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Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte lineare

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte lineare

Messaggioda Foto Utentecianfa72 » 4 giu 2021, 17:00

Ciao a tutti,
facendo seguito alla discussione postata qui ho provato a sviluppare l'esempio in figura.

Capture.JPG
rete di esempio

In pratica si tratta di una rete costruita ad hoc (con generatori controllati) accessibile da 4 morsetti per la quale ho provato a calcolare la rappresentazione 2-porte generale in forma matriciale AV + BI = 0.

Se ho fatto bene i conti dall'eliminazione delle variabili interne vengono fuori ben 3 equazioni lineari omogenee indipendenti nelle variabili di porta V1,I1,V2,I2.

Nei vari libri di elettrotecnica ho sempre trovato scritto che una rete 2-porte lineare senza eccitazioni interne ammette sempre la rappresentazione AV + BI = 0 con A e B matrici 2x2 in cui eventualmente le 2 equazioni possono risultare tra loro linearmente dipendenti.

In questo esempio sembrerebbe invece che la rappresentazione e' costituita da 3 equazioni linearmente indipendenti tra loro.

Cosa ne pensate ? Grazie.
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[2] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 5 giu 2021, 11:15

Penso che sia una rete patologica. :mrgreen:

Da dove arriva?
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[3] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto Utentecianfa72 » 5 giu 2021, 16:31

RenzoDF ha scritto:Penso che sia una rete patologica. :mrgreen:
Da dove arriva?

Come dicevo l'ho "costruita" ad hoc per trovare un controesempio di quanto affermato nei libri di elettrotecnica che ho avuto modo di consultare.

Anche se "patologica" di fatto non mi sembra "assurda" nel senso che da un punto di vista algebrico e' correttamente definita, ammette infinito a 1 soluzioni (in funzione del parametro interno V_E) ed ha una rappresentazione generale "esterna" costituita da 3 equazioni lineari omogenee e indipendenti :shock:
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[4] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 5 giu 2021, 17:03

cianfa72 ha scritto:... ho sempre trovato scritto che una rete 2-porte lineare senza eccitazioni interne ammette sempre la rappresentazione AV + BI = 0 con A e B matrici 2x2 ...

Da quel che ricordo, "... sempre che abbia una unica soluzione".

... mentre la tua ne ha infinite.
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[5] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto UtenteMarkyMark » 5 giu 2021, 17:04

cianfa72 ha scritto:Nei vari libri di elettrotecnica ho sempre trovato scritto che una rete 2-porte lineare senza eccitazioni interne ammette sempre la rappresentazione AV + BI = 0 con A e B matrici 2x2...


Io ho trovato A = \begin{bmatrix}
1 & 0\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}

e

B = \begin{bmatrix}
-\frac{R}{K_E + 1} & 0\\ 
0 & \frac{K_C}{K_D}
\end{bmatrix}

dove B sarebbe la matrice Z cambiata di segno. Torna?

Non mi è molto chiaro cosa intendi con
cianfa72 ha scritto:ha una rappresentazione generale "esterna" costituita da 3 equazioni lineari omogenee e indipendenti


Aggiunta: in pratica è come se avessi combinato le righe 2 e 3 della tua matrice eliminando la V_1
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[6] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto Utentecianfa72 » 5 giu 2021, 17:53

Di seguito il sistema di equazioni risolvente (spero si legga :shock: ): si tratta di un sistema lineare omogeneo di 14 equazioni in 16 incognite.

20210605_174018.jpg
Sistema risolvente

Svolgendolo si trova che la matrice risolvente ha rango 3 pertanto il sistema ha 3 equazioni omogenee linearmente indipendenti.
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[7] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto Utentecianfa72 » 5 giu 2021, 17:59

MarkyMark ha scritto:Aggiunta: in pratica è come se avessi combinato le righe 2 e 3 della tua matrice eliminando la V_1

Si certo puoi sostituire alla riga 2 oppure alla 3 una loro combinazione lineare tuttavia il fatto che la soluzione del circuito abbia una matrice risolvente di rango 3 non cambia.
Ultima modifica di Foto Utentecianfa72 il 5 giu 2021, 18:06, modificato 1 volta in totale.
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[8] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto Utentecianfa72 » 5 giu 2021, 18:06

RenzoDF ha scritto:Da quel che ricordo, "... sempre che abbia una unica soluzione".
... mentre la tua ne ha infinite.

Ecco bene, cosi mi torna: in pratica la condizione sull'unicita' della soluzione equivale a chiedere che l'eliminazione di Gauss delle variabili interne proceda eliminando una sola variabile per equazione.

Onestamente nei vari libri di elettrotecnica che ho consultato non ho trovato riferimento esplicito alla condizione di soluzione unica.

Hai qualche riferimento da indicarmi in proposito ? Grazie.
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[9] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto Utentecianfa72 » 5 giu 2021, 18:35

Scusate...mi sono accorto di un errore sul nome dei generatori controllati.
Ecco il circuito corretto :-)

20210605_182825.jpg
sistema risolvente corretto
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[10] Re: Rappresentazione generale AV + BI = 0 rete 2-porte linea

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 5 giu 2021, 18:35

Se mi dai 10 minuti vado a vedere cosa ho in "archivio" ... su qualche testo autorevole, ovviamente. :D

BTW ...
cianfa72 ha scritto:Di seguito il sistema di equazioni risolvente (spero si legga :shock: ): si tratta di un sistema lineare omogeneo di 14 equazioni in 16 incognite....

Scusa ma, per scrivere quel sistema finale in tre equazioni e quattro incognite, non bastava scrivere direttamente una KCL a sinistra e una coppia KCL KVL a destra, senza quella inutile paginata di relazioni. ;-)
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