Trasformazione di Park

Indice

1 Premesse
- 1.1 Abstract
- 1.2 (parte che si può saltare)
2 Macchina rotante
3 Scomposizione di una distribuzione sinusoidale spaziale
4 Come nasce la trasformazione di Park
5 Esercizio con Scilab
6 Bibliografia e riferimenti

Premesse

Abstract

Spesso il modello matematico più aderente al sistema fisico che esso rappresenta, richiede, per l'elaborazione ai fini di prevederne il comportamento, procedimenti matematici complicatissimi. Si possono allora trovare strade alternative, che passano attraverso una trasformazione del problema, puramente matematica, che ne permette lo studio con strumenti più agevoli. Ne sono un esempio i circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale trattati con i numeri complessi. La trasformazione di Park, che parte dalla possibilità di scomporre una sinusoide nella somma di due sinusoidi tra loro in quadratura, si applica alle macchine rotanti, e semplifica il sistema di equazioni differenziali che ne regola il funzionamento.

(parte che si può saltare)

Non sappiamo perché la matematica interpreti così bene il mondo fisico. Quello che maggiormente sorprende non e' tanto la corrispondenza di una una formula che pone in relazione grandezze, poniamo spazio e tempo, per definire un'altra grandezza come la velocità. Così facendo non è il mondo che si rivela attraverso la matematica, ma siamo noi che lo interpretiamo "inventando" grandezze da porre tra loro in relazioni matematiche. E' però sorprendente che elaborando in modo astratto grandezze e relazioni, si arrivi a definire o scoprire altre grandezze che trovano una corrispondenza nella realtà. O anche che, utilizzando grandezze che non sono immediatamente corrispondenti a qualcosa di reale, si riesca ad interpretare il mondo reale prevedendone il comportamento, addirittura con maggiore efficacia.

Macchina rotante

Consideriamo, per fissare le idee, una macchina sincrona trifase con avvolgimenti bipolari. Comunque quanto si dirà per gli avvolgimenti trifasi, vale anche per la macchina asincrona.

Immaginiamo che l'avvolgimento di ogni fase si possa concentrare in due cave diametralmente opposte.

Fase A: [+a, -a];
Fase B: [+b, -b];
Fase C: [+c, -c].

Rappresentiamo graficamente i tre avvolgimenti di statore con il simbolo dell'induttore con l'asse disposto secondo l'asse magnetico dell'avvolgimento.

L'avvolgimento di campo sul rotore è pure graficamente rappresentato da un induttore con l'asse disposto secondo l'asse magnetico fisico che assumiamo come asse diretto d.

Assumiamo come riferimento degli angoli l'asse dell'avvolgimento della fase A.

L'asse in quadratura q è spostato di 90° elettrici in avanti, nel verso antiorario, rispetto all'asse diretto.

Il verso di rotazione del rotore sia l'antiorario. Le fasi si succedono perciò come indicato nel disegno e le correnti in esse

$i_a=I_M \cdot \sin (\omega t); i_b=I_M \cdot \sin (\omega t-120^\circ); i_c=I_M \cdot \sin (\omega t+120^\circ);$ con $ω = 2π f$ danno, come noto, luogo ad un campo magnetico rotante alla stessa velocità del rotore $\Omega = \frac \omega p$ ; $f$ e $p$ sono la frequenza delle correnti ed il numero delle coppie polari. E' anche $\Omega= \frac {d \theta}{dt}=\frac 1 p \cdot \frac {d \delta}{dt}$ con $θ$ angolo meccanico rispetto all'asse di riferimento. Nel caso della figura è: $p = 1;θ = δ;Ω = ω$

MacchinatrifaseSincrona.gif

Con la crocetta indichiamo corrente entrante, con il punto corrente uscente.

Immaginiamo ora di rettificare lo statore e di tracciare il campo magnetico prodotto dall'avvolgimento della fase A, nel traferro.

Consideriamo asse di riferimento per la misura degli angoli, l'asse polare dell'avvolgimento, cioè la retta che passa per il valore massimo del campo magnetico.

Scomposizione di una distribuzione sinusoidale spaziale

Supponiamo che la distribuzione spaziale del campo magnetico lungo il traferro sia sinusoidale. Nel caso non lo fosse, consideriamone la fondamentale della scomposizione in serie di Fourier.

ScomposizioneSinusoide.gif

Nella figura è rappresentata con il colore cyan l'andamento della forza magnetomotrice al traferro prodotta dalla corrente circolante nell'avvolgimento della fase A e che è espressa da $\Im _a \cdot \cos x$ dove x è la distanza angolare dall'asse magnetico dell'avvolgimento ed è considerato positivo quando si procede in senso orario. $\Im_a$ è l'ampiezza della forza magnetomotrice determinata dalla corrente $i a$ ed a ad essa proporzionale secondo un fattore che dipende dal numero di spire dell'avvolgimento: lo indicheremo con $K N$ . Possiamo allora scrivere $\Im_a=K_N \cdot i_a$ .

Tale sinusoide, che ha il suo massimo sull'asse magnetico dell'avvolgimento, può essere scomposta in due sinusoidi che hanno il massimo su due assi ortogonali: l'asse diretto che forma un angolo $δ$ con l'asse magnetico dell'avvolgimento e l'asse in quadratura di anticipo rispetto all'asse diretto. Le ampiezze delle due sinusoidi, $\Im_d$ ed $\Im_q$ , tracciate in magenta e giallo rispettivamente come dovute agli ipotetici avvolgimenti rappresentati dai cerchietti del medesimo colore, dipendono dall'ampiezza $\Im _a$ e dall'angolo $δ$ , come mostrato nei seguenti passaggi:

$\begin{array}{l} \Im _a \cdot \cos x = A \cdot \cos \left( {x + \delta } \right) + B \cdot \cos (x + \delta + 90^\circ ) = \\ = A \cdot \cos x \cdot \cos \delta - A \cdot \sin x \cdot \sin \delta + \\ + B \cdot \cos \left( {x + \delta } \right) \cdot \cos 90 - B \cdot \sin \left( {x + \delta } \right) \cdot \sin 90 = \\ = A \cdot \cos x \cdot \cos \delta - A \cdot \sin x \cdot \sin \delta - B \cdot \sin \left( {x + \delta } \right) = \\ = A \cdot \cos x \cdot \cos \delta - A \cdot \sin x \cdot \sin \delta - B \cdot \sin x \cdot \cos \delta - B \cdot \cos x \cdot \sin \delta = \\ = \cos x \cdot \left( {A \cdot \cos \delta - B \cdot \sin \delta } \right) - \sin x \cdot \left( {A \cdot \sin \delta + B \cdot \cos \delta } \right) \\ \\ A \cdot \cos \delta - B \cdot \sin \delta = \Im _a \\ A \cdot \sin \delta + B \cdot \cos \delta = 0 \\ B = - A \cdot \frac{{\sin \delta }}{{\cos \delta }} \\ A \cdot \cos \delta + A \cdot \frac{{\sin \delta }}{{\cos \delta }} \cdot \sin \delta = \Im _a \\ A \cdot \left( {\cos ^2 \delta + \sin ^2 \delta } \right) = \Im _a \cdot \cos \delta \\ \\ A = \Im _a \cdot \cos \delta \\ B = - \Im _a \cdot \sin \delta \\ \end{array}$

quindi

$\begin{array}{l} \Im _{d,a} = A = \Im _a \cdot \cos \delta = K_N \cdot i_a \cdot \cos \delta \\ \Im _{q,a} = B = -\Im _a \cdot \sin \delta = -K_N \cdot i_a \cdot \sin \delta \\ \end{array}$

Come nasce la trasformazione di Park

Lo stesso procedimento usato per scomporre la forza magnetomotrice della fase A secondo gli assi d e q, può essere evidentemente applicato alla scomposizione, secondo gli stessi assi, delle forze magnetomotrici prodotte dagli altri due avvolgimenti. Occorre tenere conto che le ampiezze saranno proporzionali alle relative correnti e che l'asse magnetico della fase B è $x=-120^\circ$ mentre quello della fase C è $x=+120^\circ$ .

Possiamo allora scrivere che

$\begin{array}{l} \Im _{d,b} = \Im _b \cdot \cos (\delta-120^\circ) = K_N \cdot i_b \cdot (\cos \delta-120^\circ) \\ \Im _{q,b} = -\Im _b \cdot \sin (\delta-120^\circ) = -K_N \cdot i_b \cdot \sin (\delta-120^\circ) \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Im _{d,c} = \Im _c \cdot \cos (\delta+120^\circ) = K_N \cdot i_c \cdot (\cos \delta+120^\circ) \\ \Im _{q,c} = -\Im _c \cdot \sin (\delta+120^\circ) = -K_N \cdot i_c \cdot \sin (\delta+120^\circ) \\ \end{array}$

La forza magnetomotrice risultante $\Im = \Im_a+\Im_b+\Im_c$ può allora essere scomposta secondo i due assi con

$\Im_d=\Im_{d,a}+\Im_{d,b}+\Im_{d,c}=$

$=K_N \cdot \left (i_a \cdot \cos \delta +i_b \cdot \cos (\delta-120^\circ)+i_c \cdot \cos (\delta+120^\circ) \right )$

$\Im_a=\Im_{q,a}+\Im_{q,b}+\Im_{q,c}=$

$=-K_N \cdot \left (i_a \cdot \sin \delta +i_b \cdot \sin (\delta-120^\circ)+i_c \cdot \sin (\delta+120^\circ) \right )$

A questo punto si può porre

$i_d = k_d \cdot \left (i_a \cdot \cos \delta +i_b \cdot \cos (\delta-120^\circ)+i_c \cdot \cos (\delta+120^\circ) \right )$

$i_q=-k_q \cdot \left (i_a \cdot \sin \delta +i_b \cdot \sin (\delta-120^\circ)+i_c \cdot \sin (\delta+120^\circ) \right )$

e scrivere dunque che

$\Im_d=\frac {K_N}{k_d} \cdot i_d$

$\Im_q=\frac {K_N}{k_q} \cdot i_q$

Trasformazione di Park su assi fissi

Ponendo $δ = 0; k d = k q = k$ si ha

$i_d=k \cdot \left (i_a - \frac 1 2 \cdot i_b -\frac 1 2 \cdot i_c \right )=i_\alpha$

$i_q=k \cdot \left (\frac {\sqrt 3}{2}\cdot i_b-\frac {\sqrt 3}{2}\cdot i_c \right )=i_\beta$

e definendo una terza corrente

$i_\gamma = k \cdot k_0 \cdot \left (i_a + i_b + i_c \right)$

possiamo definire una matrice

$\left [T_1 \right ] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - \frac{1}{2}} & { - \frac{1}{2}} \\ 0 & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ k_0 & k_0 & k_0 \\ \end{array}} \right]$

che permette di stabilire la relazione

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_\alpha } \\ {i_\beta } \\ {i_\gamma } \\ \end{array}} \right] = k \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - \frac{1}{2}} & { - \frac{1}{2}} \\ 0 & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ {k_0 } & {k_0 } & {k_0 } \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_a } \\ {i_b } \\ {i_c } \\ \end{array}} \right]$

I valori delle costanti $k, k 0$ possono essere scelti in modo che la matrice sia ortogonale.

Una matrice si dice ortogonale quando il prodotto della matrice stessa per la sua trasposta è uguale alla matrice identica. Il che equivale a dire che la trasposta è uguale all'inversa.

La matrice trasposta si ottiene scambiando righe con colonne e gli elementi della la matrice identica i sono 0 ed 1 e gli 1 stanno sulla diagonale principale. Ricordiamo anche che il prodotto tra matrici è quello definito come righe per colonne.

Si impone dunque che

$\left[ {T_1 } \right] \cdot \left[ {T_1 } \right]^t = \left[ 1 \right]$

$\begin{array}{l} k \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - \frac{1}{2}} & { - \frac{1}{2}} \\ 0 & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ {k_0 } & {k_0 } & {k_0 } \\ \end{array}} \right] \cdot k \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & {k_0 } \\ { - \frac{1}{2}} & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & {k_0 } \\ { - \frac{1}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} & {k_0 } \\ \end{array}} \right] = k^2 \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & {\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & {3k_0^2 } \\ \end{array}} \right] = \\ = k^2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {2k_0^2 } \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \\ \end{array}$

l'ultima uguaglianza implica che sia

$\begin{array}{l} k = \sqrt {\frac{2}{3}} \\ k_0 = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \end{array}$

Posto allora

$\left[ T \right]= \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - \frac{1}{2}} & { - \frac{1}{2}} \\ 0 & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right]$

$\left[ {i_{abc} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_a } \\ {i_b } \\ {i_c } \\ \end{array}} \right]$

$\left[ {i_{\alpha \beta \gamma} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_\alpha } \\ {i_\beta } \\ {i_\gamma } \\ \end{array}} \right]$

si ha

$\left[ {i_{\alpha \beta \gamma} } \right] = \left[ T \right] \cdot \left[ {i_{abc} } \right]$

Osservazione 1

La scelta dei due coefficienti $k=\sqrt {\frac 2 3}, k_0=\frac 1 {\sqrt 2}$ non è l'unica possibile

Ad esempio si può scegliere anche $k=1, k_0=\frac 1 3$ oppure $k=\frac 2 3, k_0=\frac 1 2$ .

Ricordiamo che quando la somma delle correnti trifasi è diversa da zero il sistema è squilibrato e si definisce la corrente di sequenza zero, detta anche corrente omopolare, come la somma dei fasori delle correnti diviso 3

$\dot I_0 = \frac{{\dot I_1 + \dot I_2 + \dot I_3 }}{3}$

Anche la somma dei valori istantanei diviso 3 è chiamata, per analogia, corrente omopolare

$i_O=\frac {i_a+i_b+i_c}{3}$

Con la prima scelta delle costanti si ha

$i_0=\sqrt 3 \cdot i_O$

Con le altre due scelte invece è

$i 0 = i O$

Osservazione 2

Le correnti $i α, i β, i γ$ sono le correnti che percorrendo avvolgimenti i cui assi magnetici sono $α,β,γ$ , producono la stessa forza magnetomotrice delle reali correnti dei tre avvolgimenti: $i a, i b, i c$ . Solo $i α$ ed $i β$ producono la forza magnetomotrice: l'asse $α$ coincide con l'asse magnetico della fase A; $β$ è perpendicolare ad $α.$ . Se $i a + i b + i c = 0$ , cioè se il sistema è equilibrato la cosa è evidente, in quanto, per definizione, anche $i γ = 0$ . Se $i_a+i_b+i_c \ne 0$ esiste una componente comune alle tre fasi, che è la corrente omopolare, $i O$ , cui $i γ$ è legata, la quale non dà contributo alla forza magnetomotrice complessiva. Infatti se calcoliamo il contributo ad $i α, i β$ ;della corrente omopolare agente sulle tre fasi, una volta posto $i_a=i_a^'+i_O; i_b=i_b^'+i_O; i_c=i_c^'+i_O;$ , potremo scrivere $i_\alpha=i_\alpha^'+i_{\alpha,O}; i_\beta=i_\beta^'+i_{\beta,O}$ . Applicando la trasformazione alle tre correnti omopolari, essendo identica la forza magnetomotrice prodotta dalla corrente $i O$ di ogni avvolgimento, risultano nulle le corrispondenti $i α, O; i β, O$ . La corrente $i γ$ non fornisce perciò nessun contributo alla forza magnetomotrice prodotta dai tre avvolgimenti. L'asse magnetico $γ$ è allora da considerare perpendicolare al piano degli assi $α,β$ .

In pratica con tale trasformazione si trovano le correnti di un sistema bifase che produce il medesimo campo rotante del sistema trifase. Nella prima figura è rappresentato una macchina bifase; nella seconda una macchina trifase. Nella bifase, i due avvolgimenti i cui assi magnetici $α$ e $β$ sono ortogonali, e percorsi rispettivamente dalle correnti $i α$ ed $i β$ , producono un campo rotante identico a quello prodotto dai tre avvolgimenti della macchina trifase che hanno gli assi magnetici sfasati di 120° e sono percorsi dalle correnti trifasi $i a, i b, i c$

c.m.r. bifase=c.m.r. trifase

Nel paragrafo Esercizio con Scilab sono mostrati gli andamenti delle correnti trifasi e bifasi.

Trasformazione di Park su assi mobili

Per $\delta \ne 0$ si ha potrà allora definire

$\left[ P \right] = \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & {\cos \left( {\delta - 120^\circ } \right)} & {\cos \left( {\delta + 120^\circ } \right)} \\ {-\sin \delta } & {-\sin \left( {\delta - 120^\circ } \right)} & {-\sin \left( {\delta + 120^\circ } \right)} \\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right]$

per cui posto

$\left[ {i_{dq0} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_d } \\ {i_q } \\ {i_0 } \\ \end{array}} \right]$

si avrà

$\left[ {i_{dq0} } \right] = \left[ P \right] \cdot \left[ {i_{abc} } \right]$

Da assi fissi ad assi mobili

Immaginiamo ora di voler passare dalla conoscenza di $\left[ {i_{\alpha \beta \gamma } } \right]$ a quella di $\left[ {i_{dq0} } \right]$

Si tratta cioè di passare dalle sinusoidi di ampiezza $i α, i β$ centrate negli assi $α,β$ alle sinusoidi di ampiezza $i d, i q$ centrate sugli assi $d, q$ ruotati rispetto ai precedenti dell'angolo $θ = δ$ in senso antiorario come mostrato nella figura

alphabetadq.gif

In pratica

$\begin{array}{l} i_d^' = i_\alpha \cdot \cos \delta \\ i_q^' = - i_\alpha \cdot \sin \delta \\ i_d^{''} = i_\beta \cdot \cos \left( {\delta+270^\circ} \right) = i_\beta \cdot \sin \delta \\ i_q^{''} = - i_\beta \cdot \sin \left( {\delta+270^\circ} \right) = i_\beta \cdot \cos \delta \\ \end{array}$

Quindi

$\begin{array}{l} i_d = i_d^' + i_d^{''} = i_\alpha \cdot \cos \delta + i_\beta \cdot \sin \delta \\ i_q = i_q^' + i_q^{''} = - i_\alpha \cdot \sin \delta + i_\beta \cdot \cos \delta \\ \end{array}$

Per cui ponendo

$i 0 = i γ$

si può definire la matrice

$\left[ C \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & {\sin \delta } & 0 \\ { - \sin \delta } & {\cos \delta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]$

per cui si ha

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_d } \\ {i_q } \\ {i_0 } \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & {\sin \delta } & 0 \\ { - \sin \delta } & {\cos \delta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_\alpha } \\ {i_\beta } \\ {i_\gamma } \\ \end{array}} \right]$

o, più sinteticamente

$\left[ {i_{dq0} } \right] = \left[ C \right] \cdot \left[ {i_{\alpha \beta \gamma } } \right]$

Riepilogando

trasformazione diretta

$\left[ {i_{\alpha \beta \gamma } } \right] = \left[ T \right] \cdot \left[ {i_{abc} } \right]$

$\left[ {i_{dq0} } \right] = \left[ C \right] \cdot \left[ T \right] \cdot \left[ {i_{abc} } \right]$

$\left[ {i_{dq0} } \right] = \left[ P \right] \cdot \left[ {i_{abc} } \right]$

Infatti

$\begin{array}{l} \left[ C \right] \cdot \left[ T \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & {\sin \delta } & 0 \\ { - \sin \delta } & {\cos \delta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - \frac{1}{2}} & { - \frac{1}{2}} \\ 0 & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right] = \\ = \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & { - \frac{1}{2}\cos \delta + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \delta } & { - \frac{1}{2}\cos \delta - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \delta } \\ { - \sin \delta } & {\frac{1}{2}\sin \delta + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \delta } & {\frac{1}{2}\sin \delta - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \delta } \\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right] = \\ = \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & {\cos \left( {\delta - 120^\circ } \right)} & {\cos \left( {\delta + 120^\circ } \right)} \\ { - \sin \delta } & { - \sin \left( {\delta - 120^\circ } \right)} & { - \sin \left( {\delta + 120^\circ } \right)} \\ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right] = \left[ P \right] \\ \end{array}$

Le relazioni precedenti sono invertibili, è cioè possibile passare dalle grandezze $α,β,γ$ o $d, q,0$ , alle grandezze effettive $a, b, c$ .

trasformazione inversa

Ricordando che le matrici di trasformazione sono ortogonali (l'inversa è uguale alla trasposta) si ha:

$\begin{array}{l} \left[ {i_{abc} } \right] = \frac{{\left[ {i_{\alpha \beta \gamma } } \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ T \right]^{ - 1} \cdot \left[ {i_{\alpha \beta \gamma } } \right] = \left[ T \right]^t \cdot \left[ {i_{\alpha \beta \gamma } } \right] \\ \frac{1}{{\left[ T \right]}} = \left[ T \right]^{ - 1} = \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} & 0 \\ { - \frac{1}{2}} & {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ { - \frac{1}{2}} & { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right] \\ \left[ {i_{abc} } \right] = \frac{{\left[ {i_{dq0} } \right]}}{{\left[ P \right]}} = \left[ P \right]^{ - 1} \cdot \left[ {i_{dq0} } \right] = \left[ P \right]^t \cdot \left[ {i_{dq0} } \right] \\ \frac{1}{{\left[ P \right]}} = \left[ P \right]^{ - 1} = \sqrt {\frac{2}{3}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\cos \delta } & { - \sin \delta } & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ {\cos \left( {\delta - 120^\circ } \right)} & { - \sin \left( {\delta - 120^\circ } \right)} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ {\cos \left( {\delta + 120^\circ } \right)} & { - \sin \left( {\delta + 120^\circ } \right)} & {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\ \end{array}} \right] \\ \end{array}$

Esercizio con Scilab

Tracciamo allora, utilizzando uno script Scilab, l'andamento delle correnti trasformate secondo la trasformazione di Park ad assi fissi, di una terna equilibrata di correnti trifase.

T=[1,-1/2,-1/2;0, sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2;1/sqrt(2),1/sqrt(2),1/sqrt(2)]
T=sqrt(2/3)*T
f=50
w=2*%pi*f;
for n=1:21 
  t=(n-1)*10^(-3);
i_a(n)=sin(w*t);
i_b(n)=sin(w*t-2*%pi/3);
i_c(n)=sin(w*t+2*%pi/3);
i_t=[i_a(n);i_b(n);i_c(n)];
i_P=T*i_t;
i_alpha(n)=i_P(1);
i_beta(n)=i_P(2);
i_gamma(n)=i_P(3);
n1(n)=n-1;
end;
plot2d(n1,[i_a i_b i_c i_alpha i_beta i_gamma])

correnti normalizzate - t (ms)

$i a$ :nero
$i b$ :blu;
$i c$ :verde;
i $α$ : cyan;
$i β$ :rosso;
$i γ$ :magenta;

Bibliografia e riferimenti

Macchine Elettriche- Fitzgerald-Kingsley-Kusko Franco Angeli

Macchine Elettriche- Fitzgerald-Kingsley-Kusko

Teoria unificata delle macchine elettriche rotanti - G.Martinelli A. Morini -SGE PD

Trasformazione di Park - G.Superti Furga - Politecnico di Milano

Teoria unificata delle macchine rotanti- G.Petrecca E. Bassi F. Benzi - CLUP

Teoria unificata delle macchine rotanti- G.Petrecca E. Bassi F. Benzi - CLUP

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Trasformazione di Park

Indice

Premesse

Abstract

(parte che si può saltare)

Macchina rotante

Scomposizione di una distribuzione sinusoidale spaziale

Come nasce la trasformazione di Park

Trasformazione di Park su assi fissi

Trasformazione di Park su assi mobili

Da assi fissi ad assi mobili

Riepilogando

trasformazione diretta

trasformazione inversa

Esercizio con Scilab

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