Quattro esercizi sull'asincrono

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Indice

1 Es. 1: flussi di potenza dalla linea all'albero motore
2 Es.2: Coppia e potenza
3 Es.3: Coppia, potenza, rendimento
4 Es.4: determinazione e uso del circuito equivalente
5 Links

Es. 1: flussi di potenza dalla linea all'albero motore

Flussi di potenza in un motore asincrono

Di un motore asincrono trifase sono note:

Tensione nominale: $U_n=400 \,V$
frequenza: $f=50 \,Hz$
corrente nominale: $I_n=227 \,A$
fattore di potenza nominale: $cosφ n = 0,89$
perdite meccaniche: $P_{mp}=0,9 \, kW$
perdite nel ferro: $P_{fp}=0.9 \,kW$
perdite nel rame di statore: $P_{ep1}=3.8 \,kW$
perdite nel rame di rotore: $P_{ep2}=2.4 \, kW$

Trascurando le perdite addizionale, determinare:

la potenza trasferita elettromagneticamente da statore a rotore
la potenza convertita da elettrica in meccanica
la potenza meccanica resa
il rendimento

La potenza elettrica assorbita dalla rete è

$P_{e}=\sqrt 3 \cdot U_n \cdot I \cdot \cos \phi = \sqrt 3 \cdot 400 \cdot 227 \cdot 0,89 =140 \, kW$

La potenza trasmessa elettromagneticamente al rotore è

$P_t=P_e - P_{ep1}-P_{fp}=140-3,8-0,9=135,3 \,kW$

La potenza convertita da elettrica in meccanica è

$P_{em}=P_t-P_{ep2}=135,3-2,4=132,9 \,kW$

La potenza meccanica è

$P_m=P_{em}-P_{mp}=132,7-0,9=132 \, kW$

il rendimento vale

$\eta=\frac{P_m}{P_e}=\frac {131,6}{140}=0,94$

Es.2: Coppia e potenza

Un motore asincrono trifase alimentato a Un=380 V, f=50 Hz, fornisce 5 kW di potenza meccanica utile a una velocità di 1440 g/m. Il rendimento è $η = 0,72$ ed il f.d.p $cosφ = 0,8$ . Determinare:

perdite complessive
potenza assorbita
corrente assorbita
coppia resa

Potenza assorbita

$P_{ass}=\frac {P_{mecc}}{\eta} =\frac {5}{0,72}=6,944 \, kW$

Perdite complessive

$P p = P a s s - P m e c c = 6.944 - 5.000 = 1.944 W$

Corrente assorbita

$I_{ass}=\frac {P_{ass}}{\sqrt{3} \cdot U_n \cdot \cos \phi}=\frac {6944}{\sqrt{3} \cdot 380 \cdot 0,8}=13,2 \, A$

Coppia resa

$C=60 \cdot \frac {P_{mecc}}{2 \pi n}=60 \cdot \frac {5.000}{2 \pi 1.440}=33,2 \, N \,m$

Script Scilab

Pmecc= 5;
Un=380;
f=50;
eta=0.72;
fp=0.8
n=1440;

Pass=Pmecc/eta
Ppersa=Pass-Pmecc
Iass=1000*Pass/(Un*fp*sqrt(3))
C=1000*60*Pmecc/(2*%pi*n)

Es.3: Coppia, potenza, rendimento

Un motore asincrono trifase quadripolare, f= 50 Hz, Pn=7,5 kW, funziona alla potenza nominale con uno scorrimento s%=4,5% e 250 W di perdite meccaniche. Assorbe una corrente I=16 A ed ha un rendimento dell'83%. La tensione nominale è 400 V.

Calcolare:

coppia nominale
coppia trasmessa
fattore di potenza

La coppia nominale è il rapporto tra la potenza nominale e la velocità angolare nominale. Quest'ultima è data da

$\omega_n=\omega_0 \cdot (1-s)$

con

$\omega_0=2 \pi \frac f p = 2 \pi \cdot \frac {50}{2}=157 \, \frac {rad}{s}$

quindi

$\omega_n= 157 \cdot (1-0,045)=150 \, \frac {rad}{s}$

$C_n=\frac {P_n}{\omega_n}=\frac {7500}{150}=50 \,N m$

La coppia nominale resa differisce da quella trasmessa per la coppia di attrito legata alle perdite meccaniche. Si ha perciò

$C_T=C_n+C_a=C_n+\frac{perdite}{\omega_n}=50+\frac{250}{150}=51,7 \,N m$

Il fattore di potenza è dato dalla potenza assorbita diviso la potenza apparente del motore, cioè il prodotto della tensione per la corrente e per la radice quadrata di tre, essendo trifase.

$\cos \phi=\frac {P_{ass}}{\sqrt 3 \cdot U_n \cdot I}$

$P_{ass}=\frac {P_n}{\eta}=\frac {7500}{0,83}=9.036 \,W$

$\cos \phi=\frac {9036}{\sqrt 3 \cdot 400 \cdot 16 }=0,83$

Es.4: determinazione e uso del circuito equivalente

Di un motore asincrono quadripolare si conoscono:

$U n$ =400 V
f= 50 Hz
$P n$ =22 kW
$n n$ =1470 rpm
$I n$ =41 A

Prova a vuoto

$I_0=14 \, A$
$P_0=600 \, W$

Prova a rotore bloccato

$U_{cc}=102 \, V$
$P_{cc}=1500 \,W$

Determinare

Coppia nominale
il circuito equivalente semplificato
la coppia massima
la coppia di avviamento
rendimento e fattore di potenza nominali
potenza e coppia erogata alla velocità di 1485 rpm

NB: si trascurino le perdite addizionali

Osservazioni sulle domande

Per la determinazione del circuito equivalente semplificato non ci sono particolari problemi, bastando le misure delle prove a vuoto ed in cortocircuito. Occorre però osservare che non tutti i motori asincroni possono essere rappresentati con questo semplice schema. Ne sono un esempio i motori a doppia gabbia od a gabbia semplice con sbarre profonde. Supponiamo quindi che si tratti di un normale motore a gabbia semplice.

Per calcolare le coppie richieste però occorre almeno un'ipotesi supplementare che permetta di stabilire il valore della resistenza di un avvolgimento di statore R₁, che dovrebbe essere fornito con i dati.

Coppia nominale

$C_n = \frac{{P_n }}{{2\pi n_n}}60 = \frac{{22.000}}{{0,105 \cdot 1470}} = 142 \, N m$

Circuito equivalente semplificato

Parametri trasversali

$R_0=\frac {U_n^2}{P_0}=\frac {400^2}{600}=267 \, \Omega$

$Q_0=\sqrt{(\sqrt 3 \cdot U_n \cdot I_0)^2-P_0^2}=\sqrt{(\sqrt 3 \cdot 400 \cdot 14)^2-600^2}=9681 \, var$

$X_0=\frac {U_n^2}{Q_0}=\frac {400^2}{9681}=16,5 \Omega$

Parametri longitudinali

$R_{eq}=\frac {P_{cc}}{3 \cdot I_n^2}=\frac {1500}{3 \cdot 41^2}=0,297 \, \Omega$

$Q_{cc}=\sqrt{(\sqrt 3 \cdot U_{cc} \cdot I_n)^2-P_{cc}^2}=\sqrt{(\sqrt 3 \cdot 102 \cdot 41)^2-1500^2}=7086 \, var$

$X_{eq}=\frac {Q_{cc}}{3 \cdot I_n^2}=\frac {7086}{3 \cdot 41^2}=1,4 \, \Omega$

Coppia massima

La formula della coppia massima è

$C_M = \frac{{U_n^2 }}{{2 \cdot \Omega _0 \cdot Z \cdot \left( {1 + \frac{{R_1 }}{Z}} \right)}}$

$\Omega_0=2 \pi \cdot \frac {n_0}{60}=0,105 \cdot 1500=157,5 \frac {rad}{s}$

$Z=\sqrt{R_1^2+X_{eq}^2}$

R₁ è la resistenza di statore che ipotizzeremo i due terzi della R_eq

$R_1=2 \cdot \frac {R_{eq}}{3}=2 \cdot \frac {0,297}{3}=0,198 \, \Omega$

$Z=\sqrt{0,198^2+1,4^2}=1,42 \, \Omega$

$C_M = \frac{{400^2 }}{{2 \cdot 157,5 \cdot 1,42 \cdot \left( {1 + \frac{{0,198 }}{1,42}} \right)}}=315 \, N m$

Coppia di avviamento

$C_a \cong \frac{{U_n^2 }}{{\Omega _0 \cdot Z}} \cdot R_{12} = \frac{{400^2 }}{{157,5 \cdot 1,42}} \cdot \left( {\frac{{0,297}}{3}} \right) = 71 \, N m$

Rendimento e fattore di potenza nominali

$P_{ass}=P_n+P_0+P_{cc}=22.000+600+1500=24.100 \, W$

$\eta=\frac {P_n}{P_{ass}}=\frac {22}{24,1}=0,91$

$\cos \phi=\frac {P_{ass}}{\sqrt{3} \cdot U_n \cdot I_n}=\frac {24.100}{\sqrt{3} \cdot 400 \cdot 41}=0,85$

Potenza e coppia a n=1485 rpm

$s=\frac {n_0-n}{n_0}=\frac {15}{1500}=0,01$

$R_{12}=R_{eq}-R_1=0,297-0,198=0,099 \, \Omega$

$R_{12} \cdot \frac {1-s}{s}=0,099 \cdot 99 =9,81 \, \Omega$

$Z_s = \sqrt {\left( {R_{eq} + R_{12} \cdot \frac{{1 - s}}{s}} \right)^2 + \left( {X_{eq} } \right)^2 } = \sqrt {\left( {9,9} \right)^2 + 1,4^2 } = 10,2 \, \Omega$

$I_{12,s}= \frac{{\frac{{U_n }}{{\sqrt 3 }}}}{{Z_s}} = \frac{{230}}{{10,2}} = 22,6 \, A$

$P_m = 3 \cdot R_{12} \cdot \frac{{1 - s}}{s} \cdot I_{12} ^2 (s) = 3 \cdot 9,81 \cdot 22,6^2 = 15.065 \, W$

$C = \frac{{P_m }}{{2\pi n}}60 = \frac{{15065}}{{0,105 \cdot 1485}} = 97 \, N m$

Script Scilab per i calcoli

//dati del circuito

txt=['Tensione nominale (V) : Un=';'frequenza (Hz): f=';'Potenza nominale (kW) Pn=';'velocità nominale (rpm) nn=';'Corrente nominale (A) In=';'velocità di impiego (rpm) n=';'Corrente a vuoto (A) I0=';'Potenza a vuoto (W) P0=';'Tensione a rotore bloccato (V) Ucc=';'Perdite a rotore bloccato (W): Pcc='];
dati=evstr(x_mdialog('Dati esercizio',txt,['400';'50';'22';'1470';'41';'1485';'14';'600';'102';'1500']));


Un=dati(1); // V
f= dati(2); //Hz
Pn=dati(3);// kW
nn=dati(4); // rpm
In=dati(5); // A

n=dati(6);

//Prova a vuoto

I0=dati(7); //A
P0=dati(8); //W 

//Prova a rotore bloccato

Ucc=dati(9); // V
Pcc=dati(10);//W

R0=Un^2/P0;
S0=sqrt(3)*Un*I0;
Q0=sqrt(S0^2-P0^2);
X0=Un^2/Q0;
Req=Pcc/(3*In^2);
Scc=sqrt(3)*Ucc*In;
Qcc=sqrt(Scc^2-Pcc^2);
Xeq=Qcc/(3*In^2);
R1=2*Req/3;
R12=Req-R1;
Z=sqrt(R1^2+Xeq^2);
p=int(60*f/nn);
n0=60*f/p;
w0=2*%pi*n0/60;
Cm=Un^2/(2*w0*Z*(1+R1/Z));

wn=2*%pi*nn/60;
Cn=1000*Pn/wn;

Ca=R12*Un^2/(w0*Z);

Pass=Pcc+P0+1000*Pn;
eta=1000*Pn/Pass;
fpn=Pass/(sqrt(3)*Un*In);
w=2*%pi*n/60;
s=(n0-n)/n0;
R12s=R12*(1-s)/s;
Zs=sqrt((Req+R12s)^2+Xeq^2);
I12s=(Un/sqrt(3))/Zs;
P=3*R12s*I12s^2;
C=P/w;

print(%io(2),C,P,fpn,eta,Ca,Cm,Z,R12,R1,Xeq,Req,X0,R0,Cn);

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