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Macchina elettrica elementare

Indice

Accoppiamento magnetico

Una qualsiasi macchina elettrica si basa sull’accoppiamento magnetico tra almeno due circuiti elettrici o tra un circuito elettrico ed un magnete.

Nelle macchine rotanti un insieme di circuiti o di magneti è in movimento rispetto ad altri circuiti.

L’accoppiamento è dato dal flusso magnetico che si concatena con i circuiti, cioè, qualitativamente almeno, dalle linee magnetiche che attraversano la superficie delimitata dai conduttori che costituiscono gli avvolgimenti.

Il flusso può essere variabile per due ragioni:

1 - la variazione delle correnti che lo producono

2 - il movimento relativo dei circuiti.

Un flusso variabile provoca, nel circuito cui si concatena, una forza elettromotrice, regolata dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz, che si oppone alla causa che l’ ha generata.

La f.e.m. indotta può essere

  • di tipo trasformatorico (variazione delle correnti nei circuiti induttori);
  • di tipo mozionale (movimento relativo tra circuiti induttori e circuiti indotti).

E’ al secondo tipo che si deve la trasformazione di potenza elettrica in meccanica nei motori elettrici (o viceversa, nei generatori). Alle fem trasformatorica è attribuibile solo un trasferimento di potenza elettrica.

Quanto detto si traduce, per ogni circuito, in una relazione matematica, che è la scrittura del secondo principio di Kirchhoff, fra le tre grandezze elettromagnetiche:

  • u(t): tensione applicata
  • i(t): corrente nel circuito
  • λ(t): flusso magnetico concatenato con il circuito

u(t) = R  i(t) + \frac{{d\lambda (t)}}{{dt}}

con

R: resistenza del circuito

L’operazione di derivata è in genere, per comodità di scrittura, sostituita dall’operatore

s = \frac{d}{{dt}}


per cui l’espressione precedente assume questa forma

u(t) = Ri(t) + sλ(t)

L’espressione è, di per sé, abbastanza semplice. Ma non c'è un solo circuito da esaminare in una macchina, ma più circuiti tra loro interagenti per accoppiamento magnetico. Le cose perciò si complicano rapidamente, per cui non si deve risolvere una sola equazione differenziale, ma un sistema di equazioni differenziali. L’ innocuo λ, simbolo che rappresenta il flusso concatenato, nasconde una espressione complicata. Esso è infatti la somma algebrica del flusso prodotto dallo stesso circuito (flusso di autoinduzione) e di quello prodotto dalle correnti circolanti negli altri circuiti (flussi di mutua induzione). Indicando con Lkk il coefficiente di autoinduzione del circuito k e conLkj il coefficiente di mutua induzione tra il circuito k ed il circuito j, considerando n circuiti, il flusso concatenato con il circuito k sarà dato da:

λk = Lk1i1 + Lk2i2 + ... + Lkkik + Lk + 1ik + 1 + ... + Lknin

L’espressione precedente non è solo complessa per il numero di termini da considerare, ma anche per il fatto che i coefficienti di auto e mutua induzione, dipendono dalla configurazione che assume il circuito magnetico al variare della posizione dei circuiti.

Macchina bipolare elementare

E' costituita da uno statore, corona cilindrica in materiale magnetico, e da un rotore, cilindro coassiale pure in materiale magnetico, separato dallo statore da una corona cilindrica di aria: il traferro. Alloggiati in cavità diametralmente opposte, della periferia interna di statore ed esterna di rotore, percorsi rispettivamente dalle correnti i1, ed i2, stanno i conduttori che, in serie tra loro, costituiscono, rispettivamente, l'avvolgimento di statore, fisso, e di rotore, mobile. Gli avvolgimenti sono schematizzati in figura come solenoidi rettilinei, usando il simbolo dell’induttanza. Il + indica il terminale da cui entra la corrente per dar luogo ad un campo positivo, indicato dalla freccia sull'asse. La crocetta sui conduttori indica corrente entrante; il punto, corrente uscente. Nella figura i campi prodotti dall'avvolgimento di statore e di rotore, sono rappresentati separatamente, mediante le linee. (Le immagini sono ricavate utilizzando FEMM).

Campi di statore e di rotore

Campi di statore e di rotore

Nella figura seguente sono rappresentati i due avvolgimenti che agiscono contemporaneamente dando luogo al campo magnetico risultante di cui sono rappresentate le linee, e, a tratteggio l’asse.

L’asse del campo magnetico prodotto dall’avvolgimento di statore, che pensiamo fisso, forma, con l’asse del campo magnetico di rotore, un angolo θ. Tale angolo varia nel tempo con la rotazione del rotore.

Macchina bipolare elementare

Macchina bipolare elementare

Equazioni elettriche

Le equazioni dei due circuiti sono:

\begin{array}{l}
 u_1  = R_1   i_1  + s  \lambda _1  \\ 
 u_2  = R_2   i_2  + s  \lambda _2  \\ 
 \end{array}

con

\begin{array}{l}
 \lambda _1  = L_{11}   i_1  + L_{12}   i_2  \\ 
 \lambda _2  = L_{21}   i_1  + L_{22}   i_2  \\ 
 \end{array}

Trascurando la disuniformità introdotta dalle cavità in cui sono alloggiati i conduttori, la configurazione del circuito magnetico "visto" da un avvolgimento non cambia con la rotazione del rotore. Ciò equivale a considerare costanti i coefficienti di autoinduzione L11 ed L22

Il coefficiente di mutua induzione invece varia. Considerando L12 = L21 = M si può porre

M = Ldcosδ

  1. δ = pθ : angolo elettrico
  2. p: coppie polari dell’avvolgimento
  3. θ: angolo meccanico tra gli assi
  4. Ld:coefficiente di mutua induzione corrispondente al massimo accoppiamento, che si ha quando gli assi magnetici sono coincidenti.

L’angolo θ dipende dal tempo, per cui, indicando con Ω la velocità, costante, di rotazione, sarà

\Omega  =\frac d {dt}  \theta= s  \theta  = \frac{{s  \delta }}{p} = \frac{\omega }{p} = \frac{{2\pi f}}{p}

  • Ω: velocità angolare (rad / s)
  • \omega= s  \delta = \frac d {dt}  \delta: pulsazione elettrica (rad / s)
  • f : frequenza (Hz)

Sarà allora


\begin{array}{l}
 s  \lambda _1  = \frac{d}{{dt}}\left( {L_{11}   i_1  + M  i_2 } \right) = L_{11}   \frac{d}{{dt}}i_1  + M\frac{d}{{dt}}i_2  + i_2   \frac{d}{{dt}}L_{12}  =  \\ 
  = L_{11}  \frac{d}{{dt}}i_1  + M\frac{d}{{dt}}i_2  + i_2   \frac{d}{{dt}}\left( {L_d   \cos \delta } \right) =  \\ 
  = L_{11}   \frac{d}{{dt}}i_1  + M\frac{d}{{dt}}i_2  - i_2   L_d   \sin \delta   \frac{{d\delta }}{{dt}} =  \\ 
  = L_{11}   \frac{d}{{dt}}i_1  + M\frac{d}{{dt}}i_2  - i_2   L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)  p  \frac{{d\theta }}{{dt}} =  \\ 
  = L_{11}   s  i_1  + M  s  i_2  - i_2   s  \theta   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right) =  \\ 
  = L_{11}   s  i_1  + M  s  i_2  - i_2   p  \Omega   L_d   \sin \left( {p  \theta } \right) =  \\ 
  = L_{11}   s  i_1  + M  s  i_2  - i_2   \omega   L_d   \sin \delta  \\ 
 \end{array}


dividendo per l’operatore s

\lambda _1  = L_{11}   i_1  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  i_2  - i_2   \theta   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)

ed analogamente

\lambda _2  = L_{22}   i_2  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  i_1  - i_1   \theta   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)

Le equazioni dei due circuiti diventano

\begin{array}{l}
 u_1  = R_1   i_1  + s  \left( {L_{11}   i_1  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  i_2  - i_2   \theta   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)} \right) \\ 
 u_2  = R_2   i_2  + s  \left( {L_{22}   i_2  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  i_1  - i_1   \theta   p  L_d  \cdot \sin \left( {p  \theta } \right)} \right) \\ 
 \end{array}

quindi

\begin{array}{l}
 u_1  = \left( {R_1  + s  L_{11} } \right)  i_1  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  s  i_2  - \Omega   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)  i_2  \\ 
 u_2  = \left( {R_2  + s  L_{22} } \right)  i_2  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  s  i_1  - \Omega   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)  i_1  \\ 
 \end{array}

posto

\begin{array}{l}
 E_{t1,2}  = L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  s  i_2  = L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  \frac{d}{{dt}}i_2  \\ 
 E_{t2,1}  = L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  s  i_1  = L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  \frac{d}{{dt}}i_1  \\ 
  \\ 
 E_{m1,2}  =  - \Omega   p  L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)  i_2  =  - \omega   L_d   \sin \delta   i_2  \\ 
 E_{m2,1}  =  - \Omega   p \cdot L_d   \sin \left( {p  \theta } \right)  i_1  =  - \omega   L_d  \cdot \sin \delta   i_1  \\ 
 \end{array}

le prime due sono forze elettromotrici trasformatoriche, cioè prodotte da un circuito nell’altro accoppiato, per effetto della variazione della corrente; le seconde due sono forze elettromotrici mozionali proporzionali alla velocità relativa tra i due circuiti. Si ha

\begin{array}{l}
 u_1  = \left( {R_1  + s  L_{11} } \right)  i_1  + E_{t1,2}  + E_{m1,2}  \\ 
 u_2  = \left( {R_2  + s  L_{22} } \right)  i_2  + E_{t2,1}  + E_{m2,1}  \\ 
 \end{array}

Coppia e potenza

La coppia meccanica può essere ricavata derivando rispetto all'angolo θ, e cambiando di segno, l'espressione dell'energia magnetica immagazzinata espressa in funzione dei flussi e dell'angolo, e considerando costanti i flussi, o derivando, sempre rispetto all'angolo θ, l'espressione della coenergia espressa in funzione delle correnti e dell'angolo (Coppie e forze per macchine elettriche).

Se tra forze magnetomotrici e flussi magnetici le relazioni sono lineari, il che significa considerare costante la permeabilità dei materiali magnetici, per il modello in esame, le induttanze L11 ed L12 e la mutua induttanza Ld, sono costanti.. L'ipotesi di linearità è praticamente verificata finché si può trascurare, nel percorso di una linea magnetica, la tensione magnetica nel ferro rispetto a quella del traferro.

L'espressionie dell’energia magnetica immagazzinata nei due circuiti mutuamente accoppiati, uguale a quella della coenergia per l'ipotesi di linearità ammessa, è data da



\begin{array}{l}
 W_\lambda =W'_\lambda  = \frac{1}{2}  L_{11}   i_1^2  + \frac{1}{2}  L_{22}   i_2^2  + M  i_1   i_2  =  \\ 
  = \frac{1}{2}  L_{11}   i_1^2  + \frac{1}{2}  L_{22}   i_2^2  + L_d   \cos \left( {p  \theta } \right)  i_1   i_2  \\ 
 \end{array}

L'unico termine dipendente dall'angolo di rotazione è il terzo; derivando rispetto ad esso si ottiene la coppia agente

C = \frac{{dW'_\lambda }}{{d\theta }} =  - L_d   i_1   i_2   p  \sin \left( {p  \theta } \right)

Il segno negativo della coppia indica che essa agisce nel senso di far diminuire l’angolo meccanico tra gli assi magnetici, cioè tende ad allinearli.

La potenza meccanica è


 P_{mecc}  = C  \Omega= - L_d   i_1   i_2   \Omega   p  \sin \left( {p t \theta } \right)=

=  - \omega   L_d   i_1   i_2   \sin \left( {p  \theta } \right) =E_{m2,1}   i_2  = E_{m1,2}   i_1


espressione che mostra come la potenza elettrica che si trasforma in meccanica è il prodotto delle forze elettromotrici mozionali per la corrente nei rispettivi avvolgimenti.

Le forze elettromotrici mozionali sono dunque i termini dello scambio di potenza tra il sistema elettrico e quello meccanico.


Esercizi

Tracciare l'andamento della coppia

mel.gif

mel.gif


per una rotazione completa della macchina elementare che ha le seguenti caratteristiche:

  • Avvolgimento di statore: 400 spire percorse da corrente costante di 10 A, (con AWG 10).
  • Avvolgimento di rotore con 300 spire percorse da corrente costante di 10 A (con AWG 10).
  • Diametro di statore: 50 cm. Diametro di rotore: 29 cm. Lunghezza 50 cm.
  • Acciaio M-15.

Eseguiamo la simulazione con FEMM.


Calcoliamo la coenergia dopo ogni angolo di rotazione di 5°.

Eseguiamo il rapporto tra l'incremento della coenergia e l'angolo di rotazione espresso in radianti: si ottiene la coppia media agente per quella rotazione parziale.

A partire dalla configurazione iniziale la coppia è negativa, cioè agisce in senso contrario alla rotazione, quindi in senso orario; tale rimane per mezzo giro.

Al successivo mezzo giro, la coppia diventa positiva.

La coppia media per una rotazione completa è nulla.

La configurazione iniziale è dunque quella di equilibrio ed il rotore assumerà e manterrà quella posizione mantenendo costanti le correnti.

Coenergia, energia, coppia

Coenergia, energia, coppia

Nota: Il file FEMM ed il foglio di calcolo sono scaricabili da qui

Calcolare la coppia media

supponendo continua la corrente di rotore ed alternata quella di statore.

Se le correnti nei due avvolgimenti sono continue, la coppia media per ogni rotazione completa, o per qualsiasi angolo multiplo di  \frac {2 \pi} p è nulla, come si è visto nel precedente esercizio.

Per ottenere coppia, motrice o resistente, occorre che almeno un avvolgimento sia alimentato con corrente alternata.

Per semplicità di calcolo, immaginiamo un generatore ideale di corrente alternata che alimenta l'avvolgimento di statore:

i1 = I1cosω1t

ed uno ideale di corrente continua per l'avvolgimento di rotore:

i2 = I2

Sia costante la velocità di rotazione del rotore Ω. Quindi l'angolo tra gli assi magnetici varia secondo la legge:

θ = Ωt + α

La coppia varia nel tempo:

C(t) = - L_d   I_1    \cos \omega_1 t  I_2   p  \sin \left( {p   (\Omega t + \alpha) } \right)

Posto

\omega_2=\Omega \cdot p

\beta = p \cdot \alpha

si ha:

C(t) = - L_d   I_1    \cos \omega_1 t  I_2   p  \sin \left( {\omega_2 t + \beta } \right)

e, sfruttando scomposizioni trigonometriche:

C(t) =  - \frac{p}{2}  L_d   I_1   I_2   \left( {\sin \left( {\left( {\omega _1  + \omega _2 } \right)  t + \beta } \right) + \sin \left( {\left( {\omega _1  - \omega _2 } \right)  t + \beta } \right)} \right)

Anche in tal caso la coppia media è nulla per una rotazione completa se \omega _1  \ne  \pm \omega _2

Nel caso invece in cui sia \omega _1  =  \pm \omega _2 ( il che significa rotazione oraria od antioraria alla stessa velocità \Omega = \frac {\omega_1}{p} ) si ha:


C(t) =  - \frac{p}{2}  L_d  I_1  I_2  \left( {\sin \left( {2  \omega _1  t + \beta } \right) + \sin \beta } \right)

il cui valore medio è

C =  - \frac{p}{2} L_d  I_1  I_2  \sin \beta

Bibliografia & links

Appendice

rini, che ringrazio

ha migliorato il primo esercizio dotandolo dello script lua, che è di seguito riportato, che consente di automatizzare tutte le operazioni di calcolo e di calcolare immediatamente anche la coppia.

Il file FEMM e lo script associato sono scaricabili da qui

showconsole()
clearconsole()
print("                posizione [deg] Coppia [N m]    W [J]   W' [J]")

--gruppi da impostare nel disegno del motore 
-- 1 rotore
-- 2 statore

incremento=5 --[deg]

for n=0,360,incremento do
    mi_saveas("temp.fem")      --in questo modo lavoro su un file temporaneo
    mi_analyze()               --e l'equivalente della rotellina
    mi_loadsolution()          --carico la soluzione nel postprocessor
    mo_groupselectblock(1)     --seleziono il gruppo 1 (cioè il rotore)
    f=mo_blockintegral(22)     -- coppia
    mo_groupselectblock(2)
    W=mo_blockintegral(2)      -- Energia magnetica del sistema
    W1=mo_blockintegral(17)    -- Coenergia magnetica del sistema


    mo_clearblock() -- deseleziono tutto
    print("    ",n,f,W,W1)
    --mo_showdensityplot(-1,0,0.7,1.4,"bmag")
    --mo_savebitmap("pippo"..n..".bmp")
    mo_close()
    mi_selectgroup(1)
    mi_moverotate(0,0,incremento)
end
  • Si apre in FEMM il file ModificaElementare_rini_1.femm.
  • Quindi con File > Open LUA Script si apre il file ruota.lua
  • Show console: mostra la console e una sorta di prompt dove inserire il codice e dove vengono visualizzati i dati di interesse;
  • clearconsole non fa altro che pulire la console di FEMM
  • Mo_savebitmap serve per salvare degli screenshot delle immagini ed è utile per realizzare filmati od animazioni. In tal caso occorre eliminare le lineette "--" dalle istruzioni, inserendo al posto di "pippo" il nome che si desidera

L'istruzione print stampa i dati di calcolo nella finestra consolle che possono poi essere trasferiti sul foglio elettronico per tracciare i grafici.

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Commenti e note

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di ,

Articolo interessantissimo !!! lo stampo e conservo il pdf anche perchè per comprenderlo bene servirà più di una lettura

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di ,

articolo veramente interessante, debbo confessarvi però, che tutte quelle formule per me sono davvero difficili da digerire. questo, comunque, è un mio problema. ciao e ancora complimenti.

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di ,

I miei complimenti ad admin per l'articolo, la teoria unificata delle macchine elettriche rotanti è ormai diventata un punto di passaggio obbligato per il campo applicativo. Noto con piacere che sia admin, che rini con il suo contributo, sono diventati degli esperti nell'uso di FEMM e degli script Lua! Electroportal è ormai all'avanguardia nel campo!

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di ,

Rini, ti ringrazio dei consigli. Gli andamenti di coppia li ho tracciati manualmente. Avevo in mente uno script lua, ma non l'ho ancora fatto. Tra l'altro mi interessava farlo anche imponendo ad uno degli avvolgimenti una corrente sinusoidale, come nel secondo esercizio. Se lo fai tu te ne sarei molto grato, ed aggiungerei il tuo contributo all'articolo ed al file scaricabile. Ti ringrazio in anticipo. Ciao

Rispondi

di ,

Gran bel lavoro admin, i tuoi articoli sono sempre tra i miei preferiti. Ti do un consiglio, per il modello che hai costruito tramite FEMM. HO visto che hai creato 4 circuiti. Per identificare le 2 direzioni delle correnti nel circuito di statore e di rotore. In realtà ne basterebbero solo 2, e per dire a FEMM che una corrente va in un verso e nella parte diametralmente opposta [da un punto di vista elettrico intendo :)] nell'altro verso è sufficiente inserire come numero di avvolgimento -400 in questo modo FEMM lo capisce in automatico, ed è sufficiente inserire un solo circuito, per statore e per rotore. Ma sono curioso di sapere una cosa... per tracciare gli andamenti di coppia hai utilizzato uno script lua vero? Se non è così te ne scrivo uno io che automatizza la procedura che hai fatto!

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