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Indice

1 Premesse
- 1.1 alla seconda edizione
- 1.2 alla prima edizione
2 Principio di funzionamento delle macchine rotanti
- 2.1 L´espressione della coppia elettromagnetica
- 2.2 L´espressione della tensione indotta
3 La coppia nei diversi tipi di macchine
4 Bibliografia, link e note
5

Premesse

alla seconda edizione

In seguito ad una domanda pervenuta nel forum, sul principio di generazione della coppia nei motori elettrici, mi sono ricordato di un articolo scritto circa dodici anni fa per l'allora Electroportal, quando sentivo quasi il bisogno di impegnarmi per qualche lezione utile di Elettrotecnica. Ora quello stimolo è un po' evaporato e questa mia attività mi appare abbastanza inutile, e perfino un contributo all'intasamento di informazioni del web. Ad ogni modo per scacciare questa sgradevole sensazione, poiché le formule nel vecchio articolo erano praticamente illeggibili, nonché qualche considerazione poco chiara, ho pensato di revisionarlo e di riproporlo.

alla prima edizione

Sincrono, asincrono, a corrente continua, brushless: sono parecchi i tipi di motori elettrici. Per ognuno teoria e formule diverse. Eppure il principio fisico è comune. Unificare è un'esigenza addirittura preminente nella fisica teorica. Einstein cercò per vent'anni, senza riuscirci, l'unificazione di forza gravitazionale ed elettromagnetica. Ma la "La teoria del tutto", che è anche il titolo di un libro di Stephen Hawking, resta uno stimolante campo di ricerca.

Con finalità meno grandiose certamente, si è sviluppata la teoria unificata delle macchine rotanti. Il modello che ne è conseguito e gli strumenti matematici necessari, hanno consentito potenti algoritmi per il controllo dinamico dei motori.
Questa articolo, in modo molto limitato ovviamente, si pone nella prospettiva dell'unificazione, ricorrendo a concetti e formule tradizionali.
E' ricercata un'espressione della coppia elettromagnetica, nonché della tensione indotta associata alla trasformazione elettromeccanica dell'energia, che può indirizzare i ragionamenti su ogni tipo di macchina.
Le considerazioni svolte possono essere un aiuto per la comprensione del funzionamento delle macchine a regime e risultare utili anche nella valutazione del loro comportamento dinamico.

Principio di funzionamento delle macchine rotanti

La trasformazione elettromeccanica dell'energia è dovuta alle interazioni tra corpi magnetizzati e circuiti elettrici.
I circuiti elettrici altro non sono che sorgenti magnetiche, ed il campo magnetico è, in un certo senso, l'organo di tramissione dell´energia. Svolge un ruolo simile a quello dell'energia cinetica, la cui variazione produce lavoro.

Nei campi magnetici si distinguono due zone: poli Nord e Sud. Due sorgenti di campi magnetici interagiscono in modo che i poli Nord dell'uno attraggono i poli Sud dell'altro, mentre i poli omonimi si respingono. E´ naturale pensare ad una relazione quantitativa generale per la valutazione delle forze magnetiche e della coppia relativa alla rotazione prodotta.

Ogni macchina rotante si compone di una parte fissa, lo statore, e di una parte mobile, il rotore. Statore e rotore diventano, durante il funzionamento, due magneti che, interagendo tra loro, determinano il movimento della parte mobile.
La figura 1 schematizza una macchina elementare con un avvolgimento sullo statore ed uno sul rotore percorsi da corrente (rosse: uscenti, blu: entranti) che producono una coppia polare. Poiché una coppia polare determina un periodo completo di variazione di una grandezza elettrica quale, ad esempio, la variazione della tensione indotta in un conduttore in moto che l'attraversa trasversalmente, e nella macchina, cioè in 360 gradi meccanici ci sono $p$ coppie polari, si definisce l'angolo elettrico $δ$ come multiplo secondo $p$ dell'angolo meccanico $θ = p δ$

Figura 1

Poiché una coppia polare determina un periodo completo di variazione di una grandezza elettrica quale, ad esempio, la variazione della tensione indotta in un conduttore in moto che l'attraversa trasversalmente, e nella macchina, cioè in 360 gradi meccanici ci sono

p

coppie polari, si definisce l'angolo elettrico

δ

come multiplo secondo

p

dell'angolo meccanico

θ = p δ

Statore e rotore sono dunque magneti, permanenti od elettromagneti. La corrente elettrica è la sorgente del magnetismo. La forza magnetomotrice (fmm) dipende anche, oltre che dalla corrente, dal numero di spire che ne amplifica l'effetto magnetico. Se la corrente in una spira è un piccolo magnete, $N$ spire percorse dalla stessa corrente, sono $N$ magneti che uniscono la loro azione. La fmm è un'espressione del tipo $A = k i N I$ , dove $k i$ è una costante che tien conto della distribuzione spaziale delle spire, che può essere chiamata coefficiente di avvolgimento, ed $I$ l'intensità della corrente che le percorre.
I magneti prodotti dalle correnti di statore e di rotore, danno luogo ad un alternarsi di poli magnetici lungo il traferro, lo spessore d'aria che separa statore da rotore. La fmm per unità di lunghezza di una linea di forza magnetica è il campo magnetico $H$ misurato in $A/m$ . Le linee magnetiche sono linee chiuse, ed attraversano il traferro, in modo che, in prima approssimazione, possiamo considerare perpendicolare alla superficie polare. Ogni linea si concatena con la corrente di conduttori, di statore e/o di rotore, che la producono. Il numero dei conduttori concatenati e la corrente in essi variano a seconda della inea considerata. Varia cioè la fmm che produce quella linea, quindi variano in intensità e verso i campi magnetici di statore e di rotore lungo il traferro. Entrambi possono essere rappresentati con una sinusoide le cui semionde sono i poli Nord e Sud. Il Nord corrisponde alla zona, di rotore o di statore, da cui le linee magnetiche escono. La stessa rappresentazione vale per la tensione magnetica al traferro $F$ definita dal prodotto del campo, $H$ , per lo spessore, $d$ , del traferro: $F = H d$ . La tensione magnetica al traferro coincide, in pratica, con la totale forza magnetomotrice, $A$ , agente lungo l'intera linea di forza chiusa, se il ferro non è saturo, con una porzione di essa quando il ferro è saturo. Il ferro entra in saturazione quando la sua funzione di amplificazione dell'effetto magnetico si indebolisce progressivamente. L'effetto magnetico è misurato dall'induzione $B$ , da cui dipendono più strettamente le forze e le tensioni indotte. Il legame tra $B$ ed $H$ è $B = μ H$ dove $μ$ è la permeabilità assoluta del mezzo. Per l'aria, quindi per il traferro, la permeabilità, costante, vale $\mu_0=1{,}256\times10^{-6} \, \text{H/m}$ . L´amplificazione magnetica del ferro è misurata dalla permeabilità relativa, il rapporto tra la permeabilità assoluta e quella dell'aria. La saturazione inizia, si può dire per valori di induzione $B$ superiori ad 1 tesla.

L´espressione della coppia elettromagnetica

La coppia nasce dalla tendenza ad allinearsi dei due campi magnetici.
I poli Nord del rotore tendono cioè a portarsi esattamente sotto i poli Sud dello statore.
Nella figura 2, con $δ$ è indicato l'angolo elettrico corrispondente all'angolo meccanico $θ$ formato tra gli assi dei Nord di rotore e Sud di statore (o Sud di rotore e Nord di statore). Se $p$ è il numero di coppie polari, si ha $δ = p θ$ .
Inoltre, nella stessa figura 2 sono rappresentate:

$A S$ : valore massimo della fmm di statore (il verso positivo indica il Sud di statore);
$A R$ : valore massimo della fmm di rotore (il verso positivo indica il Nord di rotore);
$A t o t$ : valore massimo della fmm totale, che si ottiene sommando vettorialmente le due precedenti;
$Φ$ : flusso polare prodotto da $A t o t$ . E' dato da $Φ = B m S p$ dove $B_m=\frac {2}{ \pi} B_M=\frac {2}{ \pi} \mu_0 \frac{A_{tot}}{d}$ è il valore medio dell'induzione magnetica (si suppone sinusoidale l'andamento dell'induzione lungo il traferro, con $B M$ valore massimo sull'asse del polo), ed $S_p=\frac{\pi rL}{p}$ la superficie di un polo, con $L$ ed $r$ , rispettivamente, lunghezza assiale e raggio di rotore.

I due campi tendono ad allinearsi, quindi a ridurre l'angolo $θ$ , con una forza, che dà origine alla coppia, proporzionale sia ad $A R$ che ad $A S$ . Essa è tanto maggiore quanto maggiore è il disallineamento dei campi ed il massimo si ha per $\theta= \frac{90^{\circ}}{p}$ gradi meccanici cioè $\delta=90^{\circ}$ gradi elettrici. L'allineamento dei campi è una situazione di equilibrio spontaneo, come lo stato di una molla a riposo, e lo scostamento dall'equilibrio, come nel caso della molla, determina forze tendenti a ripristinarlo.
Per ricavare l'espressione della coppia ci sono vari metodi. Uno potrebbe essere il ricorso alla formula che dà la forza agente perpendicolarmente ad un conduttore lungo $L$ percorso da una corrente $I$ ed immerso in un campo perpendicolare di induzione $B$ cioè: $F = I B L$ che si può anche considerare come il principio di funzionamento dei motori elettrici. Qui si userà il concetto di energia immagazzinata nel campo magnetico come descritto in questo articolo.
L'energia magnetica è praticamente racchiusa nel traferro. Può dunque essere trovata moltiplicandone il volume $V d = 2π r L d$ per l'energia specifica media. L'energia specifica in un generico punto $x$ , considerando come origine delle x un asse interpolare vale $w(x) = \frac{1}{2}{\mu _o}{H^2}\left( x \right)$ . L'energia media di una coppia polare (identica a quella sotto un polo) vale perciò, variando $H (x)$ , per ipotesi, in modo sinusoidale $w_m=\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {H_M^2{{\sin }^2}} x{\rm{d}}x = \frac{{{H_M}}}{2}$ (una dimostrazione è riportata in bibliografia). Poiché $H_M=\frac {A_{tot}}{d}$ , si ha:
$W=w_m V_d=\frac 1 4 \mu_0 \frac{A^2_{tot}}{d^2}2 \pi rLd= \frac {\mu^2_0 2 \pi rL A^2_{tot}}{4d}$ .
Il teorema di Carnot fornisce l'espressione
$A^2_{tot}=A^2_S+A^2_R+2A_SA_R \cos \delta$
Si ha allora
$W=\frac{\mu_0 2 \pi r L}{4d}(A^2_S+A^2_R+2A_SA_R \cos p \theta)$ .
Occorre ricordare in proposito che i movimenti spontanei avvengono con diminuzione dell'energia del campo se i flussi si mantengono costanti, con un aumento della stessa se sono mantenute costanti le fmm, cioè le correnti. In quest'ultimo caso, che è quello qui considereremo, il generatore che alimenta l'avvolgimento fornisce sia l'energia accumulata nel campo, sia l'energia che produce lo spostamento, oltre ovviamente a quella dissipata per effetto Joule. La coppia può allora essere ottenuta calcolando la derivata dell'espressione dell'energia rispetto a $θ$ supponendo costanti le fmm.
$C = \frac{\text{d}W}{\text{d}\theta}= - \frac{2p \mu_0 2 \pi rL}{4d} A_S A_R \sin p \theta$
ponendo $k= \frac{p \mu_0 \pi rL}{d}$ si ha

$C = - kA_SA_R \sin \delta \quad [1]$

Il segno può anche essere omesso tenendo presente che indica che la coppia agisce in senso opposto all'aumento dell'angolo. I campi di statore e di rotore tendono perciò a ridurre l'angolo, cioè ad allinearsi.
La $[1]$ può essere così letta:

La coppia è proporzionale ai campi magnetici di statore e di rotore ed al seno dell´angolo elettrico corrispondente al loro sfasamento spaziale o, ciò che è lo stesso, al prodotto di un campo magnetico per la componente dell'altro in quadratura

Coppie uguali ed opposte agiscono su statore e rotore.
Nella $[1]$ la coppia è espressa in funzione dei campi magnetici di statore e di rotore come se correnti di statore e di rotore agissero autonomamente. Può anche essere espressa in funzione del campo magnetico risultante e dell'uno o dell'altro dei campi componenti, usando gli angoli tra gli assi dei campi. Il diagramma è mostrato in figura due dove, a parte il segno, sono anche riportate le due formule

$C = - kA_{tot}A_R \sin \delta_R \quad [1a]$

$C = - kA_{tot}A_S \sin \delta_S \quad [1b]$

essendo
$\begin{array}{l} {A_{tot}}\sin {\delta _S} = {A_R}\sin \delta \\ {A_{tot}}\sin {\delta _R} = {A_S}\sin \delta \end{array}$
Un'ulteriore elaborazione, considera il flusso polare totale prodotto dalla fmm $A t o t$ , la fmm di rotore e l'angolo $δ R$ , sfasamento tra la fmm $A t o t$ e la fmm $A R$ . Cioè:

$C = -k_1 \Phi A_R \sin \delta_R \quad [2]$

Con $k 1$ costante che risulta proporzionale al quadrato delle coppie polari. Ad essa si arriva cconsiderando che il flusso polare è dato dall´induzione media sul polo $B_m = \frac {2}{\pi} B_M$ con $B_M=\mu_0 \frac{A_{tot}}{d}$ moltiplicata per la superficie polare $S_p= \frac {\pi rL}{p}$ . Dunque: $\Phi=\frac 2 \pi \mu_0 \frac{A_{tot}}{d}\frac{\pi rL}{p}$ da cui si ricava $A_{tot} = \Phi \frac{dp}{2rL \mu_0}$ e poiché, come illustrato in figura 2, è $A t o t sinδ R = A S sinδ$ , si ha $C=-kA_RA_{tot} \sin \delta_R=-kA_R \Phi \frac{dp}{2rL \mu_0} \sin \delta_R$ da cui ponendo $k_1= k \frac{dp}{2rL \mu_0}$ , si ricava la $[2]$
Quanto finora esposto vale sia per configurazioni fisse delle forze magnetomotrici rispetto allo statore, sia per configurazioni in moto. L´importante, per l'esistenza della coppia, è il mantenimento di un angolo di sfasamento $δ$ ; ciò significa che le due sinusoidi devono spostarsi lungo il traferro alla stessa velocità. E´ quanto succede sia nelle macchine sincrone che in quelle asincrone, mentre nelle macchine a corrente continua i due campi sono fissi e permanentemente in quadratura.

Figura 2

L´espressione della tensione indotta

Alla coppia meccanica che agisce sull'albero della macchina, motrice per i motori, frenante per i generatori, fa riscontro negli avvolgimenti una forza controelettromotrice (motori) od elettromotrice (generatori). Se si indica con $ω m$ la velocità angolare meccanica o pulsazione meccanica, alla potenza meccanica $P m = C ω m$ deve corrispondere una identica potenza elettrica, per il principio di conservazione dell´energia, in base a cui la fem può essere ricavata.
La fem è prodotta dalla variazione del flusso totale concatenato con l'avvolgimento considerato, per la legge di Faraday-Lenz. Il flusso $λ$ concatenato con una spira di un avvolgimento è massimo quando l'asse magnetico della spira avvolgimento coincide con l'asse polare e coincide con il flusso polare $Φ$ . Se N è il numero di spire il flusso concatenato con l'avvolgimento con spire distribuite, il flusso concatenato con l'avvolgimento nella posizione di massimo, cioè quando l'asse magnetico dell'avvolgimento coincide con l'asse polare, vale $k i N Φ$ dove $k i$ è un coefficiente, minore di uno, che tien conto della distribuzione spaziale delle spire. Se gli assi formano un angolo $\beta=\frac{\alpha}{p}$ , il flusso concatenato vale $λ = k i N Φcosα$ . Se $α$ varia nel tempo $α = ω t$ la tensione indotta vale
$e = - \frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}t}} = \omega {k_i}N\Phi \sin \omega t - N\frac{{{\rm{d}}\Phi }}{{{\rm{d}}t}}\cos \omega t$
Il primo termine corrisponde alla fem detta mozionale, il secondo alla fem di tipo trasformatorico. Nel funzionamento a regime l'ampiezza del flusso generalmente si mantiene costante e si ha pertanto una fem del primo tipo che ha pulsazione $ω = p ω m$ , e valore efficace proporzionale a frequenza $f$ e flusso $Φ$

$E= \frac{\omega k_i f N \Phi}{\sqrt 2}=4,44k_i f N \Phi \quad [3]$

Per una dimostrazione dell'espressione si può vedere questo articolo

La coppia nei diversi tipi di macchine

Macchine sincrone

Il campo di rotore è prodotto da correnti continue, o magneti permanenti, e ruota solidalmente con il rotore.
Il campo di statore invece è un campo rotante dovuto alle correnti (generalmente trifasi) circolanti negli avvolgimenti distribuiti lungo la periferia di statore, che hanno assi magnetici distinti.
Il rotore, per l'esistenza della coppia, deve ruotare alla stessa velocità del campo di statore, determinata dalla frequenza delle correnti e dal numero di poli di ogni avvolgimento, secondo la relazione $\omega_0 = \frac{2 \pi f}{p}$ che definisce velocità di sincronismo.
Quando il rotore raggiunge la velocità di sincronismo "si aggancia" al campo di statore e può produrre la coppia unidirezionale. Se l'ampiezza della tensione di statore che supponiamo sempre sinusoidale non varia e se si mantiene costante l'eccitazione, sono costanti rispettivamente, nell'espressione della coppia $[2]$ , il flusso totale $Φ$ e la forza magnetomotrice di rotore $A R$ . Il primo perché la tensione applicata, se si trascurano le piccole differenze dovute alla caduta di tensione sulla resistenza e sulla reattanza di dispersione degli avvolgimenti di statore, è equilibrata praticamente dalla tensione indotta che ha l'espressione della $[3]$ per cui la costanza di $E$ implica la costanza di $Φ$ ; la seconda, poiché lo è la corrente che la produce (o perché prodotta da magneti permanenti). Ne consegue che la variazione della coppia si ottiene essenzialmente per la variazione dell'angolo $δ R$ detto per questo angolo di coppia.
Quanto più aumenta la coppia applicata all'albero, resistente nel funzionamento come motore, motrice in quello da generatore, tanto più $δ R$ aumenta. In particolare, nel funzionamento come motore, il campo di rotore ritarda rispetto a quello risultante, mentre è in anticipo nel funzionamento come generatore. Il raggiungimento della coppia è un processo dinamico che comporta oscillazioni meccaniche smorzate intorno alla nuova posizione. In una macchina reale ci possono anche essere variazioni di $Φ$ ed $A R$ che qui sono trascurate.
Per $\delta_R=\frac{\pi}{2}$ si ha la coppia massima per quella tensione e quella corrente di eccitazione. Il rotore modificando semplicemente la sua posizione rispetto al campo rotante di statore vi rimane agganciato, e la coppia di carico è equilibrata dal valore della coppia elettromagnetica. Se il carico supera la coppia massima il rotore "perde il passo" e si hanno problemi seri per l'integrità della macchina se non adeguatamente protetta per questa eventualità.
Il motore sincrono non è autoavviante se alimentato alla frequenza di rete in quanto l'angolo di carico assume un valore medio nullo.

Macchina asincrona

Il campo rotante di statore, identico nella sua generazione a quello delle macchine sincrone, induce nei conduttori di rotore tensioni che vi fanno circolare correnti che danno luogo al campo di rotore. Esso ruota, rispetto al rotore, ad una velocità che dipende dalla frequenza delle correnti indotte e che, sommata a quella meccanica del rotore, è identica a quella del campo di statore, che è detta velocità di sincronismo $\omega_0=\frac{2 \pi f}{p}$ .
Tra i due campi si manifesta pertanto la coppia che, equilibrando a regime quella resistente applicata all'albero, mantiene in rotazione il rotore ad una velocità $ω$ leggermente diversa da quella di sincronismo, inferiore nel funzionamento come motore, superiore in quella come generatore. Le correnti di rotore variano in ampiezza poiché variano, in valore e frequenza, le forze elettromotrici indotte che dipendono dalla velocità relativa
$ω r = ω 0 - ω$ che varia al variare della coppia resistente. La frequenza è data da $f_r= \frac{p \omega_r}{ 2p} = s f$ dove $s =\frac{\omega_r}{\omega_0}$ è lo scorrimento.
La forza magnetomotrice di rotore, varia non solo in modulo, ma anche come posizione fisica rispetto al campo di statore, in quanto varia la fase delle correnti indotte rispetto alle rispettive tensioni, per il diverso rapporto tra resistenza dei conduttori di rotore e loro reattanza, dipendente dalla frequenza $f r : X = 2π f r L r$ dove $L r$ indica l'induttanza di dispersione di rotore.
Se si alimenta il motore a tensione costante, per le stesse ragioni addotte per la macchina sincrona, il flusso risultante deve rimanere costante. Diverso invece è il comportamento della forza magnetomotrice $A R$ sia in modulo che in fase rispetto al campo risultante. Essa è proporzionale alla corrente di rotore, dipendente dalla tensione indotta nel rotore e dalla resistenza e reattanza di questi. Quando la frequenza di rotore è piccola, poiché piccolo è lo scorrimento, situazione che si ha nel normale fìunzionamento a regime, l'impedenza di rotore è quasi esclusivamente resistiva, per cui la corrente di rotore, quindi la $A R$ , è praticamente proporzionale alla tensione indotta, quindi allo scorrimento, ed in fase con essa quindi praticamente in quadratura con il flusso. L'angolo $δ R$ perciò di $\approx \pi /2$ quindi $\sin \delta_R \approx 1$ . Per la $[2]$ la coppia risulta praticamente proporzionale alla corrente di rotore: $C \approx K I_R$ . La coppia è nulla alla velocità di sincronismo poiché $I R = 0$ poiché sono nulle le fem indotte, e presenta un massimo ad una velocità che, in generale, differisce di circa un 10% da quella di sincronismo.
La coppia massima rappresenta il limite della zona di funzionamento stabile.
La $[2]$ , giustifica anche il valore della coppia di avviamento, generalmente inferiore alle coppia nominale nonostante la corrente notevolmente maggiore. All'avviamento infatti diventa prevalente la reattanza di dispersione rispetto alla resistenza di rotore per la frequenza elevata della tensione indotta e la forza magnetomotrice $A R$ risulta quasi in fase con il flusso. Il altre parole $δ R$ diventa molto piccolo e con esso il seno dell'angolo.

Macchine a corrente continua

Il campo di statore è fermo essendo prodotto da bobine percorse da corrente continua o da magneti permanenti fissati sullo statore. Lo è anche quello prodotto dall'armatura di rotore per l'azione congiunta di spazzole e collettore che produce una configurazione spaziale delle correnti che non varia rispetto al piano di simmetria determinato dalla posizione delle spazzole (detto piano di commutazione, poiché nei conduttori d'armatura che l'attraversano la corrente si inverte, "commuta"). L'angolo $δ$ della $[1]$ è praticamente costante e pari a 90°, poiché l'asse di commutazione è fatto coincidere con l'asse interpolare.
Il valore della fmm di statore è costante se tale è la corrente di eccitazione o se i magneti sono permanenti. La coppia allora dipende esclusivamente dal valore di $A R$ , cioè dalla corrente dell´avvolgimento di armatura. La sua espressione è del tipo $C = K I$ dove $K$ è una costante tipica del motore, fornita tra i dati tecnici dello stesso: la costante di coppia. $K$ è anche la costante di tensione che esprime la diretta proporzionalità tra tensione continua alle spazzole, $E$ , e velocità di rotazione angolare del rotore $ω m$ : $E = K ω m$ . Essa è ricavabile dalla $[3]$ tenendo presente l'azione combinata di collettore e spazzole che rende unidirezionale la tensione alternata dell'avvolgimento di armatura, con una variazione rispetto al valore medio tanto più piccola quanto maggiore è il numero delle lamelle del collettore.
Il valore medio è proporzionale al prodotto del flusso per la velocità angolare e la costante di proporzionalità dipende dal numero di coppie polari e dalla struttura dell´avvolgimento di armatura.
La costante di coppia e/o di tensione dipende anche dal flusso di eccitazione. Quindi essa assumerà valori diversi al variare della corrente di campo per le macchine dove tale variazione è possibile, ad esempio, prevalentemente, per le macchine ad eccitazione indipendente.

Motori brushless a.c.

Sono in pratica identici a motori sincroni a magneti permanenti.
Il rotore è costituito da magneti permanenti e lo statore dispone di avvolgimenti trifase collegati a stella. La differenza sta nell'alimentazione che è alternata trifase, ottenuta mediante circuito elettronico (inverter) che consente di cambiare valore e frequenza della tensione, mentre la fase del campo magnetico rotante prodotto dalle correnti di è mantenuta costantemente in quadratura con il campo magnetico di rotore. Sullo statore ci sono appositi sensori che rilevano la posizione del rotore e pilotano il circuito di alimentazione degli avvolgimenti in modo da ottenere la quadratura dei campi.
La formula della coppia di più immediata utilizzazione è allora la $[1]$ $C = k A S A R sinδ$ .
La situazione è tale che $A R$ è costante, come $\delta=90^{\circ}$ cioè $sinδ = 1$ .
La coppia dipende allora esclusivamente da $A S$ quindi dal valore della corrente di statore. In pratica si ha un'espressione del tipo $C = K c I$ in tutto simile a quella dei motori a corrente continua.
Anche in questo caso $K c$ è un dato fornito tra le caratteristiche tecniche del motore.
La forza elettromotrice indotta negli avvolgimenti di statore ha l'espressione della $[3]$ per i brushless sinusoidali, che hanno i poli magnetici del rotore sagomati proprio per questo. E' dunque proporzionale alla velocità angolare del motore. Nelle caratteristiche tecniche la tensione considerata è quella concatenata, che è $\sqrt 3$ volte la tensione di fase. La costante di tensione è, per tale motivo, $\sqrt 3$ volte la costante di coppia.
Si può scrivere allora che il suo valore efficace è $E = K E ω m$ con $K_E = \sqrt 3 K_c$ come per i motori a corrente continua. Il valore efficace della tensione applicata differisce da E per la caduta di tensione sull'impedenza degli avvolgimenti.
I brushless sinusoidali stanno ormai soppiantando i brushless trapezoidali, la cui fem era appunto trapezoidale.
I trapezoidali richiedono sensori meno precisi per l'individuazione del campo di rotore, ma la coppia ottenuta è meno costante. Il sensore richiesto da un sinusoidale è generalmente un resolver, molto preciso.
E' anche possibile, mediante opportuni algoritmi di calcolo, che riescono a stimare la posizione del campo, rinunciare ai sensori: azionamenti sensorless. Occorre conoscere in tal caso bene le reali prestazioni permesse dall´algoritmo utilizzato.

Bibliografia, link e note

A.E. Fitzgerald-C. Kingsley Jr-A. Kusko - Macchine Elettriche - Ed. Franco Angeli

Coppia elettromagnetica
Macchina sincrona - Forza elettromotrice indotta
Brushless
Il calcolo di $\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {H_M^2{{\sin }^2}} x{\rm{d}}x = \frac{{{H_M}}}{2}$ sviluppato da WolframAlpha

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La coppia elettromagnetica nelle macchine rotanti

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Premesse

alla seconda edizione

alla prima edizione

Principio di funzionamento delle macchine rotanti

L´espressione della coppia elettromagnetica

L´espressione della tensione indotta

La coppia nei diversi tipi di macchine

Macchine sincrone

Macchina asincrona

Macchine a corrente continua

Motori brushless a.c.

Bibliografia, link e note

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