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Problema di probabilità congiunta

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtentePietroBaima, Foto UtenteIanero

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[1] Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 14:35

Un saluto a tutti O_/

Ho dubbio su un esercizio di probabilità (quandomai :roll: ) che mi piacerebbe chiarire.

Dato un vettore aleatorio (X,Y), mi viene data la seguente funzione di densità congiunta con distribuzione uniforme:



E mi si viene chiesto di calcolare P(Y \leq 1.5 | X \leq 1).
Mi sembra ovvio che solo la metà sinistra dell'area sia la zona interessata.

\begin{aligned}
& T = \left\{
\begin{matrix}
2x & \text{se} & 0 \leq x \leq 1 \\
-2x+4 & \text{se} & 1 < x \leq 2 \\
0 & & \text{altrimenti} 
\end{matrix}
\right.
\end{aligned}

Calcolo l'area tenedo conto della metà sinistra e la funzione di densità:

\begin{aligned}
&a = {xy\over 2} = 2\\
&f_{XY}(x,y) = \left\{
\begin{matrix}
{1 \over a} & \text{se} & x,y \in T\\
0 & & \text{altrimenti}
\end{matrix}
\right.
\end{aligned}

Successivamente ho calcolato le densità marginali:

\begin{aligned}
f_{X}(x) & = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y)\,\text dy\\
& = \int_0^{2x} {1 \over 2}\,\text dy \\
& = \left.\left({y \over 2} \right )\right|_0^{2x}\\
& = x \\
f_Y(y) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y)\,\text dx\\
& = \int_y^{1}{1 \over 2}\,\text dx \\
& = \left.\left({x \over 2} \right )\right|_y^{1}\\
& = {1 - y \over 2}
\end{aligned}

Dopodiché mi sono proposto anche più di una soluzione...

Soluzione # 1
Tenendo conto della relazione delle probabilità condizionate per i vettori aleatori:

\begin{aligned}
& f(x|y) = {f_{XY}(x,y) \over f_Y(y)}\\
& f(y|x) = {f_{XY}(x,y) \over f_X(x)}\\
\end{aligned}

Ottengo, sempre se non sbaglio:

f(y|x) = {{1/2}\over \int_0^1 x \,\text dx} = 1

P(Y \leq 1.5 | X \leq 1) = \int_0^{1.5}f(y|x = 1)\,\text dy =  \int_0^{1.5}\,\text dy = 1.5

Sembra corretta (o almeno mi dà questa impressione), poi però penso...

Soluzione # 2
Se io ho considerato solo metà dell'area, sto già considerando X \leq 1.
A questo punto, se il ragionamento è corretto potrei calcolare

P(Y \leq 1.5 | X \leq 1) = \int_0^{1.5} f_Y(y)\,\text dy =  \int_0^{1.5}{(1 - y)\over 2}\,\text dy = 0.1875

E qui i risultati non coincidono (e quest'ultimo proprio non mi convince...) ed entro un po' in dubbio...
Dove (se) sbaglio ?

RIngrazio chiunque spenda il suo prezioso tempo nel darmi una mano a schiarirmi le idee.

O_/
Ultima modifica di Foto Utentesimo85 il 22 mar 2015, 14:41, modificato 1 volta in totale.
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[2] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentebrendolaccia » 22 mar 2015, 14:36

T è la densità di probabilità o la funzione di ripartizione?
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[3] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 14:38

Ciao Foto Utentebrendolaccia,

Il testo fa riferimento alla funzione di densità. Quindi densità di probabilità.
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[4] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utenteslashino » 22 mar 2015, 15:00

simo85 ha scritto:P(Y \leq 1.5 | X \leq 1) = \int_0^{1.5}f(y|x = 1)\,\text dy =  \int_0^{1.5}\,\text dy = 1.5

Sembra corretta (o almeno mi dà questa impressione)...



Ti anticipo che non ho affrontato il problema, ma mi è saltato all'occhio quello che ho citato; come fa una probabilità ad essere maggiore di 1? Prova a cercare dove sta l'errore lì...
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[5] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 15:13

slashino ha scritto:come fa una probabilità ad essere maggiore di 1?

Si infatti, non può. Evidentemente ho sbagliato concetto.
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[6] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentebrendolaccia » 22 mar 2015, 16:10

Non ho tempo di scrivere le varie formule ma mi viene 0,56. Probabilmente ho sbagliato perché è diverso tempo che ho dato questo esame ma ci provo comunque!
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[7] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 16:16

brendolaccia ha scritto:Probabilmente ho sbagliato


Beh sarebbe interessante conoscere il tuo ragionamento. Chissà che sia migliore di quello fatto da uno stordito cocciuto e rincoglionito come me. :-)
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[8] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 16:41

Da quello che decuco io, a me serve trovare quest'area:

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[9] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 16:47

E comunque non è che non ne sia capace tramite integrazione.

Vorrei però usare le densità marginali... Come penso sia giusto.
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[10] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentebrendolaccia » 22 mar 2015, 16:54

Non ricordandomi la formula, mi sono limitato a calcolare le aree. Se ci riferiamo ad una distribuzione normalizzata, l'area della densità di probabilità dovrebbe fornirci 1; nel nostro caso viene 2. Per questo dobbiamo dividere tutte le probabilità ottenute per due.
Se dividiamo il grafico che tu hai postato in un rettangolo + un triangolo otteniamo un area di 0.5625 (y=1.5 e x=0.75) per il triangolo e 0.375 per il rettangolo (y=1.5 e x=0.25). Otteniamo in totale 0.9375 ma dobbiamo ricordarci di dividere per due a causa della funziona non normalizzata; detto ciò si ottiene 0.468.

Mi sembra troppo semplice per essere vero quindi sicuramente ci ho messo dentro degli errori consistenti! Tutto ciò perché il metodo che tu hai applicato non me lo ricordo più molto bene.. #-o
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