Esponenti frazionari e radici: una domanda

[GioArca67]

l'essere critici nell'applicazione corretta del dominio di validità delle funzioni composte non è essere complicati quando non serve.

Non posso che essere completamente d'accordo

Se, come ha fatto l'OP, ci chiediamo come mai (-1)^(2/2) può non essere uguale a -1 allora significa che ci stiamo interrogando su qualcosa di fine, che merita una risposta adeguata.

Ed anche qui non posso non concordare.
Però il risultato che otterremo dall'indagine sarà dovuto alle particolari definizioni che assumeremo. Ed all'interpretazione che daremo ai vari segni e simboli.
E noi qui non siamo i primi...
Eulero già nel 1822 scriveva:

the square root of any number always has two values, one positive and the other negative; that √4 , for example, is both + 2 and - 2, and that, in general, we may take -√a as well as +√a for the square root of a

Peacock nel 1845 entrava in contraddizione proprio sulla doppia radice ed affermava sostanzialmente (leggendo le note) che a=±a

De Morgan invece si differenziava e proponeva nel 1837 di usare due simbologie diverse:

Having two symbols to indicate the root of a, namely, ͫ√a and a^(1/m), we shall employ the first in the simple arithmetical sense, and the second to denote any one of the algebraical roots, that is, any one we please, unless some particular root be specified. Thus √4 is 2, without any reference to sign; but (4)½ may be either +2 or – 2

tuttora si studia spesso (proprio come orientamento in alcune nazioni) in un modo che secondo le più moderne tendenze risulta impreciso, ciò che porta a errori e paradossi.
Molto è dovuto ad un errore di fondo proprio sulla scelta di dominio e codominio delle funzioni.
Quindi è corretto scrivere


questo ci permette di scrivere






Se però torniamo alla domanda iniziale, ovvero quanto vale io penso che l'OP non sia ancora soddisfatto.

Dobbiamo chiarire:
1) si può scrivere una tale espressione? o non ha senso perché ad es. -1 non appartiene al dominio
però attenzione

Devo dedurre che per te è assodato (stando magari anche qui a una definizione a cui tu fai riferimento) che ?

allora:
2) Una scrittura del genere (indipendentemente dalla base) deve sempre avere l'esponente prima semplificato (e quindi avere esponente 1, e quindi non dare problemi) oppure dobbiamo necessariamente trattarla così com'è, e quindi pensarla necessariamente come ? Nel caso di esponente e non con esponenti polinomiali fratti!!
3) I simboli e sono intercambiabili o effettivamente abbiamo dietro concetti diversi e quindi di fatto non sono del tutto intercambiabili, ma (a volte) sono uguali però nella pratica (sbagliata?) si usano a capocchia? E poi il simbolo √ in √4 ed in √a ha lo stesso significato?

[jaelec]

Se però torniamo alla domanda iniziale, ovvero quanto vale io penso che l'OP non sia ancora soddisfatto.

Sì non sono ancora soddisfatto ma non l'avevo ancora detto perché non ho ancora trovato il tempo per (sempre nei limiti concessi dai miei mezzi) studiare e capire meglio quello che è stato scritto.

Poi tanto per precisare:
A un certo punto ho anche semplificato chiedendo direttamente quanto vale ma inizialmente avevo chiesto se valesse x oppure valore assoluto di x e ho avuto due risposte contrastanti.

In realtà la domanda l'ho riproposta in varie salse per cercare di capire innanzitutto quali fossero le conclusioni chiare ed esplicite di certi ragionamenti per poter meglio seguire e comprendere i ragionamenti stessi.

[PietroBaima]

In realtà la funzione x e sono due funzioni diverse.
La prima è una estensione per x<0 della seconda.

La prima, per x<0, non ha senso, a rigore, per i vari ragionamenti che ho già esposto e sui quali ti invito a riflettere.

Ti prego di notare che x è UNA possibile estensione di .

Un'altra possibile estensione è |x|.

Quale delle due è meglio? Nessuna delle due.

perché è più usato |x|? semplicemente perché storicamente la scrittura usuale era , per cui si esegue prima il quadrato di x e la radice è la radice aritmetica e non geometrica.

Non a caso ho fatto l'esempio dei due polinomi di secondo grado che si semplificano ma lasciano il dominio "scoperto" in due punti.
Se decido di estendere quella funzione in quei due punti, essendo la prima lì non definita, posso decidere di assegnarle due valori assolutamente arbitrari .

Un solutore numerico, come ho cercato di evidenziare in [26] non è un buon metodo per avere una risposta.
Esso si limita ad applicare gli operatori nell'ordine specificato dalle parentesi o dal suo default interno.

Pietro

[GioArca67]

Vuoi dire che anche e sono diverse seppure 2/3 e 4/6 sembrano essere lo stesso numero?

Non ha alcuna nota polemica, solo per cercare di comprendere meglio.

[PietroBaima]

Certo, è esattamente quello che ho detto.
Capisco di essere molto rigoroso, ma dal punto di vista di dominio e codominio è così.
Il codominio della funzione parziale x^1/3 è diverso da quello di x^1/6.

So che non sei polemico, e questo non è uno scontro, ma un dibattito dove tutti cerchiamo di capirci di più.
Da parte mia ho solo volontà costruttive, ti assicuro, anche se talvolta "faccio le pulci" a tutto e su tutto.

[GioArca67]

Però così facendo sembra proprio che ti vuoi far tornare le cose!
Perché sei contro la minimizzazione dell'esponente?
2/3 e 4/6 rappresentano lo stesso numero

[PietroBaima]

Non sono affatto contro la minimizzazione dell'esponente.
Dico soltanto che x^(2/3) è una estensione della funzione x^(4/6), come è in realtà.
Controlla i domini delle funzioni parziali, vedrai che sono diversi.

[GioArca67]

Lo so, se consideri 1/3 e 1/6 a esponente, ma il punto è: perché devi considerare 1/3 e 1/6? E non 2/3 e 4/6 (che poi vale sempre 2/3).
Io sono d'accordissimo sul problema di domini e codomini delle funzioni composte come lo hai esposto prima.
Ma se ho x^(2/3) non vado a cercare artificiosamente, moltiplicando numeratore denominatore per 2, di esprimerlo come x^(4/6) ed uguagliarli fra di loro. Al contrario se ho x^(4/6) lo vado a semplificare.

Il problema che ho è che per me 2/3 e 4/6 sono la stessa medesima cosa perché rappresentazioni diverse dello stesso numero, per cui per me 4/6 ad esponente è come se non esistesse e ci fosse solo 2/3.
Detta in altro modo 4/6 non mi porta alcuna informazione aggiuntiva rispetto a 2/3.

2/3, 4/6, 6/9, 2*(⅓) sono modi equivalenti per scrivere un'unica entità: il numero 0,6666666....

Fammi un esempio concreto in cui mi devo "accontentare" di vedere ad esponente 4/6 e non posso ridurlo a 2/3.

[PietroBaima]

La richiesta di farti un esempio in cui ti devi accontentare di 4/6 invece di ridurlo a 2/3 non è corretta.

Mi spiego: se posso scegliere il dominio di una funzione cercherò di sceglierlo il più ampio possibile, non il viceversa.

Avevo fatto l'esempio di una funzione con un polinomio di secondo grado al numeratore e al denominatore, identici. Ovviamente quella funzione può semplificarsi in un'altra che è pari all'unità.

Nulla di male finché non consideriamo i domini, che scopriamo essere diversi. La funzione semplificata ha un dominio più ampio perché comprende anche i punti nei quali il denominatore della prima si annulla.

Quindi non devo accontentarmi della funzione non semplificata, semplicemente quella funzione è fatta così e basta e avrà il suo dominio.

x^(4/6) ha un dominio più restrittivo di x^(2/3).
Se posso, passo a considerare x^(2/3), altrimenti devo tenermi x^(4/6) perché quella è la funzione per come me l'hanno definita. Tutto qui.

Quando dici che 2/3 e 4/6 sono lo stesso numero hai ragione, ma non c'entra col nostro discorso.

Stai componendo due funzioni: f(x)=x^1/6 e g(x)=x^4 che formano h(x)=x^4/6
Per la discussione sui domini che ho già fatto devi considerare il dominio di f(x) e quello di g(x) in f.

Se tu consideri una nuova funzione k(x)=x^2/3 questa è equivalente ad h(x) in tutti i punti in cui h(x) esiste e anche in altri punti in cui h(x) non è definita.
k(x) è quindi una estensione di h(x) perché ha un dominio più ampio.

In generale tutte le funzioni del tipo x^a con a nei razionali sono esprimibili come frazioni, per cui vale il ragionamento che ti ho esposto.

Se a cade negli irrazionali esclusi i razionali il ragionamento sui domini si complica moltissimo ed è necessario parlare di trasformazioni conformi.

[EdmondDantes]

Ma è chiaro che nella definizione di funzione sono inclusi anche gli insiemi di definizione?
Due relazioni identiche ma con domini diversi non sono la stessa funzione.
Forse manca questo passaggio che dovrebbe essere chiaro studiando le funzioni anche e soprattutto dal punto di vista insiemistico.