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Limiti di successioni

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteSimone89RN » 14 apr 2010, 22:38

Ciao a tutti sono alle prese con questa successione di cui non riesco a trovarne il limite corretto:

\lim_{x \to +\infty }\left ( \frac{n-1}{n-3} \right )^{n}

Vi mostro tutto il ragionamento che ho fatto per svolgerlo:

\lim_{x \to +\infty }\left (\frac{n}{n-3}-\frac{1}{n-3} \right )^{n}

\lim_{x \to +\infty }\left (\frac{n}{n(1-\frac{3}{n})}-\frac{1}{n-3} \right )^{n}
Edit RenzoDF ------------------------------------------------------------------------- fin qui va bene

--- qui non capisco cosa hai fatto ----in quanto non puoi supporre il primo termine dentro parentesi =1 !-----

\lim_{x \to +\infty } \left (1+\frac{1}{3-n}  \right )^{n}
-------------------------------------------------------------------------------------------da qui in poi hai risolto correttamente

\lim_{x \to +\infty } \left [\left (1+\frac{1}{3-n}  \right )^{3-n}  \right ]^{\frac{n}{3-n}}

\lim_{x \to +\infty } e^{\frac{n}{3-n}}

\lim_{x \to +\infty } e^{\frac{n}{n(\frac{3}{n}-1)}}=e^{-1}

Mi potreste dire che errore ho commesso? Dovrebbe venire e^{2}

Vi ringrazio. Ciao! :)
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[2] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 14 apr 2010, 22:58

Ti sei perso un pezzo per strada :wink:
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[3] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteSimone89RN » 14 apr 2010, 23:03

RenzoDF ha scritto:Ti sei perso un pezzo per strada :wink:


Intendi per caso che quel \frac{n}{n-3} non tende a 1?
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[4] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 14 apr 2010, 23:07

proprio così !
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[5] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto Utentedenisrn » 14 apr 2010, 23:13

Ciao simo!

Io ho provato a risolvere cosi':
\lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{n-1}{n-3} \right )^{n} = \lim_{m \to +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{n(m)}

Sicche':
1 + \frac{1}{m} = \frac{n-1}{n-3} \Rightarrow m = \frac{n-3}{2} \Rightarrow n(m) = 2m+3

Quindi riscrivendo:
\lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{n-1}{n-3} \right )^{n} = \lim_{m \to +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m+3}

Ed infine risolvendo:
\lim_{m \to +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m+3} = \lim_{m \to +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m} = e^{2}



PS: Riguardo al tuo procedimento:

Non e' che per caso da questo passaggio:
\lim_{n \to +\infty }\left (\frac{n}{n(1-\frac{3}{n})}-\frac{1}{n-3} \right )^{n}

A questo:
\lim_{n \to +\infty } \left (1+\frac{1}{3-n}  \right )^{n}

Oltre alla semplificazione e al cambio di segno hai fatto tendere n all' \infty solo nel denominatore del primo membro? Non penso sia giusto, pero' aspettiamo pareri piu' illustri :wink:
Ultima modifica di Foto Utentedenisrn il 14 apr 2010, 23:29, modificato 1 volta in totale.
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[6] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteSimone89RN » 14 apr 2010, 23:27

RenzoDF ha scritto:proprio così !


Raccogliendo la n ho fatto in modo che si potesse ellidere con quella del numeratore e siccome quel \frac{3}{n} al tendere di n\rightarrow +\infty è 0, la frazione risultasse 1.

E evidente che sbaglio nel ragionamento oppure semplicemente quello che ho fatto è un utopia :mrgreen: , come posso semplificare questa frazione a 1 in modo poi che poi il tutto sia = e?

XXX

Ciao Denis! Ho capito le 2 equazioni per trovare l'esponente e la m al denominatore, ma l'ultima riga che ti ha portato alla e no. Che passaggio hai fatto?
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[7] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 14 apr 2010, 23:29

io farei così

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n-3+2}{n-3} \right)^{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{2}{n-3} \right)^{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{n-3}{2}} \right)^{\frac{n-3}{2}} \right]^{\frac{2n}{n-3}}=e^{2}
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[8] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto Utentedenisrn » 14 apr 2010, 23:39

Ho capito le 2 equazioni per trovare l'esponente e la m al denominatore, ma l'ultima riga che ti ha portato alla e no. Che passaggio hai fatto?


Ho applicato la regola delle potenze:

\lim_{m \to +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m+3} = \lim_{m\to \infty } \left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m} \right )*\lim_{m\to \infty } \left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^3 \right ) = \lim_{m\to \infty } \left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m}
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[9] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteSimone89RN » 14 apr 2010, 23:41

RenzoDF ha scritto:io farei così

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n-3+2}{n-3} \right)^{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{2}{n-3} \right)^{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{n-3}{2}} \right)^{\frac{n-3}{2}} \right]^{\frac{2n}{n-3}}=e^{2}


Questa è esattamente il procedimento del mio professore per arrivare alla soluzione ma lui passa direttamente dal testo all'ultimo limite che hai scritto fino ad arrivare alla e^{2}, adesso è gia molto più chiaro, bastava mettere solo -3+2 al numeratore e trovavo poi l'1 spezzando la frazione. Non ci ho neanche pensato. :oops: :oops: :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

Grazie a tutti. Ciao! =D>
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[10] Re: Limiti di successioni

Messaggioda Foto UtenteSimone89RN » 14 apr 2010, 23:43

denisrn ha scritto:
\lim_{m \to +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m+3} = \lim_{m\to \infty } \left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m} \right )*\lim_{m\to \infty } \left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^3 \right ) = \lim_{m\to \infty } \left ( 1+ \frac{1}{m} \right )^{2m}


E quel cubo scompare semplicemente perché la m tende a + infinito?
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