ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 4 ago 2024, 10:46

Ora ho capito la domanda, scusa la lentezza...
Ho provato a fare i conti e mi viene che i punti di intersezione di tutte le "sfere massime", nel caso a 4 dimensioni, sono ancora soltanto 2. Vedi se ti piace questa dimostrazione che ti riporto.

Partiamo dal caso della sfera bidimensionale immersa nello spazio tridimensionale, e facciamo tutto a raggio unitario tanto non conta niente:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos \phi \\ \cos\theta \sin\phi \\ \sin\theta \end{bmatrix}$
Prendiamo, per fare le cose facili, il cerchio equatoriale, cioé $\theta=0$ e $\phi$ libero:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi \\ \sin\phi \\ 0 \end{bmatrix}$
A questo punto prendiamo l'asse x come perno e ruotiamo il cerchio equatoriale per tutti gli infiniti possibili angoli $\gamma$ intorno a quel perno:
$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& \cos\gamma & -\sin\gamma \\ 0& \sin\gamma & \cos\gamma \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \phi \\ \sin\phi \\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \phi \\ \cos\gamma\sin\phi \\ \sin\gamma\sin\phi \end{bmatrix}$
Da questa espressione possiamo capire che, qualsiasi sia $\gamma$ , i punti corrispondenti a $\sin\phi=0$ sono sempre presenti. Essi sono i due punti $\phi=0,\pi$ , ovvero $\begin{bmatrix} \pm 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix}$ .

Ora facciamo tutto questo gioco in 4 dimensioni, in cui come parametrizzazione usiamo:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\psi\cos\theta \cos \phi \\ \cos\psi\cos\theta \sin\phi \\ \cos\psi\sin\theta \\ \sin\psi \end{bmatrix}$
Prendiamo la "sfera equatoriale" ( $\psi=0$ , $\theta$ e $\phi$ liberi):
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos \phi \\\cos\theta \sin\phi \\ \sin\theta \\ 0 \end{bmatrix}$
Usiamo sempre l'asse x come perno e ruotiamo (stavolta la rotazione è a due angoli perché stiamo ruotando un oggetto tridimensionale, ma poco importa, scriverò la matrice in forma generica; ti basta immaginare che ogni termine è una combinazione di seni e coseni e che il suo determinante deve fare 1):
$\begin{bmatrix} 1 &0 &0&0 \\ 0& r_{11} & r_{12}& r_{13} \\ 0& r_{21} & r_{22}& r_{23}\\ 0& r_{31} & r_{32}& r_{33}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta \cos \phi \\\cos\theta \sin\phi \\ \sin\theta \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos \phi \\ r_{11}\cos\theta \sin\phi + r_{12}\sin\theta \\ r_{21}\cos\theta \sin\phi + r_{22}\sin\theta \\ r_{31}\cos\theta \sin\phi + r_{32}\sin\theta \end{bmatrix}$
da cui capiamo che, qualsiasi siano i termini della matrice di rotazione, i punti corrispondenti a $\sin\theta=0$ e $\sin\phi=0$ (queste condizioni devono verificarsi contemporaneamente) sono sempre presenti. Essi sono di nuovo soltanto due punti, nel particolare $\begin{bmatrix} \pm 1 \\ 0 \\0 \\0 \end{bmatrix}$ .

da **EcoTan** » 5 ago 2024, 8:20

Ti ringrazio molto, e sono "senza parole".
Dunque (prescindendo dall'espansione e altre diavolerie fisiche) esiste, ed ha (potrebbe avere) un nome, il punto opposto della nostra Terra?

da **PietroBaima** » 5 ago 2024, 10:52

Ianero ha scritto:Ho provato a fare i conti ...

Bravo

da **Ianero** » 6 ago 2024, 7:33

EcoTan ha scritto:Ti ringrazio molto, e sono "senza parole".
Dunque (prescindendo dall'espansione e altre diavolerie fisiche) esiste, ed ha (potrebbe avere) un nome, il punto opposto della nostra Terra?

E di che.
Perché Polo Sud non ti piace?

PietroBaima ha scritto:Bravo

da **EcoTan** » 6 ago 2024, 9:00

Sì mi piace, è l'idea che esista questo "gemellaggio" fra due poli, che mi pare strana. Comunque avviene a una distanza talmente enorme che rimane soltanto teorico.

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