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Indice

1 Campi magnetici prodotti da circuiti elettrici
2 Coenergia
3 Energia magnetica volumica (o specifica)
4 usando FEMM
5 Riepilogo
6 Conclusione...per continuare
7 Bibliografia

Campi magnetici prodotti da circuiti elettrici

Lo studio del campo magnetico si è sviluppato quando è stato possibile produrre e misurare correnti elettriche, nei primi decenni del XIX secolo. I magneti permanenti si conoscevano già da secoli, ma erano, ed ancora lo sono, più difficili da trattare teoricamente. Lo dimostra anche il concetto di energia di un campo magnetico che, in generale, in un corso di elettrotecnica, parte dai circuiti elettrici.

Circuito elettrico singolo

Consideriamo un sistema fisico costituito da un circuito elettrico fermo, alimentato da un generatore ideale di tensione di forza elettromotrice $e$ (V : volt) . Sia $R$ ( $Ω$ : ohm) la resistenza del circuito. Sia $λ$ (Wb: weber) il flusso magnetico concatenato con il circuito e prodotto dalla corrente che lo percorre. Per la legge di Faraday-Lenz esso dà luogo ad una forza controelettromotrice, proporzionale alla velocità di variazione del flusso, quindi matematicamente calcolabile con la sua derivata. L'azione contemporanea della fem del generatore e della fem contraria indotta dal flusso, determina il valore istantaneo $i$ della corrente, in base all'equazione stabilita dal secondo principio di Kirchhoff:

$e - \frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}t}} = R i$

Moltiplicando primo e secondo membro per $i d t$ si ottiene

$e i d t - i d λ = R i 2 d t$

Poniamo

$d W g = e i d t$ : energia elettrica (J:joule) immessa nel circuito dal generatore nell'intervallo di tempo $d t$
$d W J = R i 2 d t$ : energia dissipata (J: joule)come calore sulla resistenza R per effetto Joule, nello stesso intervallo di tempo;
$d W λ = i dλ$ (J:joule)

Si ha ovviamente

$d W λ = d W g - d W J$

Tale grandezza rappresenta il divario tra l'energia elettrica immessa nel circuito dal generatore e l'energia dissipata in calore. La differenza tra le energie note, in entrata ed in uscita da un sistema, deve essere, per il principio di conservazione dell'energia, l'incremento di una nuova forma di energia. Nel caso specifico si tratta dell'energia associata al campo magnetico prodotto dalla corrente: la chiameremo energia magnetica, indicandola con $W λ$ , o anche energia intrinseca della corrente.

$d W λ$ rappresenta perciò l'energia magnetica immagazzinata nell'intervallo di tempo $dt$ nel campo magnetico in cui il circuito è immerso.

Possiamo anche porre

$d W e = d W g - d W J$

indicando con $d W e$ l'energia elettrica netta entrante nel sistema. Possiamo allora dire che l'incremento dell'energia elettrica netta entrante è uguale all'incremento dell'energia magnetica.

$d W e = d W λ = e λ i d t$

avendo posto

$e_\lambda=e-R i= \frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}t}}$

che rappresenta la fem indotta nel circuito dal campo magnetico; la possiamo immaginare come il mezzo di cui si serve il campo magnetico per scambiare energia con il circuito elettrico.

Se consideriamo un processo in cui il flusso concatenato con il circuito è inizialmente nullo, quando il suo valore è $λ$ , si potrà dire che l'energia magnetica complessivamente immagazzinata è la somma di tutte le energie elementari $d W λ$ . Ciò corrisponde al calcolo di un integrale

$W_{\lambda} = \int_0^{\lambda } {i} {\rm{d}}\lambda$

Se $n$ circuiti fanno parte del sistema, l' energia magnetica totale è la somma delle energie magnetiche relative ad ogni circuito:

$W_{\lambda} = \sum\limits_{i = 1}^n {W_{{\lambda},i} }$

Avvolgimento con N spire

I circuiti elettrici agenti nelle macchine elettriche sono avvolgimenti. Indicato con

$N$ il numero di spire
$φ$ : il flusso magnetico che attraversa una spira (Wb: weber)

nell'ipotesi che ogni spira sia interessata dal medesimo flusso, il flusso concatenato con l'avvolgimento è dato da:

$\lambda = N \varphi$

quindi

${\rm{d}} \lambda= N {\rm{d}} \varphi$

${\rm{d}}W_\lambda=i {\rm{d}} \lambda=N i {\rm{d}} \varphi =\Im {\rm{d}} \varphi$

$\Im = N i$ : forza magnetomotrice (A: ampere)

Mezzi lineari

Per il calcolo del precedente integrale, occorre conoscere il legame tra la corrente ed il flusso concatenato. Le caratteristiche magnetiche del mezzo in cui si sviluppa il campo magnetico sono determinanti. Se esiste diretta proporzionalità tra flusso e corrente, il mezzo si dice lineare. E' il caso del vuoto o dell'aria. Nei materiali ferromagnetici invece, tale proporzionalità non esiste nel completo campo di variazione della corrente, ma può esserci limitatamente ad un intervallo di valori.

Se il mezzo è lineare si può porre, per un singolo circuito percorso dalla corrente, $i$ , ipotizzata come l'unica sorgente del campo magnetico, quindi del flusso:

$λ = L i$

con $L$ costante, detto coefficiente di autoinduzione (H: henry). Si ha allora

$dλ = L d i$

quindi

$W_{\lambda} = L \int_0^{i} i {\rm{d}}i$

$W_{\lambda} = L \frac {i^2}{2}=\frac 1 2 \lambda i$

e per un avvolgimento

$W_{\lambda} = \frac 1 2 \Im \varphi$

L'energia magnetica di un tale sistema può essere vista come energia intrinseca della corrente $i$ .

Ciircuiti elettrici mutuamente accoppiati in mezzo lineare

2 circuiti

Indicato con $M$ il coefficiente di mutua induzione ( $H: h e n r y$ ) che stabilisce il flusso magnetico che la corrente di un circuito concatena con l'altro, si può porre , con ovvio significato dei simboli

$\begin{array}{l} \lambda _1 = L_1 i_1 + M i_2 \\ \lambda _2 = M i_1 + L_2 i_2 \\ \end{array}$

E' sempre

$\left| M \right| \le \sqrt {L_1 L_2 }$

Nota: il coefficiente di mutua induzione può essere sia positivo che negativo, a seconda che il flusso mutuo si sommi o si sottragga a quello prodotto dalla corrente nel circuito. I coefficienti di autoinduzione invece sono sempre positivi.

L'energia magnetica immagazzinata nel campo magnetico prodotto dalle correnti nei due circuiti è

$W_\lambda = \frac{1}{2}L_1 i_1^2 + \frac{1}{2}L_2 i_2^2 + M i_1 i_2$

Generalizzando per

n circuiti

$W_\lambda = \frac{1}{2} \sum\limits_{k = 1}^n {L_k i_k^2 } + \frac{1}{2}\sum\limits_{h = 1}^n {\sum\limits_{\scriptstyle k = 1 \atop \scriptstyle k \ne h}^n {M_{hk} i_h i_k } }$

Coenergia

Il legame tra flusso concatenato $λ$ e corrente $i$ , o tra flusso $\varphi$ e forza magnetomotrice $\Im$ , può essere rappresentato in un piano cartesiano. La curva che si ottiene è detta caratteristica di magnetizzazione e, per ogni configurazione geometrica della struttura se ne ottiene una diversa. In generale, in presenza di materiali ferromagnetici, non è lineare; lo è invece se il materiale in cui si sviluppa il campo è l'aria. Se si sviluppa anche nel ferro, come in ogni sistema elettromeccanico, si mantiene lineare fino a che l'induzione magnetica non supera un determinato valore. Quando lo supera, il materiale si dice in zona di saturazione. Se si è in zona lineare, si possono effettuare calcoli analitici e spesso, come prima approssimazione, si affronta il problema in tal modo. In zona non lineare i calcoli si possono effettuare solo per via grafica, o numerica, procedimento in genere indispensabile per affinare i calcoli di una prima approssimazione.

Energia e coenergia

L'energia magnetica calcolata con

$W_{\lambda} = \int_0^{\lambda } {i} {\rm{d}}\lambda$

corrisponde, nel piano cartesiano, all'area colorata in giallo.

L'area bianca corrisponde ad una grandezza detta coenergia calcolabile con l'integrale

$W_{\lambda}' = \int_0^{i } {\lambda} {\rm{d}}i$

La somma di energia e coenergia è il prodotto della corrente per il flusso concatenato (o della forza magnetomotrice per il flusso) che corrisponde all'area del rettangolo; nel caso di materiale lineare, energia e coenergia siano uguali (la caratteristica è la diagonale del rettangolo). La coenergia non ha lo stesso importante significato dell'energia, ma è un concetto utile nel calcolo delle forze elettromeccaniche.

Energia magnetica volumica (o specifica)

Le precedenti espressioni dell'energia magnetica sono ricavate a partire dalle correnti che producono il campo magnetico. Ci sono poco utili per calcolare l'energia di un campo non prodotto da correnti, come nel caso di magneti permanenti.

Il campo magnetico occupa un volume fisico e, per ogni punto di esso è definita e misurabile l'induzione magnetica $B$ (T: tesla). In base ad una caratteristica del mezzo, detta permeabilità magnetica del mezzo assoluta $μ$ ( H/m: henry al metro), si associa all'induzione magnetica il campo magnetico , $H$ (A/m: ampere al metro) secondo la relazione vettoriale:

$\vec B=\mu \vec H$

La permeabiltà assoluta di un qualsiasi mezzo è di solito rapportata alla permeabilità assoluta del vuoto,

$\mu_0=4 \pi \times 10^{-7} \, \frac {\text{H}}{\text{m}}$

introducendo in tal modo il concetto di permeabilità relativa

$\mu_r= \frac {\mu}{\mu_0}$

Il calcolo dell'energia magnetica del campo a partire dalle grandezze specifiche intrinseche è il più generale, in quanto non più vincolato ai circuiti elettrici. Esso si avvale della nozione di energia magnetica specifica o volumica o densità di energia magnetica, che esprime l'energia da attribuire all'unità di volume $\left( {\frac{\text{J}}{{\text{m}^3 }}} \right)$ .

L'espressione teorica è

$w_\lambda = \int_0^B {\vec H \times {\rm{d}}\vec B}$

Non è evidentemente un calcolo agevole, per il caso generale, cioè con permeabilità del mezzo non costante al variare di B.

Scambiando $\vec B$ con $\vec H$ si ha la coenergia volumica

$w_\lambda' = \int_0^H {\vec B \times {\rm{d}}\vec H}$

Nel caso di un materiale a permeabilità costante, sostituendo $\vec H$ con $\frac {\vec B}{\mu}$ si ottiene l'espressione

$w_\lambda=\frac 1 2 \frac {B^2}{\mu}$

o anche

$w_\lambda=\frac 1 2 \mu H^2$

$w_\lambda=\frac 1 2 B H$

Il calcolo dell'energia totale del campo resta ancora comunque, anche nel caso di mezzi a permeabilità costante, di una notevole complessità dovendo calcolare un integrale esteso al volume occupato dal campo:

in generale:

$W_\lambda = \int_V {w_\lambda {\rm{d}}V = } \int_V {\left( {\int_0^B {\vec H \times {\rm{d}}\vec B} } \right) {\rm{d}}V}$

e con permeabilità costante

$W_\lambda = \frac{1}{2}\int_V {\left( {\vec H \times \vec B} \right) {\rm{d}}V}$

Il calcolo si semplifica se il campo è costante nel volume: basta moltiplicare l'espressione dell'energia specifica per il volume.

$W_\lambda = \frac{1}{2}B H \cdot V$

Generalmente non si possiede un'espressione analitica esplicita dell'energia specifica. Si procede allora al calcolo numerico, suddividendo il volume in volumi più piccoli in cui si possano ritenere B ed H costanti, sommando poi le energie relative ad ogni volume parziale. Più la suddivisione è spinta, più il calcolo è preciso. A mano si tratterebbe comunque di un'operazione estenuante: ma ci sono i calcolatori...

Ed allora ecco un esercizio

usando FEMM

La figura rappresenta la sezione di un magnete a stantuffo cilindrico. Alimentando l'avvolgimento con una corrente di 5 A lo stantuffo effettua la corsa di 1,8 cm. Calcoliamo energia e coenergia, quando il traferro centrale è 4 mm e 18 mm.

Magnete a stantuffo

Tracciato il disegno con FEMM

stant_disegno.jpg

con gli strumenti calcola e traccia grafico si ottiene l'andamento del campo.

Quindi, dopo aver scelto il primo pulsante cerchiato, si clicca sulle sezioni dei volumi che interessano; esse si coloreranno di verde indicando di essere state selezionate. A questo punto cliccando sul secondo pulsante cerchiato, quello con il simbolo dell'integrale, appare una finestra in cui si sceglie quel che si desidera calcolare: energia magnetica, coenergia (ed anche molto altro). Nella figura sono mostrati i risultati delle energie per ogni volume ed i totali di energia e coenergia.

Energie e coenergia a 4 mm

L' energia immagazzinata si concentra prevalentemente nell'aria del traferro che separa la parte mobile da quella fissa. L'energia magnetica totale vale $W_\lambda=7,67 \, J$ mentre la coenergia vale $W_\lambda'=8,3 \, J$ La figura seguente mostra la situazione con traferro centrale di 18 mm.

Energie e coenergia a 18 mm

L'energia magnetica totale è $W_\lambda=3,02 \, J$ , uguale alla coenergia $W_\lambda'=3,02 \, J$ .

E' un' uguaglianza che non ci deve sorprendere: il traferro è notevole ed in pratica la caratteristica di magnetizzazione è, per quella posizione, una retta. La struttura che supporta il campo magnetico è cioè lineare e per tali mezzi energia e coenergia sono identiche.

La differenza tra energia e coenergia indica una caratteristica di magnetizzazione non lineare, cosa che si ha quando il materiale magnetico va in saturazione. A 4 mm tale differenza c'è già, quindi si è in saturazione. Diminuendo ulteriormente il traferro la differenza dovrebbe aumentare. Difatti troveremo, a 2 mm: $W_\lambda=7,4 \, J$ , $W_\lambda'=11,4 \, J$

Riepilogo

Ok.

Ora conosciamo la definizione di energia magnetica. Ed anche quella di coenergia. Le sappiamo anche calcolare. Sappiamo che esistono espressioni con integrali tripli che non riusciremo mai a risolvere analiticamente e che, a mano, siamo in grado di calcolarle in situazioni semplicissime. C'è comunque chi ha realizzato software, tipo FEMM, che ci libera da noiosi e lunghi calcoli, rendendo addirittura divertente eseguirli a ripetizione, variando a i parametri del sistema fisico, per studiarne il comportamento, ottenendo immagini colorate di un certo fascino che permettono anche di realizzare animazioni come questa:

Stantuffo in moto

Impensabile non molto tempo fa per tecnici, studenti o prof. "normali"

Ma che ce ne facciamo di questa energia magnetica? Per non parlare della coenergia..!

Beh, l'energia è un concetto fondamentale della fisica, e molti problemi si affrontano e si risolvono proprio ricorrendo al principio di conservazione dell'energia, altrimenti noto come primo principio della termodinamica.

Il fatto che l'energia magnetica vari in conseguenza di spostamenti meccanici, suggerisce che essa sia legata alla forza che tali variazioni produce, quindi permetta di determinarla. Ed è così in effetti.

Con il suo movimento di 14 mm verso l'alto, lo stantuffo dell'esempio, mentre la corrente nell'avvolgimento resta costante, fa aumentare l'energia magnetica complessiva di 7,67-3,02= 4,65 J. La forza che ha spostato lo stantuffo ha compiuto un lavoro meccanico. Può apparire strano che il movimento "spontaneo" dello stantuffo provochi un aumento dell'energia, invece di una diminuzione: i sistemi fisici tendono sempre ad una situazione di equilibrio che corrisponde ad un minimo dell'energia immagazzinata: tutti sappiamo che una palla si stabilizza in una cunetta e non su un dosso. Bisogna però tenere conto di tutte le energie in gioco. Nel caso dell'esempio, la corrente è mantenuta costante e, per farlo, il generatore che alimenta l'avvolgimento deve fornire l'energia per mantenerla tale, in quanto la forza elettromotrice indotta per reazione dal flusso, che varia in conseguenza del movimento meccanico, tenderebbe a ridurla. Nel bilancio energetico occorre considerare l'energia immessa nel sistema dal generatore, e si troverà che essa deve essere uguale alla somma dell'energia magnetica e del lavoro meccanico. Possiamo osservare che anche la coenergia aumenta, tra l'altro piu' dell'energia, come si è visto, e tanto più quanto più si entra in zona di saturazione.

Se il generatore elettrico non ci fosse, il movimento spontaneo avverrebbe unicamente a spese dell'energia magnetica, che diminuirebbe proprio della quantità corrispondente al lavoro.

Succede ad esempio inserendo un magnete permanente (Neodimio-Ferro-Boro) e togliendo l' avvolgimento. L'energia magnetica totale passa da 11 J a 7,7 J.

StantMP.jpg

.

Conclusione...per continuare

Un qualsiasi accoppiamento che realizza un trasferimento-trasformazione di energia, avviene in modo tale che il sistema che assorbe energia, produce una reazione nel sistema che la eroga. Nel caso di un accoppiamento meccanico realizzato con una cinghia di trasmissione, il sistema trainato oppone al trainante una forza resistente. La potenza trasmessa è il prodotto della forza resistente per la velocità.

Nel caso di un accoppiamento realizzato per mezzo di un campo magnetico, tra un sistema elettrico erogatore di energia ed un sistema meccanico, la reazione è la forza elettromotrice indotta dal campo magnetico variabile nel circuito elettrico. La potenza trasferita è il prodotto di tale fem per la corrente.

Il discorso è reversibile nel caso dei generatori: il campo magnetico che realizza l'accoppiamento fornisce energia al sistema elettrico mediante la fem indotta e la reazione è una forza resistente per il sistema meccanico.

Il campo magnetico può essere assimilato ad un serbatoio che fornisce energia al sistema che la richiede, prelevandola dal sistema che la eroga imponendogli una reazione. Il serbatoio deve avere una capacità adeguata ed essere riempito della corretta quantità di energia, perché tutto funzioni: l'energia contenuta in tale serbatoio è l'energia magnetica.

Bibliografia

Elettrotecnica generale - Giovanni Someda

Macchine Elettriche- Fitzgerald-Kingsley-Kusko

Eletttromagnetismo - Alessandro Bettini

Fisica - Hans C. Ohanian

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Energia del campo magnetico

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Ciircuiti elettrici mutuamente accoppiati in mezzo lineare

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