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1 Campo magnetico di un avvolgimento distribuito
- 1.1 Forza magnetomotrice statorica: M_i
  - 1.1.1 q=1
  - 1.1.2 q>1
2 Campo magnetico di un avvolgimento trifase
- 2.1 Campo rotante
- 2.2 Reazione di indotto
  - 2.2.1 Posizione rispetto all'eccitazione
3 Bibliografia

Campo magnetico di un avvolgimento distribuito

Gli avvolgimenti di statore di una macchina sincrona, costituiscono un avvolgimento distribuito. Quando sono percorsi da corrente, producono un campo magnetico di cui esamineremo le caratteristiche. Il rotore delle macchine sincrone può essere a poli sporgenti, come quello considerato nell'articolo sulla tensione indotta, oppure a poli lisci. In questo caso il rotore presenta, alla periferia esterna, cave simili a quelle di statore, che ospitano i conduttori percorsi dalla corrente che produce la forza magnetomotrice di eccitazione, $M e$ . Le caratteristiche di tale $M e$ si ricavano in modo perfettamente analogo a quanto si vedrà per gli avvolgimenti di statore.

Forza magnetomotrice statorica: $M i$

q=1

Consideriamo un avvolgimento statorico che occupa una cava per polo. Le cave distano $τ$ che corrisponde al passo polare. In ogni cava ci sono $n$ conduttori percorsi dalla corrente $i$ . Rettifichiamo la macchina e consideriamo che il rotore sia un cilindro in ferro. Sia $d$ l'ampiezza del traferro. La corrente ha andamento opposto in conduttori che stanno in cave consecutive (crocetta: entrante; punto:uscente). Le linee del campo magnetico seguono percorsi simili a quelli tratteggiati nella figura seguente.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Applicando il teorema di Ampere ad una linea tratteggiata, ipotizzando nullo il campo magnetico nel ferro e ritenendolo costante nel traferro si ha

$H \cdot 2d=ni$

La tensione magnetica per ciascun tratto di traferro vale

$M=Hd=\frac{ni}{2}$

La totale forza magnetomotrice $n i$ è dunque spesa nei due tratti di traferro. Nella figura ne è rappresentato l'andamento lungo la periferia del traferro. E' alternato rettangolare di ampiezza $n i / 2$ . L'asse delle ordinate è per questo orientato verso il basso; sono dunque considerati positivi i valori della tensione magnetica che dà luogo a flussi uscenti dallo statore (indicati dalle frecce rosse).
Nella figura è anche rappresentata la fondamentale della scomposizione secondo Fourier che ha ampiezza

$\frac{4}{\pi}\frac{ni}{2}=\frac {4M}{\pi}=\frac {2}{\pi}ni$

Le armoniche di ordine $ν$ hanno ampiezza

$M_{\nu}=\frac{4}{\nu \pi}\cdot \frac{ni}{2}$

q>1

Considerando un avvolgimento che occupa più cave per ogni polo, l'andamento della tensione magnetica al traferro è la somma dei singoli andamenti rettangolari spostati di una distanza $c$ cui corrisponde l'angolo meccanico $\alpha_m=\frac {c \pi}{p \tau}$ indicando con $p$ le coppie polari. Ne risulta un andamento a gradini il cui valore maasimo è pari a

$M=\frac{qni}{2}$

Ogni componente rettangolare può essere scomposta secondo Fourier; la sinusoide risultante fondamentale, somma delle singole sinusoidi fondamentali consecutive sfasate dell'angolo $\alpha=\frac {c \pi}{ \tau}$ , ha ampiezza

$M_1= k_1 \frac{4M}{\pi}=\frac {2}{\pi}k_1qni$

$k 1$ è il fattore di avvolgimento della fondamentale, cioè il rapporto tra la somma geometrica dei fasori fondamentali diviso la loro somma aritmetica. Seguendo pari pari la dimostrazione fatta nel caso delle tensioni indotte, esso vale:

$k_1=\frac{\sin \frac{q \alpha}{2}}{q \sin \frac{\alpha}{2}}$

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L'armonica di ordine $ν$ avrà ampiezza

$M_{\nu}=\frac{2}{\nu \pi}k_{\nu}nqi$

con

$k_{\nu}=\frac{\sin \frac{q \nu \alpha}{2}}{q \sin \frac{\nu \alpha}{2}}$ .

Il campo magnetico prodotto da un avvolgimento è fisso rispetto all'avvolgimento stesso ed ha, nel tempo, lo stesso andamento della corrente, quindi è costante se la corrente è costante, pulsante se la corrente è alternata.

Campo magnetico di un avvolgimento trifase

Il campo magnetico prodotto dalle correnti di tre avvolgimenti, che costituiscono un avvolgimento trifase, è, in ogni punto del traferro, la somma dei valori di campo prodotto da ogni singolo avvolgimento in quel punto.

Limitando le considerazioni alla sinusoide fondamentale avremo spazialmente per i tre avvolgimenti, assumendo come origine dell'ascissa $x$ lo zero da cui iniziano per la forza magnetomotrice della fase 1 i valori positivi, che, come già precisato, corrispondono a flussi magnetici uscenti dallo statore:

$m_1(x)=\frac{2}{\pi} k_1nqi_1\sin \frac {x}{\tau} \pi$

$m_2(x)=\frac{2}{\pi} k_1nqi_2\sin \left ( \frac {x}{\tau} \pi - \frac {2\pi}{3} \right )$

$m_3(x)=\frac{2}{\pi} k_1nqi_3\sin \left ( \frac {x}{\tau} \pi - \frac {4\pi}{3} \right )$

Il campo risultante

$m (x) = m 1 (x) + m 2 (x) + m 3 (x)$

è spazialmente fermo rispetto allo statore se le correnti non variano nel tempo ed è diverso da zero solo se le correnti sono diverse.

Campo rotante

Se le correnti sono variabili nel tempo e costituiscono un sistema trifase equilibrato di valore efficace $I$ avremo

$m_1(x,t)=M_1 \sin \omega t \cdot \sin \frac {x}{\tau} \pi$

$m_2(x,t)=M_1 \sin \left (\omega t - \frac {2\pi}{3} \right ) \sin \left ( \frac {x}{\tau} \pi - \frac {2\pi}{3} \right )$

$m_3(x,t)=M_1 \sin \left (\omega t - \frac {4\pi}{3} \right ) \sin \left ( \frac {x}{\tau} \pi - \frac {4\pi}{3} \right )$

dove si è posto

$M_1=\frac{2}{\pi} k_1nq \sqrt{2} I$

$\begin{array}{l} \frac{{{m_1}(x,t)}}{{{M_1}}} = \sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi \\ \\ \frac{{{m_2}(x,t)}}{{{M_1}}} = \sin \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\sin \left( {\frac{x}{\tau }\pi - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \\ \quad = \left( { - \frac{1}{2}\sin \omega t - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \omega t} \right)\left( { - \frac{1}{2}\sin \frac{x}{\tau }\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \frac{x}{\tau }\pi } \right) = \\ \quad = \frac{1}{4}\sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi + \\ \quad + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \frac{x}{\tau }\pi \cdot \cos \omega t + \frac{3}{4}\cos \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi \\ \\ \frac{{{m_3}(x,t)}}{{{M_1}}} = \sin \left( {\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right)\sin \left( {\frac{x}{\tau }\pi - \frac{{4\pi }}{3}} \right) = \\ \quad = \left( { - \frac{1}{2}\sin \omega t + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \omega t} \right)\left( { - \frac{1}{2}\sin \frac{x}{\tau }\pi + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \frac{x}{\tau }\pi } \right) = \\ \quad = \frac{1}{4}\sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi - \\ \quad - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \frac{x}{\tau }\pi \cdot \cos \omega t + \frac{3}{4}\cos \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi \\ \\ \frac{{m(x,t)}}{M} = \frac{{{m_1}(x,t) + {m_2}(x,t) + {m_3}(x,t)}}{M} = \\ \quad = \sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi + \frac{1}{4}\sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi + \\ \quad + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \frac{x}{\tau }\pi \cdot \cos \omega t + \frac{3}{4}\cos \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi + \\ \quad + \frac{1}{4}\sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi - \\ \quad - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin \frac{x}{\tau }\pi \cdot \cos \omega t + \frac{3}{4}\cos \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi = \\ \quad = \frac{6}{4}\sin \omega t \cdot \sin \frac{x}{\tau }\pi + \frac{6}{4}\cos \omega t \cdot \cos \frac{x}{\tau }\pi = \frac{3}{2}\cos \left( {\omega t - \frac{x}{\tau }\pi } \right) \end{array}$

quindi

$m(x,t) = \frac{3}{2}{M_1}\cos \left( {\omega t - \frac{x}{\tau }\pi } \right) \approx 1{,}35k_1nqI\cos \left( {\omega t -\frac{x}{\tau }\pi } \right)$

Il campo risultante è quindi un'onda sinusoidale di ampiezza costante e con un numero di semionde pari al numero di poli, che si sposta lungo il traferro alla velocità $v=\tau \frac {\omega}{\pi}=2 \tau f$ . Per un giro completo impiega

$T_m= \frac {2p \tau}{2 \tau f}=\frac p f$

per cui i giri al minuto sono

$n_1=\frac {60f}{p}$

Reazione di indotto

Se le correnti sono dovute alle tensioni indotte negli avvolgimenti di rotore dal campo di eccitazione che sta ruotando ad $n 1$ giri al minuto, il campo rotante delle correnti di statore, che ha lo stesso numero di poli, è fisso rispetto al rotore. La sua posizione dipende dalla natura del carico. Tale campo rotante costituisce la reazione di indotto, che si somma al campo di rotore dando luogo ad una nuova configurazione di campo al traferro.
Continuando a riferirci alle sinusoidi fondamentali, sia del campo eccitatore che della reazione, il campo risultante è sempre una sinusoide che ruota alla velocità del rotore, detta velocità di sincronismo, spostata rispetto alle due che la generano.
Se si ripete lo stesso procedimento per le armoniche, si può verificare che non esistono campi rotanti di terza armonica e suoi multipli. Esistono invece campi armonici di ordine $5,7,11$ ... che ruotano rispettivamente a velocità $n_5=-n_1/5 \, , n_7=n_1/7 \, , n_{11}=-n_1/11$ dove $n 1$ è la velocità di rotore, ed il segno meno indica che la rotazione avviene in senso opposto. L'ampiezza delle armoniche è via via decrescente, ed in genere è sufficiente limitare le considerazioni alle componenti fondamentali.

Posizione rispetto all'eccitazione

Indicando con $γ$ lo sfasamento tra le tensioni indotte a vuoto, che costituiscono un sistema trifase simmetrico, e le correnti che si stabiliscono negli avvolgimenti quando sono chiusi su un carico trifase, ed assumendo che la tensione indotta nella fase 1 sia $e_1(t)=\sqrt{2}E_0 \sin \omega t$ , l'espressione del campo rotante diventa

$m(x,t) = \frac{3}{2}{M_1}\cos \left( {\omega t - \gamma -\frac{x}{\tau }\pi } \right) \approx 1{,}35k_1nqI\cos \left( {\omega t - \gamma -\frac{x}{\tau }\pi } \right)$

Con alcune considerazioni si può stabilire la posizione reciproca tra la forza magnetomotrice di induttore $m e$ , che, come al solito, supponiamo distribuita sinusoidalmente lungo il traferro, e la reazione di indotto, indicata con $m i$ nel disegno seguente.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per facilitare le considerazioni, immaginiamo che l'avvolgimento di statore, a passo intero, sia costituito da conduttori concentrati in una cava per polo. Consideriamo la fase 1; in corrispondenza ad una cava che ne contiene i conduttori, è fissata l'origine dell'ascissa x. Quando, durante la rotazione del rotore, la cui velocità periferica è rappresentata dalla freccia verde chiaro $v$ , in corrispondenza di tali conduttori si presenta il massimo del campo induttore o, ciò che è lo stesso, un asse polare, ad esempio un Nord come in figura, nell'avvolgimento è massima la tensione indotta a vuoto. Ciò significa che $\omega t=\frac {\pi}{2}$ . In quell'istante il massimo positivo della reazione di indotto, cioè il massimo del flusso uscente dallo statore prodotto dalle correnti indotte, si trova nella posizione individuata dall'ascissa $x M$ che soddisfa la relazione

$\omega t - \gamma =\frac{x}{\tau }\pi$

quindi per

$\frac{x_M}{\tau }\pi=\frac{\pi}{2}-\gamma$

Un osservatore fisso rispetto allo statore, rappresentato dalla freccia verde scuro F, vedrà di conseguenza la sinusoide della reazione di indotto, che sta spostandosi alla stessa velocità del rotore, ritardare dell'angolo $\frac {\pi}{2}+\gamma$ sulla sinusoide del campo induttore. Ciò permette di tracciare il diagramma dei fasori di $M i$ , $M e$ . Nello stesso diagramma è anche tracciato il fasore della tensione indotta a vuoto dalla $M e$ che è in ritardo di 90° sul flusso prodotto da $M e$ , quindi sulla $M e$ stessa, ed anticipa di $γ$ la $M i$ .

NB: nel diagramma fasoriale la tensione di solito ha modulo pari al valore efficace; le lorze magnetomotrici hanno modulo pari ai loro valori massimi.

Nella figura seguente sono rappresentate tre situazioni fondamentali che corrispondono, in successione, a corrente in fase, in quadratura di ritardo, in quadratura di anticipio con la tensione indotta dalla $M e$ , $E 0$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$M r$ , somma vettoriale di $M e$ ed $M i$ è la forza magnetomotrice risultante che darà luogo alla forza elettromotrice a carico della macchina.

L'angolo $γ$ è strettamente legato alla natura del carico anche se non coincide esattamente con lo sfasamento tra la tensione e la corrente. Ad ogni modo si può dire che un carico ohmico induttivo determina smagnetizzazione mentre un carico ohmico capacitivo produce una magnetizzazione. La variazione della tensione a carico che ne consegue è in genere regolata agendo sulla corrente di eccitazione, secondo i criteri che sono alla base dei diagrammi di Potier e Blondel.

Bibliografia

Appunti di macchine elettriche - Ciro Di Pieri - Ed. CLEUP - Ia ed. settembre 1970; ristampa novembre 1991
Macchine elettriche rotanti - M.Andriollo - G. Martinelli - A. Morini - CLEUP , 1998

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