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Esercizi su transitori - 1

Di Giovanni Scghor c'è già un interessante articolo analisi dei transitori in un circuito elettrico. E' uno degli argomenti fondamentali e con cadenza regolare arrivano sempre nel forum richieste di aiuti per la soluzione di esercizi. I calcoli da svolgere in genere sono abbastanza lunghi, anche per circuiti non molto complessi, se svolti in modo tradizionale. Un ausilio notevole ovviamente è offerto dai programmi di simulazione, ma poiché, per usarli bene, occorre conoscere la materia più di loro, non è male, anzi è ancora in quest'epoca auspicabile, imparare a svolgerli con il metodo tradizionale.
La grandezza che si deve calcolare, corrente o tensione che sia, a partire da un certo istante in cui si verifica l'evento che altera il regime preesistente, si ottiene dalla somma di due termini.
Il primo è detto evoluzione libera e corrisponde alla soluzione di un'equazione differenziale che si ottiene annullando l'azione dei generatori. Il secondo è detto risposta forzata e corrisponde alla grandezza imposta dai generatori attivi.

L'evoluzione libera comprende delle costanti di integrazione i cui valori dipendono dalle condizioni in cui si trova il circuito nell'istante iniziale. In tale istante deve essere rispettata la continuità della tensione sui condensatori e quella della corrente negli induttori.
Nei due esercizi che seguono è usato il metodo tradizionale, sviluppato in tutti i passaggi, quindi è tracciando l'andamento delle grandezze trovate utilizzando un foglio excel. I risultati sono poi verificati con il simulatore LTSpice. I file di LTspice e di Excel sono scaricabili nella sezione download.

Indice

Esercizio del primo ordine

E' il classico circuito RC serie, alimentato da tensione sinusoidale. L'equazione differenziale risolutiva è del primo ordine (solo derivata prima)

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad t = 0}\\{{E_M}\sin \left( {\omega t + \alpha } \right) \quad t > 0}\end{array}} \right.
E=E_M/\sqrt 2
\begin{array}{l} X = \frac{1}{{\omega C}}\\ Z = \sqrt {{R^2} + {X^2}} \\ \vartheta = \arctan \frac{X}{R}\\ \dot Z = R - {\rm{j}}X = Z\angle - \vartheta \end{array}
Applicando LKV si ottiene l'equazione differenziale

RC\frac{{{\rm{d}}{u_c}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} + {u_c}\left( t \right) = e(t)

Soluzione

Evoluzione libera

Si risolve l'equazione differenziale precedente dopo aver annullato e(t) (omogenea associata)
\begin{array}{l} RC\frac{{{\rm{d}}{u_c}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} + {u_c}\left( t \right) = 0\\ RC\lambda + 1 = 0\\ \lambda = - \frac{1}{{RC}}\\ {u_c}\left( t \right) = A{e^{\lambda t}} = A{e^{ - \frac{t}{{RC}}}} \end{array}

Risposta forzata

Si applica LKV usando i fasori rappresentativi di tensione e corrente essendo il generatore sinusoidale. Quindi dal fasore si ritorna alla grandezza variabile nel tempo.
\begin{array}{l}\dot I = \frac{{\dot E}}{{\dot Z}} = \frac{{E\angle \alpha }}{{Z\angle - \vartheta }} = \frac{E}{Z}\angle \alpha + \vartheta \\{{\dot U}_C} = - {\rm{j}}X\dot I = \frac{E}{Z}X\angle \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)\\{i_p}(t) = \frac{E}{Z}\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \alpha + \vartheta } \right)\\{u_{cp}}\left( t \right) = \frac{E}{Z}X\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}

Costante di integrazione

Si impone la continuità della tensione sul condensatore, che è la somma dell'evoluzione libera e della risposta forzata. Dall'equazione risultante si ricava la costante dell'evoluzione libera.
\begin{array}{l}{u_c}\left( t \right) = {u_{cl}}\left( t \right) + {u_{cp}}\left( t \right)\\{u_c}\left( t \right) = A{e^{ - \frac{t}{{RC}}}} + \frac{E}{Z}X\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)\\{u_c}\left( {{0_ - }} \right) = {u_c}\left( {{0_ + }} \right) = {U_0}\\A = {U_0} - \frac{E}{Z}X\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) \end{array}

Tensione sul condensatore

\begin{array}{l} {u_c}\left( t \right) = \left[ {{U_0} - \frac{E}{Z}X\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]{e^{ - \frac{t}{{RC}}}} + \\ + \frac{E}{Z}X\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) \end{array}

Corrente nel condensatore

Calcolo secondo l'equazione costitutiva

\begin{array}{l} i(t) = C\frac{{{\rm{d}}{u_c}}}{{{\rm{d}}t}}\\ i(t) = - \frac{1}{R}\left[ {{U_0} - \frac{E}{Z}X\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]{e^{ - \frac{t}{{RC}}}} + \\ +\frac{E}{Z}X\sqrt 2 \omega C\cos \left( {\omega t + \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) \end{array}
\frac{X}{R} = \tan \vartheta = \frac{{\sin \vartheta }}{{\cos \vartheta }}

XωC = 1

i(t) = \left [- \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{E}{Z}\frac{{\sin \vartheta }}{{\cos \vartheta }}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) \right ]{e^{ - \frac{t}{{RC}}}}+
+ \frac{E}{Z}\sqrt 2 \cos \left( {\omega t + \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)

Calcolo con LKV

\begin{array}{l} i(t) = \frac{{e(t) - {u_c}(t)}}{R}\\ \\ i(t) = \frac{{{E_M}\sin \left( {\omega t + \alpha } \right)}}{R} - \left[ {\frac{{{U_0}}}{R} - \frac{E}{Z}\frac{X}{R}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]{e^{ - \frac{t}{{RC}}}} - \\ - \frac{E}{Z}\frac{X}{R}\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) \end{array}

Valore iniziale della corrente

i(0) = - \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{E}{Z}\frac{{\sin \vartheta }}{{\cos \vartheta }}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) + \frac{E}{Z}\sqrt 2 \cos \left( { \alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)
α = 0
i(0)= - \frac{{{U_0}}}{R} - \frac{E}{Z}\frac{{\sin \vartheta }}{{\cos \vartheta }}\sqrt 2 \cos \vartheta + \frac{E}{Z}\sqrt 2 \sin \vartheta = - \frac{{{U_0}}}{R} \begin{array}{l}\alpha = \frac{\pi }{2}\\i(0) = - \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{E}{Z}\frac{{\sin \vartheta }}{{\cos \vartheta }}\sqrt 2 \sin \vartheta + \frac{E}{Z}\sqrt 2 \cos \vartheta \\ = - \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{E}{Z}\sqrt 2 \left( {\frac{{{{\sin }^2}\vartheta + {{\cos }^2}\vartheta }}{{\cos \vartheta }}} \right) = - \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{E}{Z}\frac{{\sqrt 2 }}{{\cos \vartheta }} = \\ = - \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{{E\sqrt 2 }}{R} = \frac{{E\sqrt 2 - {U_0}}}{R}\end{array}
Oppure

i(0) = \frac{{{E_M}\sin \left( \alpha \right)}}{R} - \left[ {\frac{{{U_0}}}{R} - \frac{E}{Z}\frac{X}{R}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)} \right] -

- \frac{E}{Z}\frac{X}{R}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right)

\begin{array}{l}\alpha = 0\\ i(0) = - \frac{{{U_0}}}{R} + \frac{E}{Z}\frac{X}{R}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) -\\ - \frac{E}{Z}\frac{X}{R}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \vartheta - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{{{U_0}}}{R}\end{array}

Esempio numerico

C=10 \, \text{mF}

R=10 \, \Omega

f= 1 \, \text{Hz}
E_M=30 \, \text{V}
U_0=10 \, \text{V}
\alpha=\frac{\pi}{2}

\begin{array}{l} e(t) = 30\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\,{\rm{V}}\\ {u_c}\left( t \right) = \left[ {10 - \frac{{30}}{{18,8}}15,9\sin 57,8^\circ } \right]{e^{ - 10t}} + \frac{{30}}{{18,8}}15,9\sin \left( {\omega t + 57,8^\circ } \right)\\ {u_c}\left( t \right) = \left[ {10 - 25,3\sin 57,8^\circ } \right]{e^{ - 10t}} + 25,3\sin \left( {\omega t + 57,8^\circ } \right)\,{\rm{V}}\\ i(t) = \left( { - 1 + \frac{{30}}{{18,8}}1,59\sin 57,8} \right){e^{ - 10t}} + \frac{{30}}{{18,8}}\cos \left( {\omega t + 57,8^\circ } \right) \, {\rm{A}}\\ i(0) = - 1 + 2,15 + 0,85 = 2 \, {\rm{A}} \end{array}

Grafici con EXCEL

tensioni

tensioni

corrente

corrente

Controllo con LTSpice

RC.asc
Version 4
SHEET 1 976 680
WIRE 464 144 224 144
WIRE 224 240 224 144
WIRE 464 240 464 144
WIRE 464 384 464 320
WIRE 224 544 224 320
WIRE 464 544 464 448
WIRE 464 544 224 544
WIRE 224 592 224 544
FLAG 224 592 0
SYMBOL voltage 224 224 R0
WINDOW 3 -319 61 Left 2
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value SINE(0 30 1 0 0 90)
SYMBOL res 448 224 R0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 10
SYMBOL cap 448 384 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 10m ic=10V
TEXT 752 352 Left 4 !.tran 0 2 uic
RC.asc

RC.asc

L'intervallo della simulazione è fissato in due secondi nella direttiva .tran dove l'opzione uic permette di prendere in considerazione il valore iniziale della tensione sul condensatore, specificato accanto al componente, con ic=10 V

RCraw.png

RCraw.png

Esercizio del secondo ordine

Ora ci sono due capacità in due diverse maglie. L'equazione differenziale risolutiva è alla derivata seconda.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

i dati dell'esercizio sono i seguenti :

e(t)=0 \, \text{V} \quad t < 0
e(t)=30 \sqrt 2 \sin ( 100t) \quad t > 0
R_1= 4 \, \Omega
R_2 = 4 \, \Omega
C_3 = 2 \, \text{mF}
C_2 = 1 \, \text{mF}
Determinare la corrente i2

Evoluzione libera

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per il primo principio di Kirchhoff si ha
i3 + i1 + i2 = 0
quindi

{C_3}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_3}}}}}{{{\rm{d}}t}} - \frac{{{v_{AB}}}}{{R_1^{}}} + {C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} = 0
Poiché
\begin{array}{l} {v_{{C_3}}} = -{v_{AB}}\\ {v_{AB}} = -{v_{{C_2}}} - {R_2}{i_2} = -{v_{{C_2}}} - {R_2}{C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} \end{array}
derivando si ottiene
\frac{{{\rm{d}}{v_{AB}}}}{{{\rm{d}}t}} = -\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} - {R_2}{C_2}\frac{{{{\rm{d}}^2}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t^2}} = -\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_3}}}}}{{{\rm{d}}t}}
Sostituendo
{C_3}\left( {\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} + {R_2}{C_2}\frac{{{{\rm{d}}^2}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t^2}}} \right) + \frac{{\left( {{v_{{C_2}}} + {R_2}{C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)}}{{R_1^{}}} + {C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} = 0
{R_2}{C_2}{C_3}\frac{{{{\rm{d}}^2}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t^2}} + \left( {{C_3} + {C_2} + \frac{{{R_2}{C_2}}}{{R_1^{}}}} \right)\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{{{v_{{C_2}}}}}{{R_1^{}}} = 0
Con i valori del testo
8 \times {10^{ - 6}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} + 4 \times {10^{ - 3}}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} + \frac{{{v_{{C_2}}}}}{4} = 0
l'equazione differenziale risultante per v_{C_2} è del secondo ordine

\frac{{{{\rm{d}}^2}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} + 500\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} + 31250{v_{{C_2}}} = 0

che risolta fornisce
\begin{array}{l} {\lambda ^2} + 500\lambda + 31250 = 0\\ {\lambda _{1,2}} = \frac{{ - 500 \pm \sqrt {{{500}^2} - 4 \times 31250} }}{2}\\ {\lambda _1} = - 73\\ {\lambda _1} = - 427 \end{array}

{v_{{C_2}l}}\left( t \right) = A{e^{ - 73t}} + B{e^{ - 427t}}

Ora possiamo ricavare
\begin{array}{l}{i_{{2_l}}}\left( t \right) = {C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} = - 73{C_2}A{e^{ - 73t}} - 427{C_2}B{e^{ - 427t}}\\{i_{{2_l}}}\left( t \right) = - 0,073A{e^{ - 73t}} - 0,427B{e^{ - 427t}}\end{array}
\begin{array}{l} {v_{{C_3}l}}\left( t \right) = {v_{{C_2}l}}\left( t \right) + {R_2}{i_{{2_l}}}\left( t \right)\\ {v_{{C_3}l}}\left( t \right) = A{e^{ - 73t}} + B{e^{ - 427t}} - 0,292A{e^{ - 73t}} - 1,71B{e^{ - 427t}} = \\ = 0,708A{e^{ - 73t}} - 0,708B{e^{ - 427t}} \end{array}

Risposta forzata

\begin{array}{l} {X_{{C_3}}} = \frac{1}{{\omega {C_3}}} = \frac{1}{{100 \times 2 \times {{10}^{ - 3}}}} = 5\Omega \\ {X_{{C_2}}} = \frac{1}{{\omega {C_2}}} = \frac{1}{{100 \times 1 \times {{10}^{ - 3}}}} = 10\Omega \\ \dot Z = - {\rm{j}}{X_{{C_3}}} + \frac{{{R_1}\left( {{R_2} - {\rm{j}}{X_{{C_2}}}} \right)}}{{{R_1} + {R_2} - {\rm{j}}{X_{{C_2}}}}} = - {\rm{j}}5 + \frac{{4\left( {4 - {\rm{j}}10} \right)}}{{8 - {\rm{j}}10}} = \\ = - {\rm{j}}5 + \frac{{16 - {\rm{j}}40}}{{8 - {\rm{j}}10}} = - {\rm{j}}5 + \frac{{\left( {16 - {\rm{j}}40} \right)\left( {8 + {\rm{j}}10} \right)}}{{164}} = \\ = - {\rm{j}}5 + \frac{{128 + {\rm{j}}160 - {\rm{j}}320 + 400}}{{164}} = - {\rm{j}}5 + \frac{{628 - {\rm{j}}160}}{{164}} = 3,83 - {\rm{j}}5,96 = 7,08\angle - 57,2\\ {{\dot I}_{3}} = \frac{{{{\dot E}}}}{{\dot Z}} = \frac{{30}}{{7,08\angle - 57{,}2°}} = 4,24\angle 57,2^\circ \end{array}

\begin{array}{l} {{\dot I}_2} = - {{\dot I}_3}\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2} - {\rm{j}}{X_{{C_2}}}}} = - 4,24\angle 57,2^\circ \times \frac{4}{{8 - {\rm{j}}10}} = \\ = - 4,24\angle 57,2^\circ \times \frac{4}{{12,8\angle - 51,3}} = - 1,32\angle 108,5 = 1,32\angle - 71,5 \end{array}
{{\dot V}_{{C_2}}} = - {\rm{j}}{X_{{C_2}}}{{\dot I}_2} = - {\rm{j}}10 \times 1,32\angle - 71,5 = 13,2\angle - 161,5^\circ

{v_{{C_2},p}}\left( t \right) = 13,2 \times \sqrt 2 \sin \left( {100t - 161,5^\circ } \right)

i_{2_p}(t)= 1,32 \times \sqrt 2\sin (100t - 71,5^\circ )

\begin{array}{l} {{\dot V}_{{C_3}}} = {{\dot V}_{{C_2}}} + {R_2}{{\dot I}_2} = 13,2\angle - 161,5 + 5,28\angle - 71,5\\ - 12,5 - {\rm{j}}4,19 + 1,68 - {\rm{j}}5 = -10,8 - {\rm{j}}9,19 = 14,2\angle 220^\circ \end{array}

{v_{{C_3}p}}\left( t \right) = 14,2 \times \sqrt 2 \sin \left( {100t +220^\circ } \right)

costanti di integrazione

Occorre imporre la continuità della tensione sui due condensatori all'istante iniziale, in cui erano scarichi. Ciò dà luogo ad un sistema di due equazioni nelle incognite A e B
\begin{array}{l}{v_{{C_2}}}\left( {{0_ - }} \right) = {v_{{C_2}}}\left( {{0_ + }} \right) = 0\\A + B + 13,2 \times \sqrt 2 \sin \left( { - 161,5^\circ } \right) = A + B - 5,92 = 0\end{array}
\begin{array}{l} {v_{{C_3}}}\left( t \right) = {v_{{C_3}l}}\left( t \right) + {v_{{C_3}p}}\left( t \right) = \\ = 0,708A{e^{ - 73t}} - 0,708B{e^{ - 427t}} + 14,2 \times \sqrt 2 \sin \left( {100t +220^\circ } \right) \end{array}
\begin{array}{l} {v_{{C_3}}}\left( {{0_ - }} \right) = {v_{{C_3}}}\left( {{0_ + }} \right) = 0\\ 0,708A - 0,708B + 14,2 \times \sqrt 2 \sin \left( { 220^\circ } \right) = 0 \end{array}

\left\{ \begin{array}{l} A + B = 5,92\\ 0,708A - 0,708B = 12{,}9 \end{array} \right.

A = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {5,92}&1\\ {12{,}9}&{ - 0,708} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ {0,708}&{ - 0,708} \end{array}} \right|}} = \frac{{ - 4,2 - 12{,}9}}{{ - 0,708 - 0,708}} = \frac{{17,1}}{{1,42}} = 12
B = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{5,92}\\ {0,708}&{12{,}9} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ {0,708}&{ - 0,708} \end{array}} \right|}} = \frac{{12{,}9 - 4,2}}{{ - 0,708 - 0,708}} = -\frac{{8{,}7}}{{1{,}42}} = -6,12

Quindi

\begin{array}{l} {i_2}(t) = {i_{{2_l}}}\left( t \right) + {i_{2p}}\left( t \right)\\ {i_2}(t) = - 0{,}876{e^{ - 73t}} + 2,61{e^{ - 427t}} + 1,32 \times \sqrt 2 \sin (100t - 71,5^\circ ) \end{array}

\begin{array}{l} {v_{{C_3}}}\left( t \right) = {v_{{C_3}l}}\left( t \right) + {v_{{C_3}p}}\left( t \right) = \\ = 8{,}5{e^{ - 73t}} +4{,}33{e^{ - 427t}} + 14,2 \times \sqrt 2 \sin \left( {100t +220^\circ } \right) \end{array}

{i_1}(t) = \frac{{{v_{{C_3}}}}}{{{R_1}}} = 2,12{e^{ - 73t}} + 1,08{e^{ - 427t}} + 5\sin (100t + 220^\circ )

Grafici con excel per le correnti

Grafici delle correnti

Grafici delle correnti

Controllo con LTSpice

Il file .asc
Version 4
SHEET 1 920 680
WIRE -16 208 -64 208
WIRE 0 208 -16 208
WIRE 144 208 48 208
WIRE 224 208 144 208
WIRE 368 208 288 208
WIRE 144 320 144 208
WIRE 368 320 368 208
WIRE -64 336 -64 208
WIRE -64 496 -64 416
WIRE 144 496 144 400
WIRE 144 496 -64 496
WIRE 368 496 368 400
WIRE 368 496 144 496
WIRE 144 560 144 496
FLAG 144 560 0
SYMBOL res 128 304 R0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 4
SYMBOL res 352 304 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 4
SYMBOL cap 48 192 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C3
SYMATTR Value 2m ic=0
SYMBOL cap 288 192 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 1m ic=0
SYMBOL voltage -64 320 R0
WINDOW 3 509 219 Left 2
SYMATTR Value SINE(0 42.4 15.9 0 0 0 10)
SYMATTR InstName V1
TEXT 560 304 Left 2 !.tran 0 0.05 uic
schema

schema

Grafici delle correnti

Grafici delle correnti

Nota:
I(C3) = − i3(t)
I(C2) = i2(t)
I(R1) = − i1(t)
Grafici delle tensioni

Grafici delle tensioni

Nota:
V(n001) = e(t)
V(n002) = vAB(t)
V(n003) = − R2i2(t)

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LTspice

Excel

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Commenti e note

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di ,

Quanto scritto negli ultimi commenti, che è naturalmente una estrema semplificazione, deriva dalla mia personale esperienza nello scrivere simulatori negli anni ottanta, il primo sul Sinclair Spectrum e il secondo sull'Acorn Archimedes. Da allora i simulatori numerici sono progrediti molto e usano tecniche ben più sofisticate di quelle che ho descritto. Da molti anni non li seguo più e gran parte di essi non sono nemmeno Open Source. Comunque a giudicare dalle regolazioni i principi basilari sono sempre gli stessi.

Rispondi

di ,

Risposta: I simulatori non contengono formule di questo tipo ma solo matrici e pochi semplici calcoli su di esse (inversione, determinante, dot-product ecc...). Nessun programmatore sovrumano ha tradotto Laplace e compagni in chilometri di software. Il metodo che si usa per "risolvere" è molto più rozzo e banale. Si fa un passetto, piccolo a piacere, sperando di non divergere troppo e poi si fa un contro-passetto che aggiusta correnti e tensioni. E si ripete il tutto migliaia di volte per ogni microsecondo.
--------------------------------------------------------------------
Ogni tanto succede di divergere troppo e si verificano incongruenze troppo evidenti. Per cui si "cancella tutto", si torna indietro di un po' di microsecondi e si riprende ma con passetti un po' più piccoli per non sbagliare di nuovo.
-----------------------------------------------------------------
Niente a che vedere con la meravigliosa bellezza ed eleganza matematica delle formule presentate in questo articolo. Solo una cocciuta e ottusa ripetizione di ragionamenti molto più semplici ma di provata efficacia.

Rispondi

di ,

Guardando queste formule viene da chiedersi come sia possibile espanderle per un numero più alto di componenti. Anche solo per un singolo componente, ad esempio un regolatore 7805, i termini diventerebbero migliaia e le formule cosi complesse da rendere praticamente impossibile non solo risolverle, ma anche scriverle senza errori.
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Scrivo quindi questo commento per rispondere a domande che sorgono spontanee: Come possono i simulatori numerici contenere formule simili? I programmatori sono forse degli esseri sovrumani in grado di scrivere formule con diecimila o centomila termini senza sbagliare nemmeno un segno?
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La soluzione nel prossimo commento.

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Non per polemizzare, ma non è vero che usare la trasformata di Laplace conviene sempre nella pratica. Ci sono funzioni per le quali è molto difficile trovare l'anti-trasformata Alle volte i calcoli sono più semplici nel dominio del tempo. Dipende dall'equazione (circuito).

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Proprio per quanto evidenzi ho scritto "astratta" tra virgolette: perchè l'astrazione cui mi riferisco non è quella dal mondo fisico (nulla è meno astratto delle relazioni costitutive di un componente), bensì quella dalla pratica esecutiva.

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di ,

Il commento è contraddittorio @wruggeri. L'applicazione delle ODE è più immediata ed intuitiva dato che si lavora direttamente con le relazioni base tra tensione e corrente nel dominio del tempo. È semmai l'utilizzo della trasformata di Laplace ad essere astratta. Il fatto che i calcoli risultino più agevoli col secondo metodo nulla ha a che fare con l'astrazione.

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di ,

(Mi riferisco, ovviamente, alla risposta libera del secondo esercizio)

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di ,

Spiegazione ben realizzata, ma a mio avviso troppo "astratta": nell'ambito di un'analisi teorica va bene ricavare le equazioni differenziali, ma in pratica conviene sfruttare la trasformata di Laplace.

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