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Con questo articolo, stavolta, proviamo a compiere un "viaggetto" attraverso gli spazi vettoriali.
Come sempre avremo a che fare con un campo K al quale apparterranno i "nostri" scalari.

Indice

1 Definizione di spazio vettoriale
2 Qualche esempio di spazio vettoriale
3 Combinazioni lineari
- 3.1 Sistemi span
4 Sottospazio vettoriale
- 4.1 Intersezione di sottospazi vettoriali
5 Dipendenza ed indipendenza lineare
- 5.1 Esempio 1
- 5.2 Esempio 2
6 Base e dimensione
- 6.1 Dimensione di un sottospazio
7 Torniamo un momento alle matrici...
8 Bibliografia

Definizione di spazio vettoriale

Consideriamo un insieme non vuoto V in cui siano definite due operazioni:

somma vettoriale: essa associa ad ogni coppia di vettori u, v appartenenti a V la somma u + v in V;
moltiplicazione per uno scalare: essa associa ad ogni vettore u appartenente a V e ad ogni scalare k appartenente a K il prodotto ku in V.

Ebbene V è detto spazio vettoriale sul campo K se valgono i seguenti assiomi, comunque vengano presi i vettori u, v e w appartenenti a V:

$(u + v) + w\ =\ u + (v + w)$ ;
in V esiste un vettore, detto vettore nullo (o vettore zero), indicato con 0, per il quale vale la seguente relazione: $u + 0\ =\ 0 + u = u$ ;
in V, per ogni u, esiste un vettore indicato con -u e detto opposto di u tale che: $u + (-u)\ =\ (-u) + u = 0$ ;
$u + v\ =\ v + u$ ;
per ogni scalare k appartenente a K: $k(u + v)\ =\ ku + kv$ ;
per ogni scalare a, b, appartenenti a K: $(a + b)u\ =\ au + bu$ ;
per ogni scalare a, b, appartenenti a K: $(ab)u\ =\ a(bu)$ ;
detta 1 l'unità di K : $1u\ =\ u$ .

Risulta chiaro che u, v e w siano gli elementi dello spazio vettoriali, che chiameremo d'ora in poi vettori.
Gli assiomi citati nell'elenco di prima si dividono in due tipologie:

i primi quattro hanno a che fare con la struttura additiva di V e possono essere riassunti affermando che V è un gruppo commutativo dal punto di vista dell'addizione;
i restanti quattro hanno a che fare con l'azione di K su V.

Da questi ultimi derivano delle ulteriori semplici proprietà:

per ogni scalare k appartenente a K e 0 appartenente a V, $k0\ =\ 0$ ;
per ogni 0 appartenente a K e per ogni vettore u appartenente a V, $0u\ =\ 0$ ;
se ku = 0 con k appartentente a K e il vettore u appartenente a V, allora si ha che $k\ =0$ oppure $u\ =0$ (vettore nullo);
per ogni scalare k appartenente a K e per ogni vettore u appartenente a V: $(-k)u\ =\ k(-u)\ =\ -ku$ .

Qualche esempio di spazio vettoriale

Di seguito riportiamo alcuni esempi di spazi vettoriali.

Spazio Kⁿ

Detto K un campo arbitrario, la notazione Kⁿ indica l'insieme delle n-ple di elementi di K. Kⁿ è uno spazio vettoriale su K e abbiamo utilizzato le seguenti operazioni:

somma vettoriale:

$(a_{1},\ a_{2},\ \cdots,\ a_{n})\ +\ (b_{1},\ b_{2},\ \cdots,\ b_{n})=\ (a_{1}+b_{1},\ a_{2}+b_{2},\ \cdots,\ a_{n}+b_{n})$

moltiplicazione per uno scalare:

$k(a_{1},\ a_{2},\ \cdots,\ a_{n})\ = (ka_{1},\ ka_{2},\ \cdots,\ ka_{n})$

Il vettore nullo è l'n-pla di zeri: $0\ =\ (0,0,\cdots,\ 0)$ .
L'opposto di un vettore è definito da:

$-(a_{1},\ a_{2},\ \cdots,\ a_{n})\ = (-a_{1},\ -a_{2},\ \cdots,\ -a_{n})$

Spazio polinomiale P(t)

Chiameremo P(t) l'insieme di tutti i polinomi reali nella forma seguente:

$p(t)=\ a_{0}\ +\ a_{1}t\ +\ a_{2}t^{2}\ +\ \cdots\ +\ a_{s}t^{s},\ \ s=(1,\ 2,\ \cdots)$

dove i coefficienti a_i sono scalari appartenenti al campo K.
P(t) allora è uno spazio vettoriale su K, con le operazioni:

somma vettoriale: $p(t)\ +\ q(t)$ è la operazione di somma di polinomi in P(t);
moltiplicazione per uno scalare: $\ kp(t)$ è l'operazione già nota di prodotto per uno scalare k di un polinomio p(t).

Si denota, in maniera analoga a quanto fatto prima, un polinomio zero denotato con 0.

Spazio matriciale M_m,n

La notazione M_m,n denota l'insieme delle matrici m x n sul campo K arbitrario.
M_m,n è uno spazio vettoriale su K con le operazoini usuali di somma vettoriale e moltiplicazione per uno scalare.

Spazio delle funzioni F(X)

Detto X un insieme qualsiasi non vuoto e K un campo arbitrario. F(X) è uno spazio vettoriale su K rispetto alle operazioni che seguono:

somma vettoriale:consideriamo l'insieme F(X) di tutte le funzioni da X a K. La somma di due funzioni f e g appartenenti ad F(X), che è la funzione f + g appartenente a F(X), è definita da:

$(f\ +\ g)(x)=\ f(x)\ +\ g(x),\ \ per\ ogni\ x\ appartenente\ ad\ X$

moltiplicazione per uno scalare: il prodotto di una funzione f appartenente ad F(X) per uno scalare k appartenente a K è la funzione kf appartenente ad F(X), così definita:

$(kf)(x)\ =\ kf(x),\ \ per\ ogni\ x\ appartenente\ ad\ X$

Il vettore zero IN f(x) è la funzione 0 che associa ad ogni x appartenente ad X lo scalare 0 (appartenente a K):

$0(x)=\ 0.$

Per ogni funzione f, è definita anche la funzione -f detta opposto della funzione f così definita:

$(-f)(x)\ =\ -f(x),\ \ per\ ogni\ x\ appartenente\ ad\ X$

Combinazioni lineari

Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, un vettore v in V è una combinazione lineare di vettori u₁, u₂, ... , u_n in V se esistono degli scalari a₁, a₂, .. , a_m appartenenti a K tali che si abbia:

$v=\ a_{1}u_{1}+\ a_{2}u_{2}+\ \cdots+\ a_{m}u_{m}.$

Oppure v è combinazione lineare dei vettori u₁, u₂, .. , u_n se esiste una soluzione dell'equazione che segue:

$v=\ x_{1}u_{1}+\ x_{2}u_{2}+\ \cdots+\ x_{m}u_{m}$

dove gli x₁, x₂, ... , x_m sono scalari incogniti.

Sistemi span

Dato uno spazio vettoriale V su K. Si dice che i vettori u₁, u₂, .. , u_m appartenenti a V formano un sistema span di V se ogni vettore in V è combinazione lineare dei vettori u₁, u₂, .. , u_m, cioè se si verifica la seguente relazione:

$v=\ a_{1}u_{1}+\ a_{2}u_{2}+\ \cdots+\ a_{m}u_{m}$

dove a₁, a₂, .. , a_m sono scalari di K.

Sottospazio vettoriale

Consideriamo, come sempre, il nostro spazio vettoriale generico V sul campo K. Sia W un sottoinsieme di V. Diremo che W è un sottospazio di V se W è a sua volta uno spazio vettoriale su K rispetto alle operazioni (già viste) di somma vettoriale e moltiplicazione per uno scalare.
Un modo per verificare se W è sottospazio o meno consiste nel verificare gli otto assiomi enunciati per uno spazio vettoriale in principio di articolo.
Ad ogni modo di seguito sono elencati semplici criteri di riconoscimento di un sottospazio:

il vettore zero appartiene a W;
per ogni u, v appartenenti a W e per ogni k appartenente a K: u + v appartiene a W e ku appartiene a W.

L'ultima condizione espressa può essere "riassunta" nella seguente:

$per\ ogni\ u,v\ \in \ W\ e\ per\ ogni\ a,\ b,\ \in\ K:\ au+\ bv\ \in\ W$

Inoltre dato uno spazio vettoriale V, esso contiene due sottospazi detti banali che sono V stesso e il sottospazio contenente il solo vettore zero.

Intersezione di sottospazi vettoriali

Detti U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V. Vogliamo appurare che l'intersezione tra i due spazi vettoriali U ∩ W è ancora un sottospazio vettoriale di V.
Iniziamo col dire che il vettore nullo (il vettore zero 0) appartiene sia a U che a W in quanto sono sottospazi vettoriali. Quindi il vettore nullo appartiene anche a U ∩ W .
Supposto che u, v appartengano a U ∩ W, allora u,v apparterranno sia a U che a W.
Inoltre essenso U e W sottospazi valer per essi la proprietà:
$per\ ogni\ u,v\ \in \ W\ e\ per\ ogni\ a,\ b,\ \in\ K:\ au+\ bv\ \in\ W\ e\ au+\ bv\ \in\ U$
quindi si ha: $au+\ bv\ \in U\ \cap W$ .
Concludendo: U ∩ W è sottospazio di V.

Dipendenza ed indipendenza lineare

Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, affermiamo che:
i vettori v₁, v₂, .. ,v_m sono linearmente dipendenti su K se esistono degli scalari a₁, a₂, ... , a_m appartenenti a K non tutti nulli tali che:

$a_{1}v_{1}+\ a_{2}v_{2}+\ \cdots+\ a_{m}v_{m}=\ 0\ .$

In caso contrario essi si dicono linearmente indipendenti su K.

Esempio 1

I seguenti vettori u, v e w:

$u=\ (1,1,0),\ v=\ (1,3,2),\ w=\ (4,9,5)$

sono linearmente dipendenti perchè:

$3u+\ 5v-\ 2w=\ 3(1,1,0)+\ 5(1,3,2)-\ 2(4,9,5)=\ (0,0,0)=\ 0$

perchè esistono degli scalari non tutti nulli (in questo caso essi sono 3, 5, -2) tali che la combinazione lineare di cui sopra sia pari a 0.

Esempio 2

I seguenti vettori invece sono linearmente indipendenti:

$u=\ (1,2,3),\ v=\ (2,5,7),\ w=\ (1,3,5)$

Infatti formiamo l'equazione vettoriale $xy+\ yv+\ zw=\ 0$ , dove x,y e z sono degli scalari incogniti. Andando a svolgere:

$x\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}+ y\cdot\begin{bmatrix} 2\\ 5\\ 7 \end{bmatrix}+ z\cdot\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 5 \end{bmatrix}=\ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

otteniamo che:

$x=\ 0,\ y=\ 0,\ z=\ 0$

In altre parole l'unica combinazione lineare che rispetti l'equazione vettoriale di cui sopra è a coefficienti tutti nulli, ergo i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Base e dimensione

Diamo di base due definizioni equivalenti tra loro:

Definizione A: un insieme di vettori $S= \begin{Bmatrix} u_{1}, & u_{2}, & \cdots & u_{n} \end{Bmatrix}$ è detto base di V se valgono le due condizioni: (1) S è linearmente indipendente, (2) S è un sistema span per V;
Definizione B: un insieme di vettori $S= \begin{Bmatrix} u_{1}, & u_{2}, & \cdots & u_{n} \end{Bmatrix}$ è detto base di V se ogni vettore v di V è combinazione lineare dei vettori della base in modo unico.

Importante è il seguente teorema:

dato uno spazio vettoriale V che ammette una base di m elementi e un'altra base di n elementi. Allora certamente $m=\ n$ .
Uno spazio vettoriale V, se possiede una base di n elementi, si dice di dimensione finita n e si scrive : $dimV=\ n$

Lo spazio vettoriale $S=\ \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$ , ha dimensioni O per definizione, mentre uno spazio vettoriale di dimensione non finita è detto di dimensione infinita.

Introduciamo anche il seguente lemma:

poniamo $V=\ span(v_{1},\ v_{2}\ \cdots,\ v_{n})$ e supponiamo che $\begin{Bmatrix} w_{1}, & w_{2} & \cdots & w_{m} \end{Bmatrix}$ sia linearmente indipendente. Allora $m\ \leq n$ e si ha:

$V=\ span(w_{1},\cdots,w_{m},v_{i_{1}},\cdots,v_{i_{n-m}})$

quindi $n+\ 1$ o più vettori qualsiasi di V sono linearmente dipendenti.

Dimensione di un sottospazio

Sia W un sottospazio vettoriale di V che è n-dimensionale. Si ha che $dimW\ \leq n$ . Qualora invece si avesse $dimW\ =\ n$ , allora è chiaro che $W=\ V$ .

Torniamo un momento alle matrici...

Data la matrice A = [a_ij] di ordine m x n su un campo K, le righe di A: $R_{1}=\ (a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}),R_{2}=\ (a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}),\cdots,R_{m}=\ (a_{m1},a_{m2},\cdots,a_{mn})$ sono viste come vettori in Kⁿ, generano in esso un sottospazio detto spazio delle righe di A e indicato con: $rowsp(A)=\ span(R_{1},R_{2},\cdots,R_{m})$ .

Analogamente, quanto detto per le righe può essere detto per le colonne di A. Si parla di spazio delle colonne di A e si indica con $\ colsp(A)$ .

Consideriamo, a titolo di esempio, la seguente matrice A in forma a scala, in cui sono stati messi in evidenza i pivot:

$A=\begin{bmatrix} 0 & {\color{Purple} 2} & 4 & 5 & 6 & 8 & 9\\ 0 & 0 & {\color{Purple} 4} & 3 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{Purple} 7} & 8 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{Purple} 6} & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Ebbene, un risultato importantissimo è il seguente: le righe non zero di una matrice in forma a scala sono linearmente indipendenti.

Possiamo quindi, sulla base di quanto detto finora, dare una definizione "nuova" di rango:
il rango di una matrice A è equivalente alla dimensione dello spazio delle righe di A o al numero massimo di righe linearmente indipendenti di A.

Bibliografia

"Algebra lineare" - Lipschutz, Lipson

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Un breve viaggio attraverso gli spazi vettoriali

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Definizione di spazio vettoriale