Natale tra le noci di cocco

[Carlo51]

Problemino per passare un periodo natalizio sereno ma impegnato.

Cinque marinai naufragano su di un'isola semi deserta ("semi" perché c'è una scimmia).
Durante la notte, però, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa cinque mucchi uguali, vede che avanza una noce, la dà alla scimmia e nasconde la sua parte.
Un secondo marinaio si sveglia poco dopo, va al mucchio (ora più piccolo) e fa esattamente la stessa cosa: fa cinque mucchi uguali, ne prende uno e anche stavolta rimane una noce per la scimmia.
Lo stesso fanno a turno gli altri tre e tutte le volte, detratta la quinta parte per sé, avanza sempre una noce per la scimmia.
Il mattino dopo, tutti vedono che il mucchio è più piccolo, ma avendo la coscienza sporca stanno zitti.
Fanno dunque la divisione, e di nuovo avanza una noce che viene data alla scimmia.
Qual è il numero (minimo) di noci che i marinai avevano raccolto?
Pensierino: determinare il numero richiesto è certo significativo, ma, al solito, più significativo ancora è il come ci si arrivi! Auguri!!!!!

[fairyvilje]

Edit: Ho fatto degli errori da tagliarmi le dita D:. Ci ripenso sopra.

[fairyvilje]

Ok forse questa volta ci siamo.
Inizio con la descrizione della ricorrenza dove identifica il numero di noci rimaste allo step i-esimo.
e dove sarà il numero di noci di cocco iniziali, che guarda caso è quello che dobbiamo trovare.
Allo step k-esimo si ha quindi .
Quindi risulta
Il parametro k identifica il numero di pirati. Devo cercare x_0 in modo che renda intero x_k.
Questo è banalmente vero per essendo 4 e 5 coprimi. Il numero di noci di cocco all'inizio potrebbero essere 3121 e alla fine ne rimarrebbero 1020.
Il problema è che cerchiamo un numero .
Questo si ha per . Quindi posso concludere dicendo che le noci di cocco iniziali erano 15621, che alla fine sarebbero spartite fra i 5, dandone una alla scimmia.

[IsidoroKZ]

Se lasci parametrico il numero dei pirati, dovresti anche mettere lo stesso parametro nell'algoritmo di divisione. Ogni pirata prende un quinto delle noci perche' sono in 5.

E poi il numero non mi torna, al secondo prelievo il risultato non e` intero.

[Carlo51]

Complimenti, la soluzione di fairyvilje è assolutamente corretta e matematicamente ineccepibile .

Vorrei proporre anche una soluzione alternativa che si basa su di un procedimento iterativo (è stato sviluppato un semplice programma in c++) e, in particolare, sull'analisi della struttura del numero di noci che residuano ogni volta dalle sottrazioni operate via via dai marinai.
Detti quantitativi residuali (Q1, Q2, ..., Q5) devono infatti terminare tutti con 6 e la penultima cifra di ognuno di essi deve essere dispari affinché il numero delle noci dopo ogni sottrazione possa essere divisibile per 4 e, toltane una, essere pure divisibile per 5: dopo ogni sottrazione devono infatti rimanere le parti degli altri 4 marinai e ogni successivo marinaio deve poter dividere il precedente mucchio residuo in 5 parti a meno della noce destinata alla scimmia.

Si avrà pertanto la soluzione quando si verificherà la seguente "simultanea" situazione di Quantità:
Numero iniziale di noci: Q0 = Q1 + (Q1 / 4) + 1
Dopo prima sottrazione: Q1 = xxxxxxD6
Dopo seconda sottrazione Q2 = yyyyyyD6 = (Q1 - 1 - ((Q1 - 1) / 5))
.........
Dopo quinta sottrazione: Q5 = zzzzzzzD6 = (Q4 - 1 - ((Q4 - 1)/ 5))

dove in particolare D deve essere una cifra dispari: 1, 3, 5, 7 oppure 9.

Nel caso di specie si ha:
Q0 = 15621
Q1 = 12496 (noci sottratte da Q0: 3124 + 1 per la scimmia)
Q2 = 9996 (noci sottratte da Q1: 2499 + 1 per la scimmia)
Q3 = 7996 (noci sottratte da Q2: 1999 + 1 per la scimmia)
Q4 = 6396 (noci sottratte da Q3: 1599 + 1 per la scimmia)
Q5 = 5116 (noci sottratte da Q4: 1279 + 1 per la scimmia) con residuali 1023 per ogni marinaio + 1 per la scimmia.

[fairyvilje]

Ogni pirata prende un quinto delle noci perche' sono in 5.

Probabile, e in effetti avevo pensato la cosa così, ma quando è stata ora di scrivere il post mi sono detto che sarebbe stata una mia interpretazione della traccia originale. Non so realmente perché quei pirati facciano cinque mucchietti uguali, il testo non lo dice :)

Sul valore numerico provo a ricontrollare e ti dico.

[IsidoroKZ]

Avevo interpretato male io il testo , che facciano 5 mucchi immagino perche; sono 5 pirati e un pirata non ruba (troppo) a un altro pirata :)

[Carlo51]

Il testo in effetti dice che il primo marinaio fa 5 mucchi uguali e che gli altri marinai fanno lo stesso. In effetti la formula proposta va di conseguenza formalmente adattata, ma il risultato ottenuto è corretto nel senso che è stata usata correttamente.

[fairyvilje]

Avevo interpretato male io il testo , che facciano 5 mucchi immagino perche; sono 5 pirati e un pirata non ruba (troppo) a un altro pirata :)

In realtà tutti i pirati erano quasi in buona fede, nessuno voleva sottrarre niente a nessuno ma essere sicuro che gli altri non avrebbero allungato le mani sul bottino altrui. Lo dimostra il fatto che oltre a dividere in gruppi uguali, eventuali rimanenze le davano alla scimmia per non prende più di quanto spettasse. La tipica dimostrazione di quando tanta gente ben intenzionata agisce per vie non troppo chiare il bottino sparisce D:.
Sarebbe interessante analizzare la situazione attraverso gli strumenti della teoria dei giochi, alla fine la struttura del problema ricorda il dilemma del prigioniero. Peccato che non ne sia in grado. Magari qualcuno...

[Carlo51]

Più che il dilemma del prigioniero mi sembra di trovare un'attinenza con problema di Einstein. Visto infatti secondo il metodo di soluzione iterativa che ho proposto, le quantità che portano alla determinazione del mucchio iniziale sono come tessere di un mosaico in relazione le une con le altre (derivate le une dalle altre in questo caso), ma l'elemento che le unifica e "risolve" è la struttura della parte finale dei numeri che misurano le quantità dei mucchi di noci, così come nel caso del problema citato l'elemento risolvente è la relazione posizionale determinata dall'insieme unitario delle compatibilità e delle esclusioni. Grazie per la discussione.