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Densità probabilità discreta

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[1] Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto UtenteMaranza » 11 mar 2020, 20:02

Buonasera a tutti,

Ho questo problema di modellizzazione in cui, semplificando, devo stimare la probabilità di almeno k successi in N prove indipendenti ognuna delle quali però ha probabilità di successo ben definita ma diversa dalle altre e quindi non posso usare la binomiale come distribuzione di probabilità.

Il problema è che non posso nemmeno considerare tutti le possibili combinazioni e costruire la distibuzione di probabilità per k < k_{max} perché mi ritroverei con \binom{N_{max}=600}{k_{max}=10} combinazioni che sono tantine.

Qualcuno ha qualche suggerimento per il calcolo/costruzione/approssimazione della distribuzione discreta di probilità?

Spero che mi stia sfuggendo qualcosa :roll:

Grazie!
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[2] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 13 mar 2020, 0:16

Un approccio monte carlo è fuori discussione? Se non devi ottenere la distribuzione simbolica esatta puoi approssimarla facilmente in questo modo.
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[3] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto UtenteMaranza » 13 mar 2020, 11:21

Ciao fairyvilje,

Sto costruendo questo modello proprio per evitare un approccio Montecarlo che richiede tempi di simulazione molto lunghi essendo che è un modello su cui fare sweep parametrici in cui la probabilità cambia di volta in volta.

Comunque per ora sto approssimando il tutto con la distribuzione binomiale dato che la probabilità di successo è piuttosto costante a parte un picco( molto stretto rispetto allo spazio delle prove) che può essere pronunciato o meno. Per i casi che ho simulato fin ora questa approssimazione semba fittare bene le simulazioni e per ora sono soddisfatto.

Se mi ritrovo con dei risultati assurdi torno a chiedere qua! O_/

Grazie mille counque.
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[4] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 13 mar 2020, 11:46

Nel caso posta più informazioni sui trial processes che stai eseguendo. Se clusterizzano o si distribuiscono in modo regolare questo ha un impatto importante sulle strategie di approssimazione.
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[5] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto Utentetonnoto » 13 mar 2020, 18:23

La descrizione è un po' criptica. Comunque sembrerebbe una distribuzione di Poisson al variare di Lambdat
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[6] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto UtenteMaranza » 14 mar 2020, 18:49

Ho queste 600 prove con probabilità variabile come da grafico sotto, a me servirebbe calcolare, dato un certo istante di tempo, qual è la probabilità che ci siano stati tot successi nelle precedenti prove.



spero di essere stato più chiaro :ok:
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[7] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto Utentetonnoto » 14 mar 2020, 21:12

Maranza ha scritto:Ho queste 600 prove con probabilità variabile come da grafico sotto, a me servirebbe calcolare, dato un certo istante di tempo, qual è la probabilità che ci siano stati tot successi nelle precedenti prove.


Nel grafico non fai accenno al tempo.
tagliamo la testa al toro:
Cosa sai delle singola prova?, una delle 600
Cosa intendi per probabilità variabile? del successo singolo n o del gruppo ripetuto di 600
Per istante tempo intendi tempo relativo a fine 600 o intermedio a n generico di 600?
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[8] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto UtenteMaranza » 15 mar 2020, 10:50

Ciao Foto Utentetonnoto,

Il tempo "t" è l'asse x come si vede dal grafico. (ma si può anche evitare di pensare al tempo, pensala come una successione di n prove)

Della singola prova so la probabilità di successo che evolve dalla prima all'ultima prova come descritto dal grafico.

La probabilità variabile è quella della singola prova.

Ripetendola domanda che ho fatto senza menzionare il tempo sarebbe:
Voglio sapere la probabilità di almeno k successi nelle n prove precedenti scorrendo dalla prima all'ultima.

Grazie ancora
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[9] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto Utentetonnoto » 15 mar 2020, 18:27

Spero di aver capito.
Innanzitutto occorre definire cosa si intende per "successi", infatti i livelli di probabilità connessi alle singole posizioni (1/600), richiedono che si stabilisca un livello minimo o un intervallo per definire il "successo" e quindi l'evento; presupponendo l'indipendenza dei livelli di probabilità relativi alle posizioni singole, la distribuzione normale è applicabile. E' chiaro quindi che il numero di successi è in relazione a quanto sopra.

Adesso si può passare alla domanda: la probabilità di k eventi.
Spesso si adopera la distribuzione di Poisson per stabilire la probabilità che un campione di n posizioni. (estratte casualmente da una popolazione anche molto più ampia), contenga esattamente k eventi.
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

1)

P {\left( k ,n \right) }=\frac{{e }^{-\frac{n }{m }}{{\left( \frac{n }{m }\right) }}^{k }}{k ! }

dove n è l'ampiezza del campione, m è la distanza media tra gli eventi nella popolazione, k il numero di eventi di cui si desidera conoscere la probabilità di presenza nel campione.
Il tuo è un caso particilare, infatti n (600) è contemporaneamente sia il campione che la popolazione, quindi

2)

m =\frac{n }{n e }

per cui

3)

P {\left( k ,n \right) }=\frac{{e }^{-n e }{{\left( n e \right) }}^{k }}{k ! }

dove ne è il numero di eventi medio.

Potrei sbagliare, ma non credo che ti interessi la probabilità di "esattamente", k eventi.

4)

P {\left( 0 ,n \right) }={e }^{-n e }

P {\left( \neq 0 ,n \right) }={\left( 1 -{e }^{-n e }\right) }

siccome k! con k=0, per cnvenzione, è uguale a 1, la prima equazione fornisce la probabilità pe k=0;
la seconda fornisce la probabilità per k da 1 a inf .
Credo che la seconda della 4) sia quella che cerchi.

Comunque la distribuzione di Poisson ha queste caratteristiche ed è quindi facilmente ricostruibile

5)

m e d i a =n e

v a r i a n z a =n e

s c a r t o =\sqrt{n e }

inoltre, se ricordo bene, per n>25 la distribuzione di Poisson è pressochè indistinguibile da quella normale.

Se invece vuoi la probabilità da k a inf, dovrai sottrarre a 1 la somma delle equazioni 3) da k=0 a (k-1).
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[10] Re: Densità probabilità discreta

Messaggioda Foto UtenteMaranza » 15 mar 2020, 18:42

Ciao tonnoto!
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.

Si diciamo che io ho tracciato un grafico continuo che rappresenta la probabilità di successo discreta dell'i-esima prova.

Non ho capito bene da dove hai tirato fuori il punto 2)
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