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Indice

1 Premessa
2 Cortocircuito monofase: corrente presunta
3 Corrente di cortocircuito limitata
4 Forza elettrodinamica
- 4.1 Cortocircuito nei sistemi trifase
5 Forze su supporti sbarre nei quadri
- 5.1 Risonanze meccaniche
  - 5.1.1 Esempio numerico
- 5.2 Bibliografia e link

Premessa

In un precedente articolo sono esaminate le forze tra conduttori percorsi da corrente a regime in condizioni nominali. Nel dimensionamento meccanico di linee, soprattutto dei loro supporti, in particolare poi nel caso di sbarre nei quadri, si deve in realtà tener conto della forza che si manifesta durante un cortocircuito. Questo articolo esamina la corrente di cortocircuito in una linea monofase e le sollecitazioni da essa prodotte.

Cortocircuito monofase: corrente presunta

Consideriamo circuiti ohmico-induttivi che sono il modello circuitale che schematizza la situazione che ci interessa. Con $\varphi = \arctan \left ( \frac {\omega L}{R} \right )$ indichiamo lo sfasamento tra la tensione e la corrente di cortocircuito a regime dove $L$ ed $R$ rappresentano induttanza e resistenza complessive del circuito, mentre $ω = 2π f$ è la pulsazione corrispondente alla frequenza $f$ . La tensione del generatore sia

$u (t) = U M sin(ω t + α)$

$t = 0$ è l'istante in cui si verifica il cortocircuito, quindi $u (0) = U M sinα$ è la tensione esistente in quell'istante tra i conduttori.

Come mostrato in questo articolo l'espressione della corrente di cortocircuito vale

$i(t) = \sqrt 2 {I_{cp}}\left[ {\sin (\omega t + \alpha - \varphi ) - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}\sin (\alpha - \varphi )} \right]$

con

$\tau = \frac{L}{R} \quad I_{cp}=\frac {U_M }{\sqrt{2} Z} \quad Z=\sqrt{R^2+X^2} \quad X=\omega L$

$I c p$ è la corrente di cortocircuito presunta, cioè il valore efficace della corrente che fluirebbe nel circuito in assenza di un dispositivo di protezione.

Tale corrente è la somma di due termini

$i_p(t) = \sqrt 2 {I_{cp}}\left[ \sin (\omega t + \alpha - \varphi )\right]$ è la componente alternata a regime permanente.
$i_t(t) = - \sqrt 2 {I_{cp}} e^{ - \frac{t}{\tau }} \sin (\alpha - \varphi )$ è la componente transitoria che decresce esponenzialmente con costante di tempo $τ$ partendo dal valore iniziale uguale ed opposto al valore iniziale della componente a regime. Tale componente è positiva per $\alpha-\varphi<0$ , negativa per $\alpha-\varphi>0$ , nulla se $\alpha=\varphi$ .

Il picco della corrente $\left ( I_{pk} \right )$ si verifica in prossimità della fine del primo semiperiodo, quindi, a 50 Hz, poco prima di 10 ms, diventa pari al doppio del valore massimo della componente di cortocircuito presunta se non c'è smorzamento, cioè se la costante di tempo è infinita, condizione che si verifica, idealmente, se il circuito è puramente induttivo $\left ( R=0, \, L>0 \right )$ . Il valore di picco è massimo quando $α = 0$ , indipendentemente dal valore di $\varphi$ .
Se il circuito è puramente induttivo, quindi $\varphi=\frac{\pi}{2}$ , e se $α = 0$ , si ha $I_{pk}/I_{cp}=2 \times \sqrt{2}$ , come illustrato nel grafico seguente.

Nei grafici le grandezze sono normalizzate: le correnti riferite al valore massimo della componente a regime permanente, la tensione al suo valore massimo.

Il rapporto tra il valore di picco ed il valore efficace della corrente a regime varia dunque in funzione del fattore di potenza che si ha in cortocircuito che dipende dalle caratteristiche del generatore, oltre che della linea. Fino alle sbarre di distribuzione della bassa tensione i circuiti possono essere considerati puramente induttivi ( tale assunzione può essere sempre fatta se $R < X / 7$ ); in bassa tensione occore tener conto della resistenza, ma vale sempre che quanto più elevata è la corrente di cortocircuito, tanto più induttivo è il circuito. Convenzionalmente si fa riferimento a questa tabella

$I c p$	$\cos \varphi$	$I p k / I c p$
$\le 5 \, \rm{kA}$	$0,7$	$1,5$
$5 \, \rm{kA} < I_{cp} \le 10 \, \rm{kA}$	$0,5$	$1,7$
$10 \, \rm{kA} < I_{cp} \le 20 \, \rm{kA}$	$0,3$	$2$
$20 \, \rm{kA} < I_{cp} \le 50 \, \rm{kA}$	$0,25$	$2,1$
$>50 \, \rm{kA}$	$0,2$	$2,2$

Corrente di cortocircuito limitata

La presenza di un dispositivo di protezione riduce la corrente effettiva rispetto a quella presunta. L'arco elettrico che si forma all'apertura tra i contatti necessita di parte della tensione di alimentazione per cui la tensione effettivamente disponibile per sostenere la corrente di cortocircuito sull'impedenza del circuito si riduce.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nella figura precedente è qualitativamente rappresentato quanto avviene.
Per semplicità il circuito è considerato puramente induttivo. Si ha per la LKV,
$u-u_a=L \frac{\rm{d}i_{cc}}{\rm{d}t}$
quindi
$\frac{\rm{d}i_{cc}}{\rm{d}t}=\frac{u-u_a}{L}$
cioè la variazione di corrente è proporzionale alla differenza tra la tensione di alimentazione e la tensione d'arco. La corrente cresce se $u > u a$ ; decresce se $u a > u$

Nei normali magnetotermici la corrente raggiunge il suo valore massimo, $I p$ , pur se inferiore a quello della corrente presunta, $I p k$ , all'istante $t M i$ (circa dopo 10 ms dall'apertura, a 50 Hz) ) quando ancora $u a < u$ ; successivamente si annulla. A questo punto tra gli elettrodi si presenta la tensione di ritorno, $u R$ , che coincide con tensione di alimentazione, avendo trascurato l'energia immagazzinata nella capacità di esercizio. Tenendone conto e considerando pure la resstenza, la tensione di ritorno è in realtà la composizione della tensione di alimentazione e di una tensione transitoria smorzata di frequenza più elevata. Se le condizioni del dielettrico sono tali che l'arco non reinnesca, la corrente resta nulla, altrimenti occorre aspettare il successivo annullarsi spontaneo della corrente.

Nei limitatori la tensione necessaria a mantenere l'arco è resa rapidamente molto elevata, con vari stratagemmi, come sfruttare la repulsione elettrodinamica tra i contatti per aumentarne la velocità di separazione, allungare, frazionare e raffreddare l'arco. Quando la tensione d'arco supera il valore della tensione di alimentazione, all'istante $t M i$ (qualche millisecondo dopo l'apertura), la corrente effettiva inizia a decrescere. Il suo picco $I p$ è molto inferiore a quello della corrente presunta, e l'interruzione avviene abbastanza prima dell'istante in cui quest'ultima avrebbe raggiunto il suo massimo. Esso è tanto inferiore quanto più alta è la rapidità di intervento e quanto maggiore è la tensione d'arco generata.

I fusibili sono dei limitatori.
Il valore massimo della corrente effettiva che permette un limitatore è la corrente limitata ed è indicato con $I p$ .
Il potere di interruzione di un limitatore è maggiore di quello dei normali magnetotermici, ma genera maggiori sovratensioni nel circuito che interrompe.
Il costruttore fornisce le curve di limitazione, come mostra il seguente diagramma.

Curve di limitazione

In ascissa la corrente di cortocircuito presunta $I c p$ (indicata con Is) ed in ordinata la corrente di picco non limitata $I p k$ e la corrente di picco $I p$ limitata dai vari modelli di interruttore.
Ad esempio l'interruttore S4 160 limita il picco di una corrente presunta di 30 kA, che sarebbe di 63 kA, a circa 21 kA.

Forza elettrodinamica

Facendo riferimento alla corrente di cortocircuito presunta, la forza per unità di lunghezza, supponendo i conduttori paralleli e filiformi, è proporzionale al prodotto delle due correnti, quindi al quadrato della corrente se consideriamo una linea monofase, ed inversamente proporzionale alla distanza $D$ tra i conduttori;

$f(t) = \frac{k}{D}{i^2}(t) = \frac{{2k}}{D}I_{cp}^2{\left[ {\sin (\omega t + \alpha - \varphi ) - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}\sin (\alpha - \varphi )} \right]^2} \quad \frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}$

dove
$k = \frac{{{\mu _0}}}{{2\pi }} = \frac{{4\pi {{10}^{ - 7}}}}{{2\pi }} = 2 \times {10^{ - 7}} \quad \frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{A}}^2}}}$ se la corrente è espressa in ampere o, com'è più comodo,
$k = 0{,}2 \quad \frac{{\rm{N}}}{{{{(\rm{kA}})^2}}}$ se la corrente è espressa in kiloampere.
Nel caso di linea monofase, la forza è di repulsione essendo le due correnti di verso opposto.
La forza assume il suo valore massimo, quando è massima l'espressione tra parentesi quadra. Ciò avviene quando $e^{ - \frac{t}{\tau }}\sin(\alpha - \varphi )=-1$ che si verifica se $\alpha-\varphi=-\frac{\pi}{2}$ e se $\tau=\frac L R = +\infty$ , condizioni che richiedono $R = 0$ , quindi $\varphi=\frac {\pi}{2}$ , quindi $α = 0$ .
In tali condizioni l'espressione della forza unitaria diventa

$f m a x (t) = k M (1 - cosω t) 2$
con
$k_M=0{,}4 \times \frac{I_{cp}^2}{D}$

esprimendo la corrente in kA. Essa diventa massima quando $ω t = π$ cioè dopo un semiperiodo, quindi, dopo $10 \, \text{ms}$ , a 50 Hz, dall'istante iniziale del corocircuito. Si ha:

$F M a x = 4 k M$

Nella figura seguente i grafici normalizzati (la forza riferita a $k M$ ) per quest'ultima situazione

Nota: icc(t) è la corrente di corcocircuito che è la somma della iccr(t) (i_p(t)) che ci sarebbe a regime se la componente transitoria (it(t),non rappresentata ) unidirezionale fosse smorzata, come si verifica nella realtà del resto, essendo

R > 0

. In presenza di smorzamento l'andamento delle grandezze è mostrato nella figura seguente

Si vede che, in tal caso, il massimo della forza è inferiore e si verifica un po' prima del mezzo periodo; che la corrente di cortocircuito effettiva a regime è alternata e che la forza per unità di lunghezza oscilla, ad una frequenza doppia, attorno al valore medio $F_{medio}=k \frac{I_{cp}^2}{D}=2 \times 10^{-7} \frac{I_{cp}^2}{D}=\frac 1 8 F_{Max}=\frac {k_M}{2}$
Per avere un'ordine di grandezza: Se $I_{cp}=10 \, \text{kA}$ ; se $D=10^{-1}\, \text{m}$
$F_{Max}=4k_M=4 \times \frac{0{,}4 \times 10^2}{10^{-1}}= 1600 \, \frac {\text{N}}{\text{m}}$

Cortocircuito nei sistemi trifase

Quanto ricavato per un cortocircuito su linea monofase vale per qualsiasi cortocircuito che coinvolge due conduttori, quindi, nel sistema trifase, nei cortocircuiti fase-fase e fase neutro.
Nel caso di cortocircuito trifase le espressioni della forza si modificano in quanto su ogni conduttore agiscono due forze dovute all'interazione con gli altri due conduttori. Le due forze hanno in genere modulo e direzione diversi. La forza massima che si origina su ognuno dei tre conduttori, sia nella formazione in piano che in quella a triangolo equilatero, a parità di corrente $I c p$ e di distanza $D$ tra i conduttori, è sempre inferiore a quella del cortocircuito monofase.

Forze su supporti sbarre nei quadri

Il calcolo della effettiva azione elettrodinamica esistente tra i conduttori all'interno di un quadro è molto complesso matematicamente; occorre tener conto della forma, delle dimensioni e della posizione reciproca dei conduttori e rispetto alla struttura metallica del quadro, del posizionamento dei supporti isolanti, e di tutte le caratteristiche meccaniche dei materiali in gioco.

Le forze di maggiore importanza riguardano le sbarre di distribuzione che sono parallele tra loro.

Si usa in genere una forma empirica (che ha comunque la struttura della formula teorica vista in precedenza) per valutare la forza in newton che agisce su un supporto:

$F = 0,173 C \frac{I_x^2}{d}l$

Dove $I x$ è il valore di picco effettivo che si ha nella prima semionda durante il corto circuito $\left ( I_{pk} \right )$ in assenza di interruttori limitatori o il valore del picco della corrente limitata in presenza di un limitatore a monte $\left ( I_p \right )$ , espressa in kA

$d$ : è la distanza tra le sbarre;

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$l=\frac{l_1+l_2}{2}$ : è la media aritmetica delle distanza del supporto (S in figura) considerato dai supporti adiacenti;

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$C$ è un coefficiente che dipende dalla sezione geometrica delle sbarre e dalla loro distanza: si ricava da un grafico ed è compreso tra 0,2 ed 1,3.

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Il valore ottenuto con la formula suddetta va confrontato con il carico ammissibile per il supporto.

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In un supporto a pettine, la forza $F$ applicata alla sbarra sollecita, suddividendosi in due parti uguali $F / 2$ , tra i due supporti che la sostengono. La sollecitazione è di taglio e la superficie interessata a tale sollecitazione è S. Se $σ$ è la resistenza di taglio del supporto la resistenza al taglio della superficie S è $R t = σ S$ . Se $F / 2 > R t$ la configurazione è idonea. In caso contrario si devono avvicinare i supporti od usare materiali più resistenti.

Risonanze meccaniche

Occorre controllare che le sollecitazioni dovute alla forza che, come si è visto, risulta avere una frequenza doppia di quella di rete nel caso del cortocircuito monofase, non diano luogo a risonanze meccaniche.
Per evitare il problema è bene fare in modo che la frequenza fondamentale propria della sbarra $f s$ sia esterna all'intervallo di frequenze $30 \, \rm{Hz}<f<140 \, \rm{Hz}$ .
In genere deve essere verificata una delle due condizioni seguenti:

$f_s=\frac{{3{,}56}}{{{L^2}}}\sqrt {\frac{{EJ}}{{\rho A}}} \le 30$
$f_s=\frac{{1{,}57}}{{{L^2}}}\sqrt {\frac{{EJ}}{{\rho A}}} \ge 140$

$f s$ : fondamentale della sbarra in Hz
$L$ : distanza in m tra gli incastri
$E$ : modulo di elasticità del conduttore
$J$ : momento di inerzia
$ρ$ : densità del conduttore
$A$ : area della sezione del conduttore

In genere le soluzioni di costruttive adottate hanno frequenze naturali comprese tra i 200 Hz ed i 600 Hz. La probabilità di risonanza non è dunque alta, ma nemmeno trascurabile.

Esempio numerico

Sbarre in rame : a=10 mm b=30 mm
distanza tra gli appoggi L=25 cm
distanza tra sbarre d=10 cm
corrente di cortocircuito presunta: I_cp=16 kA -> I_pk=32 kA

forza agente sulla sbarra tra due appoggi

$d/a=10 \quad b/a=3 \to C \approx 1$
$F = 0{,}173 \times 1 \times \frac{{{{32}^2}}}{{0,1}} \times 0{,}25 = 443 \, {\rm{N}}$

frequenza propria delle barre

${E_{Cu}} = 1{,}2 \times {10^{11}} \, \frac{{{\rm{N}}}}{{{{\rm{m}}^2}}}$
${\sigma _{Cu}} = 8{,}9 \times {10^3} \, \frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}$

$J = \frac{{b{a^3}}}{{12}} = \frac{{30 \times {{10}^{ - 3}} \times {{\left( {10 \times {{10}^{ - 3}}} \right)}^2}}}{{12}} = 0{,}25 \times {10^{ - 8}} \, {{\rm{m}}^4}$

$A = 30 \times {10^{ - 3}} \times 10 \times {10^{ - 3}} = 3 \times {10^{ - 4}} \, {{\rm{m}}^2}$

La frequenza di risonanza propria più bassa è

$\frac{{1{,}57}}{{{L^2}}}\sqrt {\frac{{{E_{Cu}}J}}{{{\sigma _{Cu}}A}}} = \frac{{1{,}57}}{{6{,}25 \times {{10}^{ - 2}}}} \times \sqrt {\frac{{1{,}2 \times {{10}^{11}} \times 0{,}25 \times {{10}^{ - 8}}}}{{8{,}9 \times {{10}^3} \times 3 \times {{10}^{ - 4}}}}} = 25 \times 10{,}6 = 266 \, {\rm{ Hz}}$

Bibliografia e link

Complementi di impianti elettrici - Lorenzo Fellin ed. Diade, 1990
Quadri Elettrici - Carrescia-Scarioni - Ed. TNE
Quadri BT
Guida alla realizzazione di un quadro
Catalogo generale per quadri di distribuzione ABB

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