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Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utentejayeffe » 1 apr 2020, 17:11

Salve a tutti, sto studiando i metodi di Eulero. Volevo capire dal punto di vista grafico il motivo di S1 ed S2.

So che il metodo mi serve per approssimare l'area sottesa tra i due campioni con l'area di un rettangolo .
Non capisco il significato di S1 ed S2.

30395a780f185aa4b78ed5463d46ca39.jpg


devo considerare S1 come l'area effettiva che mi rappresenta il rettangolo?

Per quanto riguarda il colore blu di S1 viene detto che l'area sottesa al segnale viene approssimata con l'area di un rettangolo e ciò equivale ad approssimare la derivata con il rapporto incrementale all'avanti. di cui \frac{1-z^{-1})}{Tz^{-1}} è l'indicatore nel dominio della z trasformata

Quindi S2 cosa mi rappresenta?
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[2] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 2 apr 2020, 8:33

S1 ed S2 sono i valori della curva rispettivamente ai tempi (k-1)T e kT.
L'area del rettangolo colorato è S1\cdotT.

Sommando i valori di queste aree (fra due valori di k )
si ottiene l'area approssimata della curva
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[3] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utentejayeffe » 2 apr 2020, 12:50

Quindi S1 e S2 corrispondono a dei valori numerici.
L'unica cosa che non mi trovo: se approssimo l'area sottesa alla curva quindi tra i due valori S1 ed S2, con l'area di un rettangolo, tutto ciò corrisponde effettivamente al rettangolo che descrivo S1T
la restante Parte al di fuori del rettangolo? sarebbe s2T è una parte che perdo?
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[4] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 2 apr 2020, 16:51

Si, pero se T è piccolo, la perdita è trascurabile
vediamo con un esempio: l'area di una parabola
y=t^2 per t da 0.5 a 1

Area=\int_{0.5}^{1} t^2\, dt=\frac{1^3}{3}-\frac{0.5^3}{3}=0,292

con Eulero
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si ha una scarsa approssimazione con N piccolo .
Già con N=100 si ottiene 0.295
Con N=1000 si ottiene 0.292
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[5] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 2 apr 2020, 18:07

Prendere la media fra S1 ed S2 è una bella tentazione, credo che alcuni metodi in sostanza facciano così ma non senza altri inconvenienti.
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[6] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utentejayeffe » 2 apr 2020, 18:27

Per quello che sto studiando Osservo che quello più conveniente è Tustin
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[7] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 2 apr 2020, 18:34

Sì, il metodo del trapezio è più approssimato (ma richiede più operazioni)

ps- Tustin? perché non lo spieghi?
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[8] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utentejayeffe » 2 apr 2020, 18:36

Quindi Potremmo dire che con il metodo del trapezio posso considerare tutta l'area sottesa? mentre con i metodi di Eulero avrò una perdita, seppure piccola considerando che si campiona nell'ipotesi del teorema di shannon.
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[9] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 2 apr 2020, 18:41

Mi sembra tu faccia confusione fra matematica e teoria dell'informazione...
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[10] Re: Discretizzazione Eulero in avanti e Eulero all'indietro

Messaggioda Foto Utentejayeffe » 4 apr 2020, 19:47

Comunque giusto per vedere se ho ben capito.
l'area è sempre data da S1 *T + S2*T corrispondente al valore dei due campioni ai due istanti.

Guardando l'immagine ad esempio se prendo 1.5<t<2

la mia area sarà data da S1 * T * x(k-1)T a cui devo sommare S2 * T * x(k-1)T? oppure devo considerare solo S1?

Inoltre se ad esempio prendo altri due istanti ad esempio tra 2.5 e 3 considero anche la parte non sottesa alla curva.

Quindi non mi trovo, sembra che in alcuni casi perdo qualcosa e non considero tutta l'area sottesa e in altri casi considero anche l'area non sottesa
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