Esponenti frazionari e radici: una domanda

[GioArca67]

Sono d'accordo sui domini. Non fa una piega.

Ma dall'ultima risposta di Pietro mi sto accorgendo che punta con insistenza a considerare x^(4/6) come la composizione fra x^4 e x^⅙.
Io, forse sbagliando, lo vedo in quel modo solo incidentalmente: quel che ho è x^0,66666.....
Perché se siamo d'accordo che 2/3 e 4/6 sono due rappresentazioni equivalenti di uno stesso numero (razionale), cioè di un punto di un insieme, x^(2/3) e x^(4/6) non possono essere diversi.
In questo momento non so ancora quanto vale. Allora cerco delle regole per risolvere.
Se per effettuare il calcolo considero di passare per la composizione fra x^4 e x^⅙ invece che per x^2 e x^⅓ mi devo accorgere di avere domini intermedi diversi (me ne devo accorgere perché ad ogni passaggio devo controllare) e quindi che sopravviene una incongruità che occorre in qualche modo superare.
Se una delle due strade mi restringe le possibilità di soluzione per me è sbagliata.
Scusami per "Fammi un esempio concreto in cui mi devo "accontentare" di vedere ad esponente 4/6 e non posso ridurlo a 2/3." la formulazione mi è uscita effettivamente infelice, anche nei modi oltre che nella sostanza.

[Goofy]

Arrivo qui dall'altra discussione "che cosa è un numero"(viewtopic.php?f=7&t=87822#p936039).
Qui mi sembra più semplice, bisogna intendersi su 2/2: lo consideriamo un numero intero o razionale/reale?
(-1)^n è definito solo se n è naturale.

[PietroBaima]

Bene, di là finiremo per parlare di incompletezza di Godel e di qui della estensione analitica della funzione z di Riemann. Un successone!

Esistono modi più semplici per guadagnare un milione di dollari.

[PietroBaima]

Se una delle due strade mi restringe le possibilità di soluzione per me è sbagliata.

Non è sbagliata, è semplicemente più restrittiva.

Stai dicendo che f(x)=x/x è sbagliata perché il dominio non include x=0.

[GioArca67]

No, certo. Non per sé stessa.
Sto dicendo che ho preso una via sbagliata per il problema che ho in esame.

[GioArca67]

Qui mi sembra più semplice, bisogna intendersi su 2/2: lo consideriamo un numero intero o razionale/reale?

Vedi che qualcuno che non è matematico puro si pone una stessa domanda!
2/2 è un appartenente ai numeri razionali, ai numeri interi ed ai numeri naturali... (Visto che i secondi sono sottoinsiemi del primo e credo che pochi potranno dire che 2/2 non faccia 1)
Ma 2/2 e 1 rappresentano oggetti/concetti diversi o sono rappresentazioni diverse della stessa cosa?
Ho visto definizioni dei numeri razionali in cui p e q di p/q devono essere coprimi... quindi 4/6 deve cedere il passo a 2/3 ...
A mio modo di vedere (che è sicuramente sbagliato, ma per correggerlo devo capire dove è sbagliato) l'entità numero prescinde dalla sua rappresentazione e quindi 2/2 e 1 sono solo due modi diversi di indicare il medesimo oggetto (che vogliamo chiamare l'insieme che contiene l'insieme vuoto?). E se applico una funzione ad un determinato elemento, devo ottenere sempre lo stesso risultato a prescindere da come lo rappresento.

[PietroBaima]

Continuiamo a non capirci.

2/2=4/4=1

E allora?

Io sto parlando di funzioni e dei loro domini, non di numeri.

[GioArca67]

Che parli di funzioni è assolutamente chiaro.
Il perché le usi in questo contesto è misterioso.
La domanda iniziale era: quanto fa x^(2/2) sui reali per x negativo?
Abbiamo 3 possibilità:
2/2 = 1 -> , per ogni x anche negativo
2/2 = 2*½ ->
2/2 = ½*2 -> indefinita sui reali per x<0


Dov'è l'inghippo?

[PietroBaima]

Non c'è nessun inghippo.
Non hai capito che x^(2/2) è definita solo per x>0.
Se vuoi puoi estendere la funzione per x<0.
Puoi estenderla usando |x|, oppure x a seconda delle restrizioni che operi sul dominio.
Questo se vuoi limitarti a funzioni analitiche, cioè trasformazioni sul piano che conservano le derivate, rendendo le funzioni di classe C infinito.
Se rimuovi questo limite puoi estendere quella funzione con qualsiasi altra funzione, anche cos(x) se ti piace.

Ovviamente però hai cambiato la funzione, sostituendo la funzione originaria con una sua estensione.
Questo lo hai fatto in ogni caso, sia che tu scelga una estensione analitica, sia che tu ne scelga una arbitraria.

Usualmente si sceglie di estendere x^(2/2) con |x|, ma questa è solo una possibilità.
Si sceglie perché è analitica e perché è la composizione fra le funzioni che ha il dominio più ampio.
Non ci sono altre ragioni.

Con questo credo che possiamo chiudere il discorso.