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Prodotto tra numeri complessi

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtentenikiT » 8 apr 2013, 0:34

Ciao a tutti,
sto cercando di ricavare il modulo dell'impedenza di un parallelo costituito da due circuiti RLC serie.



Per il momento, ho ricavato che Z=\frac{(R_1+j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_1})(R_2+j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2})}{R_1+j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_1}+R_2+j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2}}.

Non avendo mai studiato a scuola i numeri complessi, e ricordando solo qualche concetto avuto per lo più qui sul forum, ho provato a semplificare numeratore e denominatore in questo modo:

Z=\frac{[R_1+j(\omega L_1-\frac{1}{\omega C_1})][R_2+j(\omega L_2-\frac{1}{\omega C_2})]}{R_1+R_2+j(\omega L_1-\frac{1}{\omega C_1}+\omega L_2-\frac{1}{\omega C_2})}

È corretto?

In questo modo, sono pronto a ricavare il modulo del denominatore, ma ho qualche dubbio su come ricavare il modulo del numeratore, avendo un prodotto che non credo di saper risolvere. :(

Considerando che non ho mai studiato i numeri complessi, qualcuno sa spiegarmi come procedere affinché possa ricavare il modulo del numeratore?

Grazie! :-)

Ciao,
Niki
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[2] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto Utentetipu91 » 8 apr 2013, 0:56

se devo essere sincero, non ho capito molto bene le tue intenzioni, però provo a darti delle dritte... dati due numeri complessi Z_1=a+ib e Z_2=c+id il loro prodotto è uguale a:

Z_1\cdot Z_2=(ac-bd)+i(bc+ad)

per quanto riguarda il rapporto tra due numeri complessi invece si ha:

\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{ac+bd+i(cb-ad)}{c^2+d^2}

a questo punto dovresti calcolarti il modulo, quindi scomponi la tua frazione in due parti, nel tuo caso avresti:

\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}=\frac{(ac-bd)+i(bc+ad)}{(a+c)+i(b+d)}

\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}=\frac{(ac-bd)}{(a+c)+i(b+d)}+\frac{i(bc+ad)}{(a+c)+i(b+d)}

adesso dovresti svolgere i calcoli (con la regola che ho citato sopra per il rapporto) fino a giungere ad una soluzione del tipo:

Z_{tot}=z_{re}+iz_{im}

del quale si ricava facilmente il modulo:

\left | Z_{tot} \right |=\sqrt{(z_{re})^2+(z_{im})^2}

spero di essere stato abbastanza chiaro, pur non capendo al meglio la domanda :mrgreen:
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[3] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtentenikiT » 8 apr 2013, 1:20

Ciao Foto Utentetipu91, grazie per la risposta. Anche se non sono stato chiaro nell'esprimermi, direi che mi hai indicato quello che cercavo.

In sostanza, il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei due numeri complessi, giusto?

Se ho afferrato bene il concetto, otterrei qualcosa del genere:

|Z|=\frac{\sqrt{(R_1R_2)^2+(\omega L_1-\frac{1}{\omega C_1})^2(\omega L_2-\frac{1}{\omega C_2})^2}}{\sqrt{(R_1+R_2)^2+(\omega L_1-\frac{1}{\omega C_1}+\omega L_2-\frac{1}{\omega C_2})^2}}

È corretto o ho commesso qualche errore?

Grazie ancora! :-)

Ciao,
Niki
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[4] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 apr 2013, 7:47

nikiT ha scritto:In sostanza, il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei due numeri complessi, giusto?


Si`, e` giusto. E la fase del prodotto e` uguale alla somma delle fasi, cerca la rappresentazione polare dei numeri complessi.

Tieni anche presente che molte calcolatrici scientifiche, anche quelle piu` semplici, possono fare i conti direttamente con i complessi!
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[5] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtentenikiT » 8 apr 2013, 11:45

Grazie Foto UtenteIsidoroKZ!

Avrei altre due domande, che sono più che altro curiosità... La prima è: il modulo che ho ricavato, può essere scritto in una forma "più leggibile" o conviene lasciarlo così (senza sviluppare il prodotto)?

L'altra domanda è: quale notazione conviene impiegare per indicare vettore e modulo? Ho visto che nei vari testi, talvolta i vettori vengono indicati in modo diverso (ad esempio usando il neretto o le frecce per distinguerli dai rispettivi moduli). qual è la notazione più corretta?

IsidoroKZ ha scritto:Tieni anche presente che molte calcolatrici scientifiche, anche quelle piu` semplici, possono fare i conti direttamente con i complessi!


Come si fa? :-)

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[6] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto Utenteadmin » 8 apr 2013, 12:04

Prova intanto con questo
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[7] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 apr 2013, 16:03

Il modulo che hai ricavato e` sbagliato! Hai due impedenze Z1 e Z2 di cui vuoi fare il parallelo e ti interessa solo il modulo del parallelo.

Le due impedenze si scrivono come Z_1=R_1+\text{j}\left (\omega L_1-\frac{1}{\omega C_1} \right ) e Z_2=R_2+\text{j}\left (\omega L_2-\frac{1}{\omega C_2} \right ) e il parallelo lo puoi calcolare come Z_p=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}

Se ti interessa solo il modulo puoi scrivere |Z_p|=\left| \frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2} \right |=\frac{|Z_1Z_2|}{|Z_1+Z_2|}=\frac{|Z_1||Z_2|}{|Z_1+Z_2|}

Il modulo del prodotto e` uguale al prodotto dei moduli, ma non la somma. A questo punto puoi calcolare il modulo al quadrato, cioe` non metto la radice quadrata per non scrivere cose troppo pesanti

|Z_p|^2=\frac{\left (R_1^2+\left (\omega L_1-\frac{1}{\omega C_1} \right )^2 \right )\left (R_2^2+\left (\omega L_2-\frac{1}{\omega C_2} \right )^2 \right )}{(R_1+R_2)^2+\left (\omega(L_1+L_2)-\frac{1}{\omega C_1}-\frac{1}{\omega C_2}\right )^2}

Se lo confronti con la tua espressione vedi che il numeratore non quadra: hai fatto (a+b)(c+d)=ac+bd: i gli altri due prodotti?
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[8] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtentenikiT » 9 apr 2013, 0:10

Oops! Ho fatto i conti su un foglio di carta, ma ho perso un pezzo quando li ho ricopiati in LaTeX... :-)

Ad ogni modo, ho ottenuto lo stesso risultato, e in effetti, senza sviluppare il prodotto e ricavando direttamente i moduli dei fattori, la formula resta abbstanza leggibile.

Dunque, il modulo del vettore va indicato con |Z|, mentre il vettore semplicemente con Z, giusto? In alcuni testi, ho visto che il vettore è indicato come \mathbf{Z} in neretto. Esiste una notazione formale o sono tutte notazioni equivalenti?

Grazie di nuovo! :-)

Ciao,
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[9] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 apr 2013, 9:17

Per denotare i numeri complessi va bene usare la semplice lettera: V, I, Z. Gli elettrotecnici spesso mettono dei segni sopra le lettere come \dot{V} o \overline{V}, ma in elettronica non si usa. Il punto è quello di distinguere in qualche modo le grandezze dipendenti dal tempo da quelle complesse: conviene allora denotare le grandezze nel dominio nel tempo con lettere minuscole v(t), i(t) ecc. e i fasori associati con lettere maiuscole.

Il grassetto (corsivo \boldsymbol{V}, \boldsymbol{Z} ecc.) conviene riservarlo per le matrici.
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[10] Re: Prodotto tra numeri complessi

Messaggioda Foto UtentenikiT » 9 apr 2013, 19:33

Grazie Foto UtenteDirtyDeeds, sei stato chiarissimo!

L'unica cosa, è che non ho precisato che nei testi di cui ti parlavo, il modulo non è indicato in corsivo, ma solo in grassetto. Presumo comunque che non sia una notazione molto diffusa, per cui credo sia conveniente ricorrere alle barre verticali per evitare ambiguità.

Grazie!

Ciao,
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