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Testo esercizio non chiaro

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 apr 2020, 10:09

Secondo voi cosa sta chiedendo di fare?

Schermata 2020-04-02 alle 10.08.05.png


Testo: Zorich, Mathematical Analysis I, Springer.
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[2] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteMax2433BO » 2 apr 2020, 10:32

Se ho capito bene ti chiede di dimostrare che un numero intero in base 3, con cifre pari a 0, 1 o 2, sia uguale ad un numero intero in base 3 però con cifre pari a -1, 0, 1.

In pratica potresti dimostrare che nei due casi il corrispondente in base 10 è identico:

N_{10} = \sum_{i=0}^{n-1}{d_i\;r^i} = d_{n-1}\;r^{n-1} + d_{n-2}\;r^{n-2} + \ldots + d_2\;r^2 + d_1\;r^1 + d_0\;r^0

con

r = 3

e

d \in (0, 1, 2) \; oppure \; d \in (-1, 0, 1)

... poi, potrei essermi sbagliato... :mrgreen:

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[3] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 apr 2020, 11:19

Grazie Foto UtenteMax2433BO, secondo te qual è il senso profondo di questa richiesta? Cosa vuole mettere in luce? E' questo che ancora non capisco.

Forse il fatto che, nelle espressioni q-esimali, se non si rispetta il vincolo che ogni cifra sia \in\{0,1,...,q-1\}, allora non è più vero che la corrispondenza:

numero reale \leftrightarrow espansione q-esimale

è biunivoca :?:
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[4] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 apr 2020, 12:32

Ad ogni modo, l'esercizio in sé si risolve in un attimo sostituendo ogni occorrenza della cifra 2 con 3-1, incrementando opportunamente gli esponenti successivi dell'espansione.
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[5] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteMax2433BO » 2 apr 2020, 13:39

Ianero ha scritto:(...) Forse il fatto che, nelle espressioni q-esimali, se non si rispetta il vincolo che ogni cifra sia \in\{0,1,...,q-1\}, allora non è più vero che la corrispondenza:

numero reale \leftrightarrow espansione q-esimale

è biunivoca :?:


?%

:mrgreen: Scusa Foto UtenteIanero gli archivi della matematica nel mio cervello, ormai, sono pieni di polvere, tra l'altro non ricordo neanche se, ai tempi dei dinosauri, quello che tu mi chiedi facesse parte di un corso di matematica da istituto tecnico industriale...

... la mia risposta è scaturita perché ho da poco finito la prima parte dei miei articoli sui sistemi numerici nel "mondo digitale" e così ho riconosciuto che il testo parlava di due numeri in base 3...

... più in là, al momento, non so andare.

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[6] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 apr 2020, 14:03

Tranquillo, in ogni caso grazie di avermi aiutato O_uu_O
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[7] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteMax2433BO » 2 apr 2020, 14:04

... di nulla!!! :ok:
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[8] Re: Testo esercizio non chiaro

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 apr 2020, 15:10

Aggiungo un altro fatto curioso. Come prosecuzione dell'esercizio, il testo propone questo quesito:

qual è il maggior numero di monete da cui è possibile rilevare una contraffazione in tre pesate con bilancia, se si sa in anticipo solo che la moneta contraffatta differisce in peso dalle altre monete?

Intanto non capisco come sia collegato al punto precedente che abbiamo trattato nei messaggi sopra, ma ad ogni modo credo che la risposta sia: non c'è nessun numero massimo di monete. Se infatti abbiamo N monete di cui una è falsa (e quindi ha un peso differente dalle altre), basterà prenderne due a caso e pesarle separatamente:

1. se hanno un peso diverso abbiamo già rilevato la presenza di una contraffazione;
2. se hanno stesso peso, procediamo con la terza pesata, pesandole tutte. Il risultato della terza pesata può essere N\times peso della singola moneta prima pesata, oppure un valore diverso. In quest'ultimo caso abbiamo rilevato contraffazione.


Ho interpretato male io la traccia?

PS: in lingua originale era... what is the largest number of coins from which one can detect a counterfeit in three weighings with a pan balance, if it is known in advance only that the counterfeit coin differs in weight from the other coins?
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