{1}{1} (scusa ma non ho fidocad qui).
Ora moltiplicando v per uno scalare generico \lambda ottieni un nuovo vettore w (tipo w=(-1)v=\binom{-1}{-1}), che pero' per forza e' parallelo a v, in pratica sta sulla bisettrice del piano \mathbb{R}^{2} proprio come v. Se tu ora consideri tutti gli infiniti vettori w ottenuti dalla moltiplicazione \lambda v ottieni proprio tutta la retta bisettrice del pirmo e terzo quadrante. Questa retta non e' altro che un sottospazio di dimensione 1 (perche' generato da un solo vettore) dello spazio piu' grande di partenza che nel caso era \mathbb{R}^{2}.
In pratica conoscendo v (o un generico vettore della retta) conosci tutta la retta e non ti serve a nulla sapere tutti gli altri vettori w perche' tanto saranno v scalato o dilatato di un fattore \lambda. w sara', per definizione, dipendente da v perche' appunto appartiene allo stesso sottospazio generato da v, in questo caso la retta.

Se invece prendi un altro vettore v_1 non parallelo a v questo si dice indipendente da v appunto perche' non riesci a generarlo partendo da lui! Se li prendi entrambi e li combini insieme (w= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) che sottospazio generi? Riesci a trovare altri vettori di \mathbb{R}^{2} che non appartengano al sottospazio generato da <v,v_1> (che matematicamente vuol dire un vettore indipendente da loro due?)
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[22] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 16 ott 2015, 12:58

Penso di avere capito,
\sum_{j=1}^{k}x_{j} \mathbf{v}_{j}=0=x_{1}=x_{2}=\cdot \cdot \cdot =x_{k}=0
E' ovvio che se io impongo che tutti gli x_{j} valgano 0 il risultato vale 0!
Ed è per questo che mi sembrava assurdo.
Ma ci sono casi in cui il risultato vale 0 anche per valori di x_{j} \neq 0
Questo cosa vuol dire? Che se io, con quei vettori o meglio, con la matrice \mathbf{A} scrivo il sistema di equazioni
\mathbf{Ax} = 0
Se i vettori che compongono \mathbf{A} sono linearmente indipendenti il sistema ha un numero finito di soluzioni, mentre se non sono indipendenti il sistema avrà infinite soluzioni.
E queste soluzioni dipendono da una o più x_{j}.
E quindi, per valere 0 una o più x_{j} potranno anche essere diverse da 0.
Quindi, se l'unico modo per ottenere \mathbf{Ax} = 0 è imporre che tutti gli x_{j} valgano 0 allora i vettori che compongono \mathbf{A} sono linearmente indipendenti.

Spero di:
- essermi spiegato
- avere capito bene
- di non aver fatto troppa confusione.
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[23] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 16 ott 2015, 22:34

Ok, è tutto il giorno che ci giro intorno.
Rinuncio a capire.
Farò come devo fare e ... chi si è visto si è visto.
e mi chiederanno cosa significa gli risponderò bovinamente con la definizione.
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[24] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 16 ott 2015, 23:27

TardoFreak ha scritto:Rinuncio a capire.

Scusa Stefano, non ho capito cosa non ti è chiaro.
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[25] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 16 ott 2015, 23:37

E' un problema mio e ci casco sempre. ||O
Cerco sempre di trovare un significato, diciamo "fisico" in quello che studio.
Inutile dire che in tante cose tale significato non esiste. La maggior parte di quello che studio sono come una sorta di "funzioni", o "tasselli" o "componenti", chiamali come vuoi, che bisogna conoscere per poi utilizzare se e quando servono per ottenere un risultato.
Invece, da buon manovale praticone che sono, non mi fermo e cerco di approfondire anche quando non c'è niente da approfondire.
L'ho visto in matematica. All'inizio diventavo matto per ogni proposizione e cercavo di capire dove e come quella si applicava. Poi ho capito che certe cose è necessario e sufficiente saperle e basta. A volte sono solo termini da imparare e di cui conoscerne il significato formale.

Tutto qui.
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[26] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteDarwinNE » 16 ott 2015, 23:48

L'hai vista, vero, la correzione data da Foto Utenteboiler in [6]? Anch'io sono d'accordo con lui.
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[27] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 16 ott 2015, 23:50

Si, certo. E' una correzione giusta: "se e solo se".
Formalmente è perfetta. :ok:
E, alla fine della fiera, è tutto quello che bisogna sapere.

Il problema sono io, che cerco l'acqua dove non piove eh eh eh. :D
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[28] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteDarwinNE » 16 ott 2015, 23:57

Ma non ho capito cosa non è chiaro. La definizione può essere stata scritta così solo perché è... comodo, compatto, carino e simpatico con tanti simboli divertenti :-)

Oppure è il concetto di indipendenza lineare che non ti è chiaro?
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[29] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 17 ott 2015, 10:48

Foto UtenteTardoFreak, se tu hai due vettori, per esempio \boldsymbol{v}=(1,1) e \boldsymbol{w}=(2,2), io dico che il secondo è una freccia che ha la stessa direzione della prima, lo stesso verso della prima, ma è lunga il doppio. Ti trovi fino qui?
Non andare avanti a leggere se non ti è chiaro e chiedi.

Come ho fatto a capire che il secondo è lungo il doppio del primo? l'ho visto ad occhio, ok :D
Ma formalmente?
ho visto, risolvendo un sistema, che le componenti del primo moltiplicate per due danno il secondo.
Se avessi avuto il vettore \boldsymbol{v}=(1,0) e \boldsymbol{w}=(0,1) non ci sarebbe stato niente da fare, il sistema (prova) non avrebbe avuto soluzione.

a(1,0)=(0,1)

a\cdot 1 = 0
a\cdot 0 = 1

La prima equazione ti dice che a deve essere zero, mente la seconda è una equazione impossibile.
Il sistema non ha soluzione.
Non riuscirai mai a traformare il primo vettore nel secondo.
Mentre, nel primo caso
a(1,1)=(2,2)

a\cdot 1 = 2
a\cdot 1 = 2

il sistema ammette soluzione.
Battezziamo la cosa dicendo che i due vettori sono linearmente dipendenti.
Linearmente perché c'è una relazione di proporzionalità lineare, dipendenti perché, con un po' di occhio vedo che i due vettori differiscono solo per un coefficiente di scala.
Hai notato che io ti ho detto che devo moltiplicare il primo per 2 e qui ti viene fuori a=2?
Tu dirai: e allora?
Allora potrei anche moltiplicare il secondo per 1/2, in fondo l'ordine dei vettori non è importante.
Se voglio considerare anche questa informazione (caso generale) devo scrivere due incognite.

a(1,1)=b(2,2)

a\cdot 1 = b \cdot 2
a\cdot 1 = b \cdot 2

In pratica vanno bene tutte le coppie di a e b tali per cui a=2b.
a=4 e b=2 va bene, ecc...
Proviamo a fare la stessa cosa nell'altro caso, quello indipendente:

a(1,0)=b(0,1)

a\cdot 1 =b\cdot 0
a\cdot 0 =b \cdot 1

viene fuori a=0, b=0. Se ci pensi un attimo è ovvio. La matematica ti sta dicendo che l'unico modo per rendere uguali quei due vettori è quello di annullarli entrambi. Poi, quando saranno entrambi zero, allora saranno uguali.
Escluso questo caso non si può fare niente.
Ovviamente questa soluzione va bene per qualsiasi vettore. "eggrazzie", dirai tu. Se li annullo è ovvio che diventano uguali. :D
In questo caso i due vettori si dicono linearmente indipendenti, perché non è possibile ricondurli uno all'altro a meno di annullarli.

Nessuno ci vieta di estendere, in modo astratto, il sistema a più incognite, considerando 3,4,5,6,...n vettori.
Verrà fuori un sistema di n equazioni in n incognite che stabilisce se gli n vettori sono o no indipendenti fra loro. Se sono indipendenti troverò solo la soluzione nulla (cioè n variabili che devono valere tutte zero. Qui non ci saranno più solo a e b, ma anche c,d,e,f, ecc... fino a contarne n).
Quella notazione compatta che hai visto (corretta da Foto Utenteboiler!) dice in modo sintetico tutto questo.

Ciao,
Pietro.
edit: rileggendo noto che mi sono espresso un po' male. Ho la febbre, quindi la probabilità che abbia scritto qualche cacchiata è dalle parti del 1.2 :D
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[30] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 17 ott 2015, 15:35

PietroBaima ha scritto:... i due vettori si dicono linearmente indipendenti, perché non è possibile ricondurli uno all'altro a meno di annullarli.

iOi iOi iOi iOi iOi iOi iOi iOi

Grazie mille! :ok:
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