ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **g.schgor** » 20 apr 2019, 13:34

Per capire il metodo suggerisco di limitare l'analisi,
per il momento, al solo M1.

Supponendo inizialmente =0 sia x1 che le sue derivate,
applichiamo ad M1 una forza F tale da portare M1 in x1=1m
(cioè F=2N).

$M1 \cdot x1''+b \cdot x1'+k \cdot x1=F$

Quindi: $x1''=\frac{F}{M1} -\frac{b}{M1} \cdot x1'-\frac{k}{M1} \cdot x1$

Applicando Laplace, la configerazione di calcolo è:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Con un simulatore si ottiene:

: MassaMolla1.gif (4.69 KiB) Osservato 1218 volte

Applicando F per 15s si raggiunge cioè
la condizione stazionaria (x1(0) del problema)
e con F=0 si ha poi l'andamento di x1 richiesto.

da **g.schgor** » 20 apr 2019, 17:23

Avverto che sarò assente per alcuni giorni.
Buona Pasqua

da **ElMandrillo** » 20 apr 2019, 17:36

Grazie g.schgor per la risposta, ma la tua risposta è per un sistema ad un grado di libertà. Su alcune cose hai confermato alcuni dubbi che avevo sul mio procedimento quindi ti ringrazio per l'aiuto datomi. Di seguito scrivo il quello che sono riuscito a fare e dove mi sono bloccato non riuscendo a rappresentare il sistema in forma ISU (ingresso-stato-uscita).

SVOLGIMENTO
Cominciamo dalle prime due equazioni del testo

$M_1\frac{\text{d}^2x_1}{\text{d}t^2} = -kx_1-b\frac{\text{d}x_1}{\text{d}t}+k(x_2-x_1)$

$M_2\frac{\text{d}^2x_2}{\text{d}t^2} = k(x_1-x_2)+u$

Dopo una semplice manipolazione abbiamo:

$M_1\ddot{x}_1 + b\dot{x}_1 + 2kx_1 - kx_2 = 0$
$M_2\ddot{x}_2 - kx_1 + kx_2 = u$

Che può essere riscritto in forma matriciale:
$\begin{bmatrix} M_1 & 0 \\0 & M_2 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{x_1}\\ \ddot{x_2} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} b & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \dot{x_1}\\ \dot{x_2} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} 2k & -k \\-k & k \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_1\\ x_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0\\ u \end{Bmatrix}$

Da qui in poi mi sono completamete bloccato e non so come procedere. Sto ceracando in rete da giorni ma non riesco a trovare nulla che mi aiuti.

da **DrCox** » 22 apr 2019, 22:41

DrCox ha scritto:Comincia con l'esprimere le derivate seconde come derivate prima di una variabile ausiliaria, in tal modo da ricondurti ad un sistema con solo derivate prime (ed ovviamente più variabili) che puoi portare in forma standard e per il quale scrivere le matrici A B C D.
...
Definisci: $x_3 = \dot{x_1}$ e $x_4 = \dot{x_2}$ , da cui segue $\dot{x_3} = \ddot{x_1}$ e $\dot{x_4} = \ddot{x_2}$
e vedi cosa salta fuori...

Hai provato?

da **ElMandrillo** » 23 apr 2019, 21:22

Ancora no. Pero facendo come mi hai consigliato vado solo ad incrementari il numero di variabili, non so se può funzionare, anche perché non trovo il vantaggio di avere tutte derivate prime.

da **IsidoroKZ** » 23 apr 2019, 21:38

Il vantaggio è che puoi scrivere il sistema in forma canonica, dove i coefficienti delle equazioni sono in una matrice i cui autovalori danno i poli del sistema.

da **g.schgor** » 24 apr 2019, 11:17

Ritenevo fosse chiaro che il post[11] era un esempio semplificato
per capire il metodo dei blocchi di calcolo.

Il sistema in esame è in equilibrio statico con M1 in x1(0) e M2 in x2(0)
e al tempo t=0 vengono azzerate le forze che mantengono questo equilibrio.
M1 ha un sistema di smorzamento (b) mentre ad M2 viene applicata una forza triangolare (u).
Fra le due masse agisce una forza $k \cdot (x2-x1)$ , per cui la configurazione
di calcolo è:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La simulazione dà questo risultato:

: MassaMolla2.gif (10.17 KiB) Osservato 1072 volte

da **g.schgor** » 28 apr 2019, 16:08

Quelli che pongono domande e poi spariscono
senza concludere l'argomento, non merierebbero risposte.

Per i molti visitatori del Forum che consultano i vari argomenti,
aggiungo però un'ulteriore possibile metodologia
di soluzione del problema: le differenze finite

Indicando con d la derivata prima e
con d2 la derivata seconda rispettivamente
di x1 e x2, e fissando il tempo di campionamento
$\Delta T=1ms$ , la procedura di calcolo
con Mathcad Express è:

: MassaMolla2df1.gif (25.21 KiB) Osservato 976 volte

: MassaMolla2df2.gif (19.93 KiB) Osservato 976 volte

ed il risultato:

: MassaMolla2df3.gif (27.35 KiB) Osservato 976 volte

da **ElMandrillo** » 29 apr 2019, 18:25

Ciao g.schogor,
non sono scomparso semplicmente ho lavorato tutto il week end e non ho avuto tempo di mettermi al computer. Al momento stavo seguendo la strada di IsidoroKZ visto che i ha detto che in questo modo potrei scrivermi il sistema nella forma canonica e finalmente da li potrei camminare con le mie gambe.

Il post di conseguenza non posso ancora chiuderlo perché ancora non è statà trovata una soluzione dettagliata (cioè un punto di partenza dove posso trovarmi la funzione di trasferimento ecc.) cosi come richiesto in ambito universitario(ed è anche la ragione per cui ho aperto il post)

IsidoroKZ potresti farmi vedere tu come dovrei fare?

da **DrCox** » 29 apr 2019, 18:45

DrCox ha scritto:Comincia con l'esprimere le derivate seconde come derivate prima di una variabile ausiliaria, in tal modo da ricondurti ad un sistema con solo derivate prime (ed ovviamente più variabili) che puoi portare in forma standard e per il quale scrivere le matrici A B C D.
...
Hai provato?

ElMandrillo ha scritto:Ancora no
...
non trovo il vantaggio di avere tutte derivate prime.

IsidoroKZ ha scritto:Il vantaggio è che puoi scrivere il sistema in forma canonica, dove i coefficienti delle equazioni sono in una matrice i cui autovalori danno i poli del sistema.

ElMandrillo ha scritto:ancora non è statà trovata una soluzione dettagliata ... cosi come richiesto in ambito universitario?

Hai già ricevuto tutte le indicazioni su come fare per risolvere il problema con i metodi standard dei corsi di teoria dei sistemi. Esprimi ad esempio quel problema passando alle derivate prime. Prima di lamentare l'assenza di consigli utili, abbi l'accortezza di leggere ed applica tutti i consigli che ti vengono dati. Questo vale nel forum come nella vita.

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