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inghippo es. primo ordine

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] inghippo es. primo ordine

Messaggioda Foto UtentePier85 » 7 apr 2010, 10:48

Salve ragazzi, avrei un dubbio riguardo il primo esercizio di questo compito: http://www.phd1.dees.unict.it/esg/didat ... 060627.pdf
xxz.jpg
xxz.jpg (33.94 KiB) Osservato 2661 volte

Per prima cosa, ho calcolato la condizione iniziale sul condensatore (40 Volt).
Poi, per t>0 ho studiato il circuito a regime calcolando prima la Vth e poi la Req.
Per quanto riguarda la Req, ok, risulta 20 ohm (1/Rc infatti è 0.5).
Una volta calcolato l'andamento di Vc(t), derivando e moltiplicando per C ottengo la Ic(t) e con una LKC al nodo in basso trovo la iR2(t). Il problema è che la Vth a me risulta 30, mentre, a quanto si capisce deve risultare 15 (perché Ec(infinito))=11.25 J.
La Vth io l'ho calcolata ovviamente con l'interruttore k aperto, per cui, la R3, la R4 e il gen. pilotato risultano appesi.
Quindi per me sarebbe semplicemente Ig*R2=30 V, il che è anche suffragato dal fatto che iR2 a regime è proprio 3 (come Ig).
Può essere un errore dei risultati o sono io che mi sono rinc...?
Un grazie anticipato a chi vorrà aiutarmi :D
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[2] Re: inghippo es. primo ordine

Messaggioda Foto Utenteadmin » 7 apr 2010, 11:40

A regime, dopo l'apertura, dell'interruttore
esercizio.gif
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[3] Re: inghippo es. primo ordine

Messaggioda Foto UtentePier85 » 7 apr 2010, 13:55

Praticamente avevo preso la tensione VR2 come Vth...grazie 1000!
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[4] Re: inghippo es. primo ordine

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 7 apr 2010, 18:25

Pier85 ha scritto:Per prima cosa, ho calcolato la condizione iniziale sul condensatore (40 Volt).


... non sono d'accordo :!:

BTW si può fare anche a meno di passare attraverso la vc(t), visto che non è richiesta, e calcolare direttamente la iR2(t)
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[5] Re: inghippo es. primo ordine

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 apr 2010, 18:39

Colgo l'occasione del problema proposto per riprendere il discorso sulla risoluzione delle reti in regime variabile
ad una sola costante di tempo.

In questo caso particolare, le tensioni e le correnti della rete possono essere espresse, grazie all'esistenza di una sola costante di tempo, nella forma
\begin{align}
  & v(t)=(v(0+)-v(\infty ))\cdot e^{-\frac{^{t}}{\tau }}+v(\infty ) \\  
 &  i(t)=(i(0+)-i(\infty ))\cdot e^{-\frac{^{t}}{\tau }}+i(\infty ) \\
\end{align}
dove
a) v(0+) e i(0+), rappresentano i valori assunti nell'istante immediatamente successivo all'inizio del transitorio (chiusura o apertura interruttori), calcolati sostituendo ai condensatori/induttori, dei generatori di tensione/corrente pari ai loro valori iniziali di tensione e di corrente; valori che coincidono in una rete non degenere nei valori assunti per t=0-, in quanto, se non presenti generatori di tipo impulsivo, funzioni continue del tempo

\begin{align}
  & v(0+)=v(0-) \\ 
 & i(0+)=i(0-) \\ 
\end{align}

b) v(\infty ) e i(\infty ), rappresentano i valori finali, "a regime", ottenuti sostituendo i condensatori/induttori con circuiti-aperti/corto-circuiti,

c) \tau rappresenta la costante di tempo del sistema, calcolata come

\begin{align}
  & \tau =R_{eq}C \\ 
 & \tau =\frac{L}{R_{eq}} \\ 
\end{align}

nelle quali la resistenza equivalente è quella "vista" dai morsetti del condensatore/induttore "guardando" la rete.
================================================================================
Passando al calcolo per la rete postata, notiamo come il calcolo della tensione a regime per t<0 sia facilmente ottenibile con una semplice trasformazione triangolo-stella preventiva;
xzzx.jpg
xzzx.jpg (46.57 KiB) Osservato 2608 volte

dalla rete superiore di figura,
v(0+)=v(0-)=V_{CO}-\frac{V_{AB}}{2}=\left( \frac{10}{3}+10 \right)\times 3-10=30\,\,V

e da quella inferiore valida per t>0

3-i(0+)+\left( \frac{30+15-10\cdot i(0+)}{10} \right)=0\,\,\,\,\to \,\,\,\,i(0+)=\frac{7,5}{2}\,A


e visto che

i(\infty )=3\,A\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\,\tau =R_{eq}C=20\times 0.1=2\,s

avremo

i(t)=(i(0+)-i(\infty ))\cdot e^{-\frac{^{t}}{\tau }}+i(\infty )=\left( \frac{7,5}{2}-3 \right)e^{-\frac{^{t}}{2}}+3=0,75e^{-\frac{^{t}}{2}}+3\,\,A

N.B. nello stesso modo potremo calcolare tutte le altre grandezze funzioni del tempo, per esempio la tensione sul condensatore sarà

v(t)=(v(0+)-v(\infty ))\cdot e^{-\frac{^{t}}{\tau }}+v(\infty )=(30-15)\,e^{-\frac{^{t}}{2}}+15=15\left( 1+e^{-\frac{^{t}}{2}} \right)
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