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Svaghiamoci un po'

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[11] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto Utentelillo » 27 mar 2020, 11:57

e mentre provo inutilmente a risolvere il problema in [1], provo a dare un input per il problema in [6]:

n\times 0=n\times (0+0)= ......
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[12] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteIanero » 27 mar 2020, 12:20

Grazie Foto Utentelillo di interessarti :-)
Se ti fa piacere, ti faccio vedere come l'ho approcciato io (altrimenti non leggere questo messaggio da qui in poi :mrgreen: ).

Chiamiamo E=\{n\in\mathbb{N}| \text{l'asserto è vero }\forall k\leq n\}.
Per l'assioma di associatività della somma in \mathbb{R}, abbiamo che (x_1+x_2)+x_3=x_1+(x_2+x_3)\implies 3\in E.
Supponiamo che n\in E, ovvero che \sum_{k=1}^n x_k sia indipendente dalla disposizione delle parentesi, e verifichiamo se n+1\in E. Fissata la prima, tra le n addizioni da svolgere:

x_1+x_2+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n+x_{n+1}

il risultato sarà univocamente determinato, poiché per ipotesi induttiva le successive parentesi saranno ininfluenti (dopo aver fissato la prima somma (x_i+x_{i+1} ), ciò che resta è una somma di soli n addendi).
Supponiamo per assurdo che due diverse scelte dell’addizione iniziale diano due risultati diversi:

S_1=x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n+x_{n+1}
S_2=x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n+x_{n+1}
S_1\neq S_2

Prendiamo in considerazione per il momento solo le scelte iniziali che non contengano x_{n+1}.
Siccome per ipotesi induttiva è possibile distribuire le successive parentesi a piacimento, possiamo scrivere:

S_1=[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n ]+x_{n+1}
S_2=[x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n ]+x_{n+1}

Se S_1\neq S_2\implies S_1-x_{n+1}\neq S_2-x_{n+1}\implies

[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n]+x_{n+1}+(-x_{n+1} )\neq
\neq[x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1})+...+...+x_n]+x_{n+1}+(-x_{n+1})

che è, per entrambi i membri, la somma di tre addendi. Poiché 3\in E, posso equivalentemente scrivere che:

[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n ]+[x_{n+1}+(-x_{n+1} ]\neq
\neq [x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n ]+[x_{n+1}+(-x_{n+1})]

[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n ]\neq [x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n ]

che è assurdo per ipotesi induttiva.
La dimostrazione fin qui condotta non è valida nel caso in cui si prendono in considerazione, per l’ipotesi per assurdo, scelte iniziali che contengano x_{n+1}. Nel caso in cui una tra le due sia proprio (x_n+x_{n+1}), come facciamo? :-P
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[13] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteMonkeyDRufy » 27 mar 2020, 16:18

Io avrei trovato questa soluzione:

Ipotizziamo vero per n-1 e consideriamo la somma di n reali:

a_1 +... + a_n

Mettiamo le parentesi in modo casuale (spezzando in 2 la serie)

S_1 = (a_1 +... +a_i) + (a_{i +1} +... a_n)

S_2 = (a_1 +... +a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + a_{i+1} +... +a_n)

Ovviamente si può porre a_i nell'addendo di destra o sinistra senza ledere di generalità.

Ora abbiamo S_1  = H + K
Ed S_2 = (a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + K) che è uguale ad (a_1 +... + a_i) + K = H+K
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[14] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteIanero » 27 mar 2020, 17:17

MonkeyDRufy ha scritto:Ora abbiamo S_1  = H + K
Ed S_2 = (a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + K) che è uguale ad (a_1 +... + a_i) + K


E come fai a dirlo? E' quello che devi dimostrare nel caso n, hai utilizzato la tesi come ipotesi.
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[15] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteMonkeyDRufy » 27 mar 2020, 17:33

Ianero ha scritto:
E come fai a dirlo?


Perché ho supposto valido per n-1
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[16] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteIanero » 27 mar 2020, 17:40

Ma in quella somma dove hai riarrangiato le parentesi (S_2) ce ne sono n di termini, non n-1.
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[17] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteMonkeyDRufy » 27 mar 2020, 17:53

Non ti seguo, l'unico caso per cui la somma rimane di n termini è quando K = a_n ma anche in questo caso si può facilmente aggirare l'ostacolo prendendo a modello S_2 piuttosto che S_1 e vice versa
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[18] Re: Svaghiamoci un po'

Messaggioda Foto UtenteIanero » 27 mar 2020, 17:56

Quando scrivi questo:

MonkeyDRufy ha scritto:Ora abbiamo S_1  = H + K
Ed S_2 = (a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + K) che è uguale ad (a_1 +... + a_i) + K


Stai dicendo che questo:

(a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + a_{i+1}+...+a_n)

è la stessa cosa di questo:

(a_1 +... + a_k + a_{k+1} +... + a_i) + (a_{i+1}+...+a_n)

che è esattamente quello che devi dimostrare, perché hai redistribuito le parentesi su una somma di n termini, e nessuno ti garantisce che lo puoi fare senza che il risultato cambi.
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