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Esponenti frazionari e radici: una domanda

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto Utentejaelec » 22 dic 2022, 19:36

x^{\frac{2}2{}}

per x reale, è uguale a x oppure è uguale a valore assoluto di x?
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[2] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto Utentejaelec » 26 dic 2022, 9:47

Specifico forse meglio il senso (uno dei sensi) della mia domanda perché può anche darsi, al limite, che la mancanza di risposte sia dovuta al fatto che la domanda è stata considerata banale (e magari banale lo è per davvero).

La relazione:

x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}

Vale sempre? (Cioè vale per ogni a e ogni b intero e per ogni x reale?)

Esiste una definizione internazionale condivisa di x^{\frac{a}{b}} ?
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[3] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 26 dic 2022, 10:30

valore assoluto
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[4] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 26 dic 2022, 17:22

In generale sono parzialmente d'accordo.

Lasciamo da parte per il momento \sqrt{x^2}.
Occorre comunque definire per prima cosa dominio e codominio della funzione.

Però l'espressione originariamente richiesta era
x^{2/2}
che per me vale x in quanto occorre risolvere inizialmente l'esponente e poi procedere:
x^{2/2} = x^{(2/2)}=x^1=x

Questo non solo perché ritengo che occorra "un'economicità" nella ricerca della soluzione, nel senso di non andare a scomodare strutture più complesse quando vi sono altre semplici a disposizione, non solo perché ad es se l'esponente è una espressione con esponente essa stessa occorre prima risolverla e poi proseguire (x^{m^{n}} =x^{(m^{n})} in cui fai prima m^n), ma anche perché altrimenti arriviamo a situazioni "scomode" tipo
x^{4/6} = x^{(2/3)}=\sqrt[3]{x^2} (che è definita anche per x<0 mentre direttamente (-1 \left| x \right|)^{4/6} è indefinita sui Reali.
Del resto per x<0 la seguente relazione ovviamente in generale non vale più:
(x^n)^m=x^{n \cdot m}=(x^m)^n
infatti quanto vale (-1)^{1/6} nel campo dei Reali?
Quindi finché rimaniamo nel codominio dei reali possiamo definire x^{p/q} per x<0 solo per q dispari (oppure anche per p pari, ma non possiamo applicare la precedente commutazione e definire che occorre prima elevare a potenza e poi estrarre radice).

Allora per le altre domande
La relazione:

x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}

Vale sempre? (Cioè vale per ogni a e ogni b intero e per ogni x reale?)

No, se siamo nel campo dei Reali e ricordando che vorremmo poter scrivere (x^n)^m=x^{n \cdot m}=(x^m)^n si vorrebbe poter scrivere (come per x>=0)
x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}} = (\sqrt[b]{x})^a
ma la radice pari di un numero negativo nei Reali non è definita.

Esiste una definizione internazionale condivisa di x^{\frac{a}{b}} ?

Sì, ma dipende essenzialmente se siamo fra i Reali, o se possiamo estendere ai numeri Complessi (dove troviamo b risultati).

Infine
mancanza di risposte sia dovuta al fatto che la domanda è stata considerata banale (e magari banale lo è per davvero)

non credo sia banale, ma la mancanza di risposte era dovuta invece alla non banalità della risposta.

Se ora torniamo alla \sqrt{x^2}, allora la soluzione più diffusa è quella giustamente indicata da Foto UtentePietroBaima, ma a mio avviso pecca di non generalità poiché ci si può arrivare solo con quel particolare ordine (prima elevamento a potenza e poi estrazione radice quadrata), ovvero per specifica definizione.
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[5] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 26 dic 2022, 19:36

Ci puoi arrivare anche scambiando l’ordine, ma devi per forza passare dai complessi.
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[6] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto Utentejaelec » 30 dic 2022, 8:25

Innanzitutto ringrazio per le risposte.

A me pare di capire, facendo una sintesi invece di entare nel dettaglio, che però, di fatto, la faccenda non è risolta e che non vi sia questa definizione condivisa (anche solo nelle risposte in questa discussione) di x^{\frac{a}{b}} .

Perché alla fine se chiedo quanto vale (nel campo reale) (-1)^{\frac{2}{2}} ciascuno mi può dare il risultato che crede...

E' così oppure esiste, invece, appunto, un risultato condiviso?
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[7] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 30 dic 2022, 9:38

Puoi affermare che quel risultato faccia uno perché vuoi restare nel campo dei numeri positivi e reali, tanto che quello è diventato un modo per estrarre il valore assoluto.

In realtà il discorso corretto sarebbe piuttosto articolato e finiremmo per parlare di non biiettività della funzione inversa.
Avrai infatti sicuramente notato che per esponenti dispari il problema non si pone, mentre si pone per tutti quelli pari.
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[8] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 30 dic 2022, 11:27

Scusa Foto UtentePietroBaima perché vedi il valore assoluto?
A mio avviso no:
qui ovviamente c'è
\sqrt{x^2}=\left | x \right |
ma
x^{\frac{2}{2}}=x^1=x
Se non prendi questa strada di ridurre prima l'esponente ai minimi termini hai dei paradossi immediati tipo x^{\frac{1}{3}}\neq x^{\frac{2}{6}} e sembra innegabile che \frac{1}{3}=\frac{2}{6}
In svariati testi americani la definizione di potenza con esponente frazionario include la necessità che esso non abbia termini comuni, come ad es in Ratti & McWaters, Precalculus: a right triangle approach, section P.6
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[9] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 30 dic 2022, 12:48

Appena ho un attimo estendo il discorso.
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[10] Re: Esponenti frazionari e radici: una domanda

Messaggioda Foto Utentedadduni » 2 gen 2023, 0:27

Solo io sto aspettando con impazienza la risposta di Foto UtentePietroBaima?
Sono feste per tutti, ma abbiamo bisogno di risposte! :mrgreen:
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