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risposta forzata TC

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

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[11] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto Utenteaisha » 30 gen 2010, 11:32

va bene..dammi almeno la soluzione cosi'vedo se riesco a ottenere il tuo risultato!
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[12] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 30 gen 2010, 12:31

Questo è quanto mi risulta in MathCad:
aisha.GIF
aisha.GIF (5.19 KiB) Osservato 1991 volte

La linea blu è la funzione forzante, quella rossa il risultato
(nettamente instabile!).
Le condizioni iniziali assunte sono y=0,  \dot{y}=0
Se vuoi, posso inviare dettagli della procedura.
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[13] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 gen 2010, 15:50

Non riesco a capire perché non risolverla "normalmente" ... comunque per la serie complicazione equazioni semplici :D
Ricaviamo il corrispondente sistema dinamico ... e partendo dalla soluzione dell'equazione omogenea, come sai, dovrai trasformare l'equazione

\ddot{y}+c\dot{y}+ky=0

nel seguente sistema

\left\{ \begin{align}
  & \dot{y}=z \\ 
 & \dot{z}=-cz-ky \\ 
\end{align} \right.

ottenendo

\frac{d}{dt}\left( \begin{matrix}
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -k & -c  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   y  \\
   z  \\
\end{matrix} \right)\,\,\,\to \,\,P\left( \lambda  \right)=\det \left( \begin{matrix}
   -\lambda  & 1  \\
   -k & -c-\lambda   \\
\end{matrix} \right)=\lambda ^{2}+c\lambda +k=0


\Delta =c^{2}-4k\,\,\,<0\,\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,\,\lambda =-\sigma \pm j\omega

dove
\sigma =\frac{c}{2}=\frac{1}{4},\,\,\,\,\omega =\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}=\frac{\sqrt{4k\,-c^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}

ottenendo ... come noto ... e risparmiandoti la dimostrazione

\left\{ \begin{align}
  & y(t)=e^{-\sigma t}[K_1\cos (\omega t)+K_2\sin (\omega t)] \\ 
 & z(t)=e^{-\sigma t}[(-\sigma K_1+\omega K_2)\cos (\omega t)+(-\sigma K_2-\omega K_1)\sin (\omega t)] \\ 
\end{align} \right.

e nel nostro caso interessa ovviamente solo y(t) in quanto z(t) non è altro che la sua derivata :wink:
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[14] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto Utenteaisha » 30 gen 2010, 17:43

Renzo il tuo procedimento è quello che ho già fatto...ho calcolato gli autovalori (la risposta libera non la chiedeva siccome non da condizioni iniziali).Il problema arriva ora che vuole la risp analitica al segnale u(t) che ho scritto nella traccia... :roll: mi sai aiutare?

PS.Schgor grazie se m mandi anche il procedimento è meglio!
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[15] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 gen 2010, 18:26

Per l'ntegrale particolare direi che è sufficiente ricercare una soluzione nella forma

y_{P}(t)=A\sin (4t)+B\cos (4t)+C

che sostituita nell'equazione differenziale porta a

-16A\sin (4t)-16B\cos (4t)+4A\cos (4t)-4B\sin (4t)+A\sin (4t)+B\cos (4t)+C=1+3\sin (4t)

e quindi

\left\{ \begin{align}
  & -16A-2B+A=3 \\ 
 & -16B+2A+B=0 \\ 
 & C=1 \\ 
\end{align} \right.\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,\left\{ \begin{align}
  & A=-\frac{45}{229}\approx -0,197 \\ 
 & B=-\frac{6}{229}\approx -0,0262 \\ 
 & C=1 \\ 
\end{align} \right.

concludendo

y_{P}(t)=1-0,197\sin (4t)-0,0262\cos (4t)

sommando con l'integrale generale
y(t)=e^{-\sigma t}[K_{1}\cos (\omega t)+K_{2}\sin (\omega t)]

otterremo

y_{P}(t)=e^{-\sigma t}[K_{1}\cos (\omega t)+K_{2}\sin (\omega t)]+1-0,197\sin (4t)-0,0262\cos (4t)

se supponiamo di considerare le condizioni iniziali ... potremo ricavare K1 e K2

\left\{ \begin{align}
  & y(0)=0=K_{1}+1-0,0262\,\,\,\to \,\,\,\,K_{1}=-0,974 \\ 
 & \dot{y}(0)=0=-\frac{K_{1}}{4}+0,968K_{2}\,\,\,\,\to \,\,\,K_{2}=+0,562 \\ 
\end{align} \right.

e scrivere finalmente .... il risultato
y_{P}(t)=e^{-0,25t}\left( -0,974\cos \left( \frac{\sqrt{15}}{4}t \right)+0,562\sin \left( \frac{\sqrt{15}}{4}t \right) \right)+1-0,197\sin (4t)-0,0262\cos (4t)

non ci rimane che controllare :mrgreen:
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[16] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 30 gen 2010, 18:28

Lo svolgimento in MathCad è questo:
aisha1.GIF
aisha1.GIF (2.64 KiB) Osservato 1933 volte

aisha2.GIF
aisha2.GIF (4.34 KiB) Osservato 1934 volte


Poiché mi sono accorto di avere prima preso c e k con segno contrario,
la nuova soluzione (stavolta stabile) è:
aisha3.GIF
aisha3.GIF (7.61 KiB) Osservato 1934 volte

Mi scuso per la svista!
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[17] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 gen 2010, 19:39

Ecco la simulazione con wxMaxima

sim wxMaxima.png
sim wxMaxima.png (16.15 KiB) Osservato 1914 volte
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[18] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 30 gen 2010, 23:29

Riguardando la mia procedura MathCad ho riscontrato una seconda svista:
nel secondo termine dell'espressione di y2 c'è un s in più.
Corretto quello, il risultato coincide con quello di Renzo.
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[19] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 30 gen 2010, 23:41

Ti posso indicare il procedimento con Laplace fatto a mano (pero` devi avere la tabella delle trasformate).

Visto che l'equazione e` lineare la divido in due parti separando il termine forzante, preferisco fare due conti semplici che uno complicato, ma e` questione di gusti.

\ddot{y}+.5\dot{y}+y=1(t) e \ddot{y}+.5\dot{y}+y=3\sin(4t)\cdot 1(t)

Passo alla trasformata di Laplace. Non essendoci condizioni inziali la trasformata della derivata e` semplicemente una moltiplicazione per s, la trasformata di y diventa Y

s^2 Y+.5s Y+Y=\frac{1}{s} e per il secondo pezzo di equazione s^2 Y+.5s Y+Y=3\frac{4}{s^2+16}

Se ci fossero state condizioni iniziali si avrebbe avuto s^2 Y-sy(0)-\dot{y}(0)+.5(s Y-y(0))+Y=...

Adesso ricavo Y e si ottiene

Y=\frac{1}{s(s^2+.5s+1)} e per il secondo pezzo Y=\frac{12}{(s^2+16)(s^2+.5s+1)}

Scompongo in fratti semplici il primo termine, cerco cioe` A, B e C tali che

\frac{1}{s(s^2+.5s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+.5s+1}=\frac{s^2(A+B)+.5s(A+2C)+A}{s(s^2+.5s+1)}

Uguagliando i numeratori si ottiene immediatamente A=1 e poi B=-A=-1 e infine C=-\frac{A}{2}=-\frac{1}{2}. La scomposizione e` quindi Y=\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{2}}{s^2+.5s+1}=\frac{1}{s}-\frac{2s+1}{2s^2+s+2}

Per il secondo pezzo di equazione si procede in modo analogo con la scomposizione in fratti semplici:

Y=\frac{12}{(s^2+16)(s^2+.5s+1)}=12\left(\frac{A s+B}{s^2+16}+\frac{C s+D}{s^2+.5s+1}\right)=

=12\frac{s^3(A+C)+s^2(.5A+B+D)+s(A+.5B+16C)+(B+16D)}{(s^2+16)(s^2+.5s+1)}

Uguagliando i coefficienti, dal primo si ricava che C=-A, sostituendo nel terzo si ha B=30A, sostituendo nel secondo si ottiene D=-30.5A e infine dall'ultimo coefficiente 30A+16(-30.5A)=1 da cui

A=-\frac{1}{458}\qquad B=-\frac{15}{229}\qquad C=\frac{1}{458}\qquad D=\frac{61}{916}

e quindi la scomposizione viene

Y=12\cdot\frac{1}{916}\left(-\frac{2 s+60}{s^2+16}+\frac{2 s+61}{s^2+.5s+1}\right)=\frac{3}{229}\left(-2\frac{ s+30}{s^2+16}+\frac{4 s+122}{2s^2+s+2}\right)

Nelle due soluzioni parziali c'e` un termine di gradino \frac{1}{s}, un termine sinusoidale che scompongo nelle trasformate di coseno e seno

-\frac{6}{229}\,\frac{s+30}{s^2+16}=-\frac{6}{229}\left(\frac{s}{s+16}+7.5\frac{4}{s^2+16}\right)

La parte di gradino e sinusoidale viene come a sua Maesta` Renzo I DF

Infine in entrambe le parti di soluzione c'e` un termine che rappresenta la risposta propria, smorzata oscillante:

-\frac{2s+1}{2s^2+s+2}+\frac{3}{229}\,\frac{4 s+122}{2s^2+s+2}=\frac{1}{229}\,\frac{137-446s}{2s^2+s+2}

Chissa` quanti errori ho fatto di calcolo, copiatura e battitura!
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
Plug it in - it works better!
Il 555 sta all'elettronica come Arduino all'informatica! (entrambi loro malgrado)
Se volete risposte rispondete a tutte le mie domande
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[20] Re: risposta forzata TC

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 gen 2010, 23:57

E per finire ...

1 BRAVO a Isidoro per il Gran lavoro fatto =D>

ma ... se non la finisce di prendermi in giro ... gli metto lo zucchero nel serbatorio del turboelica :!: :mrgreen:

Sempre con wxMaxima ... io son pigro \:D/

Laplace z1.png
Laplace z1.png (27.47 KiB) Osservato 1812 volte


e infine

Laplace z2.png
Laplace z2.png (9.67 KiB) Osservato 1811 volte


adesso mi sembra che siamo tutti d'accordo :D
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